Hvordan bestemme skaderparametere og anvende Gursons skade modell i materialer med hulrom

Skadeutvikling i materialer er et viktig tema innen plastisitet og strukturell integritet, spesielt når det gjelder materialer som undergår plastisk deformasjon under belastning. Denne prosessen kan være avgjørende for å forutsi materialets oppførsel under ulike lastforhold, som i tilfeller med reversert belastning. I slike tilfeller er det nødvendig å bestemme spesifikke parametere som beskriver skadeutviklingen, blant annet skadeparameteren $r$ . Denne kan bestemmes gjennom forskjellige metoder, hvor et eksempel er en uniaxial strekkprøve med reversert belastning.

Formelen for skadeutvikling $dD$ som en funksjon av plastisk strain $\varepsilon_{pl}$ er gitt som:

dD = d|\varepsilon_{pl}| \times \frac{\sigma^2}{2 E_r (1 - D)^2}

hvor $D$ er skadevariabelen, $E_r$ er elastisitetsmodulen for det skadde materialet, $\sigma$ er stressen, og $r$ er den materialspesifikke parameteren. Skadeparameteren $r$ kan dermed beregnes ved å utføre flere tester og bruke denne formelen for å kalkulere gjennomsnittlige verdier av $r$ over flere lastesykluser.

Det er viktig å merke seg at i slike tester må man først bestemme elastisitetsmodulen til det ikke-skadde materialet, $E$ , og deretter finne modulene for de skadde materialene i hver syklus. For hver unloading-loading syklus, bestemmes også stressverdiene ved $\sigma = 0$ , som er viktige for å forstå den påfølgende plastiske deformasjonen.

Når man har laget en flytkurve (som viser forholdet mellom stress og plastisk strain), kan skadevariabelen $D$ beregnes ved å bruke elastisitetsmodulen for det skadde materialet. Denne variabelen viser hvordan materialet skades med økt plastisk strain. Skadeparameteren $r$ kan da bestemmes fra formelen for skadeutvikling.

Et annet velkjent modell for skadeutvikling er Gursons modell, som tar høyde for distribusjonen av hulrom i en matrise, et fenomen som ofte forekommer i metalliske materialer under plastisk deformasjon. Gurson introduserte to ideelle modeller for hullgeometriene: en med sylindriske hull og en med sfæriske hull. Denne tilnærmingen antar at matrismaterialet er homogent, isotropisk og rigid-plastisk. I tillegg til at elastiske responser er neglisjert, er det også antatt at matrismaterialet er inkompressibelt.

Basert på disse antagelsene, kan man utlede en skjæringsbetingelse som beskriver plastisk flyt i materialet. Gursons modell benytter en funksjon som involverer den effektive stressen $\sigma_{eff}$ (i henhold til von Mises), sammen med det hydrostatiske stresset $\sigma_m$ og en skadevariabel $D$ basert på hulrommets volumfraksjon. De to hullgeometriene gir forskjellige matematiske uttrykk for skillebetingelsene, som viser hvordan stress og skade utvikler seg i materialet under belastning.

Skillebetingelsene for henholdsvis sylindriske og sfæriske hull kan uttrykkes som:

F = \sigma_{eff}^2 + 3 \sigma_m^2 \cosh\left(\frac{\sqrt{3} \sigma_m}{k_t} \right) - (1 + D^2) = 0 \quad \text{(sylindrisk)}

F = \sigma_{eff}^2 + 3 \sigma_m^2 \cosh\left(\frac{\sigma_m}{k_t} \right) - (1 + D^2) = 0 \quad \text{(sferisk)}

Disse forholdene illustrerer hvordan skadeutviklingen i materialet påvirkes av både den effektive stressen og den hydrostatiske stressen. Videre gir de en forståelse for hvordan materialets flytkurve forandres med økende skade $D$ , og dermed også hvordan plastisk flyt begynner ved lavere belastninger enn for et klassisk von Mises-materiale.

For å analysere plastisk strainutvikling i tilfelle av en generell stress-tilstand, kan man bruke uttrykket for den deriverte av flytbetingelsen i forhold til stressene. Dette gir en matematisk beskrivelse av hvordan plastisk strain $d\varepsilon_{pl}$ utvikler seg med hensyn til endringer i stress.

En av de viktigste konsekvensene av Gursons modell er at den gir en dypere forståelse for hvordan hulrom og mikrostrukturelle trekk kan påvirke materialets oppførsel under belastning. Dette er spesielt relevant for materialer som gjennomgår plastisk deformasjon og utvikler skade på grunn av mikrostrukturelle endringer.

Skadeutvikling og den påfølgende svekkelsen av materialet kan videre beskrives med evolusjonsligninger som tar høyde for den plastiske volumetriske strainen $\varepsilon_V$ . Disse ligningene gir et kvantitativt mål for hvordan skade utvikles under forskjellige lastforhold, og kan benyttes til å forutsi materialets levetid under bruk.

Skadeutvikling er et kritisk aspekt ved design og analyse av materialer som er utsatt for høye belastninger eller har en kompleks mikrostruktur. Det er viktig for ingeniører å kunne modellere og beregne skadeutviklingen for å unngå katastrofale svikt eller feil i materialer som brukes i strukturelle applikasjoner.

Hvordan beregne bøyningslinje og bøyningsmomenter i en bjelke

Integralen i ligning (4.31) representerer det som kalles aksialt andre moment av arealet, eller aksialt overflatemoment av andre orden, i SI-enhet m4. Denne faktoren er kun avhengig av geometrien til tverrsnittet, og den er også et mål for stivheten til et plan tverrsnitt mot bøying. Verdiene for aksialt andre moment for enkle geometriske tverrsnitt er samlet i Tabell 4.3. Som et resultat kan det interne momentet også uttrykkes som

\frac{d^2 u_y}{dx^2} = \frac{M_z}{E I_z}.

Denne ligningen (4.32) beskriver bøyningslinjen $u_y(x)$ som en funksjon av bøyningsmomentet, og refereres derfor også til som forholdet mellom bøyningslinje og moment. Produktet $E I_z$ i ligning (4.32) kalles også bøyningsstivheten. Når resultatet fra (4.32) benyttes i forholdet for bøyningsspenning ifølge ligning (4.28), gir det en spenningsfordeling på tversnittet som

\sigma_x (y) = -\frac{M_z y}{I_z}.

Det negative tegnet i ligning (4.33) medfører at et positivt bøyningsmoment fører til kompresjonsstress i den øvre delen av bjelken (for $y > 0$ ). De tilsvarende ligningene for deformasjon i x-z-planet er samlet i Appendix B.3. Når vi ser på plan bøying med $M_z(x) \neq \text{const.}$ , kan bøyningslinjen lokalt tilnærmes ved hjelp av en bøyningssirkel, som vist i figur 4.10. Dermed kan resultatet for ren bøying ifølge ligning (4.32) overføres til tilfellet med plan bøying som:

\frac{d^2 u_y(x)}{dx^2} = \frac{M_z(x)}{E I_z}.

De grunnleggende ligningene for bøying av en bjelke i x-y-planet under vilkår om vilkårlig momentbelastning $M_z(x)$ er samlet i Tabell 4.4.

Videre, ved å ta dobbelt derivert av ligning (4.32) og vurdere forholdet mellom bøyningsmoment og fordelt last ifølge ligning (4.25), får vi den klassiske typen differensialligning for bøyningslinjen:

\frac{d^2 u_y}{dx^2} = \frac{q_y}{E I_z}.

For en bjelke med konstant bøyningsstivhet $E I_z$ langs bjelkens akse, får vi følgende resultat:

\frac{d^4 u_y}{dx^4} = q_y.

Denne differensialligningen for bøyningslinjen kan også uttrykkes gjennom bøyningsmomentet eller skjærkraften som

\frac{d^2 u_y}{dx^2} = \frac{M_z}{E I_z} \quad \text{eller} \quad \frac{d^3 u_y}{dx^3} = -\frac{Q_y}{E I_z}.

Forskjellige formuleringer av den fjerdeordens differensialligningen er samlet i Tabell 4.5, der forskjellige typer belastning, geometri og innstilling av bjelken skilles fra hverandre. Det siste tilfellet i Tabell 4.5 refererer til den elastiske fundamenteringen av bjelken, også kjent som Winkler-fundamentering. Den elastiske fundamenteringsmodulen $k$ har i tilfelle av bjelker enheten kraft per enhet areal.

Analytiske løsninger i den elastiske området krever at differensialligningen for bøyningslinjen integreres analytisk, i henhold til ligningene (4.36), (4.37) eller (4.38). Konstantene som oppstår ved integrasjonen kan bestemmes gjennom rammevilkårene, som vist i Tabell 4.6. Hvis den distribuerte lasten (eller moment- eller skjærkraftfordelingen) ikke kan representeres i lukket form for hele bjelken, fordi det oppstår støtter, pinneledd, eller effekter av hopp eller knekk i lastfunksjonen, må integreringen gjøres i seksjoner. I slike tilfeller må de ekstra integrasjonskonstantene defineres ved hjelp av overgangsbetingelser. For eksempel kan overgangsbetingelsene for en delt bjelke i figur 4.11 skrives som:

u_I y(a) = u_{II} y(a),

\frac{du_I y(a)}{dx} = \frac{du_{II} y (a)}{dx}.

Den analytiske beregningen av bøyningslinjen vises for et eksempel på en bjelke som er belastet med en enkelt kraft, som vist i figur 4.12. Den differensielle ligningen for bøyningslinjen i form med fjerde ordens deriverte ifølge ligning (4.36) velges som utgangspunkt. En fire-gangers integrasjon fører gradvis til følgende ligninger:

\frac{d^3 u_y}{dx^3} = c_1 = -Q_y,

\frac{d^2 u_y}{dx^2} = c_1 x + c_2 = M_z,

\frac{du_y}{dx} = c_1 x^2 + c_2 x + c_3,

u_y = c_1 x^3 + c_2 x^2 + c_3 x + c_4.

Den generelle løsningen må tilpasses det spesifikke problemet, for eksempel for bjelken i figur 4.12a, ved hjelp av integrasjonskonstantene $c_1, \dots, c_4$ . Ved bruk av rammevilkårene $u_y(0) = 0$ og $\frac{du_y}{dx} (0) = 0$ for den faste støtten på venstre side av bjelken (ved $x = 0$ ), får vi raskt at $c_3 = c_4 = 0$ . For å bestemme de gjenværende integrasjonskonstantene kan vi ikke bruke Tabell 4.6. Faktisk må den eksterne lasten relateres til de interne reaksjonene. For dette formålet må det minste elementet som vist i figur 4.12b, der den eksterne kraften $F$ virker, vurderes.

Endelig fører balansen mellom de eksterne kreftene og de interne reaksjonene på punktet $x = L$ til at vi får den resulterende ligningen for bøyningslinjen som:

u_y(x) = \frac{F x^3}{6 E I_z} - \frac{F L x^2}{2 E I_z}.

Maksimal forskyvning ved høyre ramme:

u_y(L) = - \frac{F L^3}{3 E I_z}.

Denne metoden for beregning av bøyningslinjen kan alternativt starte fra momentfordelingen $M_z(x)$ , som vist i figur 4.13. Når bjelken deles inn i to deler på en vilkårlig posisjon $x$ , er det nok å vurdere kun én av de to delene.

Hvordan Hardhet Påvirker Bøyning av I-bjelker: Elastoplastisk Analyse

Når maksimalt strekk i de ytre fiberne til en bjelke er lik flytespenningen, utvikles en konstant spenning $\sigma = k$ innover gjennom tverrsnittet, og den øker med rotasjonen av enden. Den siste fasen oppnås når begge halvdelene av tverrsnittet er fullstendig utsatt for den konstante flytespenningen $\pm k$ . Denne prosessen er en del av den elastoplastiske deformasjonen, som er viktig å forstå for å vurdere materialets respons under store belastninger, hvor både elastiske og plastiske egenskaper spiller en rolle.

For en mer nøyaktig beskrivelse av materialets oppførsel, kan vi vurdere tilfeller med hardhet, spesielt lineær hardhet. I denne modellen går materialets oppførsel fra å være elastisk til elastoplastisk, der elastisk deformasjon er karakterisert ved Youngs modul $E$ , og elastoplastisk deformasjon er beskrevet av et modifisert elastoplastisk modul $E_{elpl}$ . Dette skjer gjennom en gradvis økning i spenning utover flytespenningen, som er definert for både strekk og kompresjon som $k_{init} = k$ .

I praksis, for en Bernoulli-bjelke med en enkel støtte, kan vi betrakte hvordan de eksterne momentene øker lineært, og hvordan dette påvirker spenningene i tverrsnittet. Ved å bruke et stress-strain diagram, som illustrert i figurene, kan man vise hvordan de forskjellige områdene av bjelken – fra midten til kantene – opplever ulike grader av deformasjon når de går fra elastisk til plastisk tilstand. Spenningene over tverrsnittet kan uttrykkes ved en funksjon av y-koordinaten, der materialets hardhet bestemmer hvordan spenningen utvikler seg gjennom tverrsnittets dybde.

Det er viktig å merke seg at spenningen ikke bare er en funksjon av $y$ -koordinaten, men også av maksimal spenning $\sigma_{max}$ , som endres med materialets elastoplastiske respons. Den elastoplastiske fordelingen av spenning kan bli representert med formelen:

\sigma(y) = \begin{cases} -k_{init} \cdot y & \text{for } |y| \leq \alpha h \\ -k_{init} - \frac{E_{elpl}}{h} \cdot (y - h)^2 & \text{for } |y| > \alpha h