Hvordan Modellere Ikke-lineære Stokastiske Dynamiske Systemer?

Et stokastisk dynamisk system kan beskrives ved hjelp av stokastiske differensialligninger som angitt i likning (3.1):

d \sum_m X_j(t) = f_j[X(t), t] + g_{jl}[X(t), t]\xi_l(t), \quad j = 1, 2, \dots, n

hvor $X(t) = [X_1(t), X_2(t), \dots, X_n(t)]^T$ er en vektor av systemets responsvariabler, også kjent som tilstandsvariabler. $\xi_l(t)$ representerer eksitasjoner, hvor minst én er en stokastisk prosess. Merk at de store bokstavene brukt for tilstandsvariablene i likning (3.1) indikerer at disse er stokastiske eller tilfeldige størrelser. Funksjonene $f_j$ og $g_{jl}$ representerer systemets egenskaper, som kan være avhengig av tid, men er ikke nødvendigvis eksplisitt tidsavhengige.

En eksitasjon $\xi_l(t)$ kalles en parametrisk (eller multiplikativ) eksitasjon hvis den tilknyttede funksjonen $g_{jl}$ er avhengig av $X$ ; ellers er den kjent som en ekstern (additiv) eksitasjon. Dersom alle funksjoner $f_j$ er lineære i $X$ , og alle $g_{jl}$ er konstante, er systemet lineært. Hvis derimot alle funksjoner $f_j$ og $g_{jl}$ er lineære i $X$ , er det et parametrisk excitert lineært system, selv om det i praksis er ikke-lineært, siden superposisjonsprinsippet ikke lenger er gyldig. Hvis minst én av funksjonene $f_j$ eller $g_{jl}$ er ikke-lineær, er systemet ikke-lineært.

For tilfelle $n = 1$ , er systemet ett-dimensjonalt. Ellers kalles det et multi-dimensjonalt system. Et kontinuerlig system som styres av en partielle differensialligning kan diskretiseres til et multi-dimensjonalt system ved hjelp av metoder som for eksempel den finite-element metoden. Stokastisiteten kan oppstå i systemets egenskaper, hvor noen parametre i funksjonene $f_j$ og $g_{jl}$ ikke er kjent på forhånd og kan modelleres som stokastiske variabler. Stokastisiteten kan også oppstå i eksitasjonene, det vil si at noen av eksitasjonene $\xi_l(t)$ i likning (3.1) er stokastiske prosesser. I denne boken vurderes kun sistnevnte tilfelle, der systemets egenskaper representert ved funksjonene $f_j$ og $g_{jl}$ antas å være deterministiske.

Bevegelseslikningene for mange mekaniske og strukturelle systemer etableres vanligvis gjennom Newtons andre lov eller Lagrange-ligningene, avhengig av systemets fysiske natur. De styrende ligningene opptrer ofte i følgende form:

\sum_m \ddot{Z}_j + h_j(Z, \dot{Z}) + u_j(Z) = \sum_l g_{jl}(Z, \dot{Z}) \xi_l(t), \quad j = 1, 2, \dots, n

Her representerer $Z = [Z_1, Z_2, \dots, Z_n]^T$ og $\dot{Z} = [\dot{Z}_1, \dot{Z}_2, \dots, \dot{Z}_n]^T$ vektorer av forskyvninger og hastigheter, henholdsvis, og $h_j(Z, \dot{Z})$ og $u_j(Z)$ representerer henholdsvis dempingskrefter og gjenopprettingskrefter. Ved å sette $X_{2j-1} = Z_j$ , $X_{2j} = \dot{Z}_j$ , og $X = [X_1, X_2, \dots, X_{2n}]^T$ , kan systemet (3.2) transformeres til likning (3.3), som er en spesialtilfelle av systemet (3.1).

Et stokastisk dynamisk system kan også formuleres som et stokastisk eksitert og dissipert Hamiltoniansystem, styrt av likningene:

\frac{\partial Q_j}{\partial t} = \frac{\partial H}{\partial P_j}, \quad \frac{\partial P_j}{\partial t} = -\frac{\partial H}{\partial Q_j} - \sum_{k=1}^n \sum_{l=1}^m \frac{\partial H}{\partial P_k} + g_{jl}(Q, P) \xi_l(t)

Her er $Q_j$ og $P_j$ generaliserte forskyvninger og momenta, henholdsvis, $Q = [Q_1, Q_2, \dots, Q_n]^T$ , $P = [P_1, P_2, \dots, P_n]^T$ , og $H = H(Q, P)$ er Hamilton-funksjonen. Systemene beskrevet i (3.2) og (3.4) kan transformeres til en spesialtilfelle av system (3.1) gjennom Legendre-transformasjonen.

Vanligvis er systemene (3.2) og (3.4) kjent som systemer med $n$ -frihetsgrader, som tilsvarer to $2n$ -dimensjonale systemer som beskrevet i (3.1). Disse to tekniske begrepene vil bli fulgt gjennom hele boken. Et system med én frihetsgrad (SDOF) er et todimensjonalt system, mens et system med $n$ -frihetsgrader er et $2n$ -dimensjonalt system.

De systemene som behandles i denne boken, selv om de er deterministiske, har stokastiske responser på grunn av de stokastiske eksitasjonene, som illustrert i figur 3.1.

I mange ingeniørsystemer blir likningene i (3.2) vanligvis hentet direkte fra Lagrange-ligningene, og deretter transformert til (3.4). Disse systemene beskriver forholdet mellom forskjellige frihetsgrader og har en mer eksplisitt fysisk betydning. De metodene og prosedyrene som introduseres i boken, er derfor spesielt velegnet for systemene i (3.2) og (3.4), selv om de også er anvendelige for systemet beskrevet i (3.1).

Endtext

Hvordan viskoelastiske systemer reagerer på bredbåndseksitasjoner

Viskoelastiske systemer, som er karakteristiske for visse materialer som metaller og kompositter, har den unike egenskapen at de ikke bare lagrer potensiell energi gjennom elastisitet, men også kan dempe energi som følge av viskøs motstand. Når disse systemene blir utsatt for tilfeldig, bredbånds-exitasjon, blir dynamikken mer kompleks, og den viskoelastiske responsen må håndteres ved hjelp av stasjonære prosesser og stokastiske metoder.

Først må man forstå hvordan den viskoelastiske kraften virker i et slikt system. Den viskoelastiske kraften er avhengig både av den nåværende tilstanden og av systemets tidligere historikk. Generelt uttrykkes systemet gjennom en integral term som representerer den viskoelastiske kraften, sammen med en avslapningsfunksjon $h(t)$ som beskriver materialets tidsavhengige respons på belastninger. Denne kraften kan beskrives ved hjelp av en visse modeller som Maxwell-modellen, som er mye brukt for å representere materialer som har en tidsavhengig demping.

I et system med viskoelastisitet, for eksempel, kan den totale viskoelastiske kraften uttrykkes som summen av flere komponenter, hvor hvert element har en egen avslapningstid og en spesifikk størrelse $\beta_i$ . For en enkel modell vil systemets dynamikk kunne beskrives ved ligningene for bevegelsen av systemet, hvor en lineær restaureringskraft og en viskoelastisk komponent påvirker systemets reaksjon på en bredbånds-eksitasjon. Denne eksterne eksitasjonen antas å være en tilfeldig prosess som kan representeres ved hvit støy med en kjent spektral tetthet.

Matematisk kan systemet beskrives med ligningen:

\ddot{X} + \left( f(X, \dot{X}) + \omega_0^2 X \right) + \int_0^t h(t-\tau) \dot{X}(\tau) d\tau = g_l(X, \dot{X}) \xi_l(t),

hvor $f(X, \dot{X})$ er dempefunksjonen, $h(t)$ er avslapningsfunksjonen, og $\xi_l(t)$ representerer den tilfeldige eksitasjonen. Når vi antar at både dempefunksjonen, den viskoelastiske kraften og eksitasjonene er svake, kan stokastiske gjennomsnittsmetoder brukes til å forenkle beregningene.

For å analysere slike systemer er det nødvendig å bruke transformasjoner som tar hensyn til langsomme endringer i amplituden. Den standardisert metoden for å gjøre dette er å bruke en amplitudefunksjon $A(t)$ , slik at systemets bevegelse kan skrives som:

X = A_0(t) \cos(\omega_0 t + \phi_0(t)),

der $\omega_0$ er systemets naturlige frekvens, og $\phi_0(t)$ representerer den tidsavhengige fasen. Ved å substituere dette i de viskoelastiske ligningene får vi en forenklet beskrivelse som kan brukes til å analysere den stasjonære løsningen til systemet.

Når viskoelastiske krefter påvirker et system, endres den lineære restaureringskraften fra $\omega_0^2 X$ til en ny verdi $\omega_1^2 X$ , der den nye frekvensen $\omega_1$ bestemmes av både de viskoelastiske komponentene og systemets naturlige egenskaper. Dampingens totale effekt på systemet bestemmes også av de samme parameterne, og kan uttrykkes som en kombinasjon av både elastisk og viskoelastisk demping.

Resultatene fra numeriske beregninger på slike systemer viser at både den analytiske metoden og simuleringene er svært godt tilpasset for å håndtere små ikke-lineariteter (lavere verdier for $\gamma$ ) og kortere korrelasjonstider for eksitasjonen (større verdier for $\alpha$ ). Dette gjør at metoden er pålitelig selv når systemet opererer i et område med svake forstyrrelser.

Viktig å merke seg er at i slike systemer, der flere viskoelastiske komponenter virker samtidig, vil responsen til systemet avhenge sterkt av samspillet mellom dem. Både damping og frekvenser må vurderes i konteksten av materialets spesifikke egenskaper og eksitasjonens natur. Derfor er det viktig å ikke bare se på de lineære komponentene, men også på hvordan systemet reagerer på dynamiske variasjoner som følge av den bredbånds-eksitasjonen.

Stabilitetsvurderinger for slike systemer kan også oppnås ved å analysere forholdet mellom systemets dempings- og eksitasjonsparametere. Det er klart at en systematisk analyse er nødvendig for å forstå hvordan viskoelastisiteten påvirker både stabilitet og respons på lang sikt, spesielt i tilfeller der systemet kan være utsatt for svake eksitasjoner med høy spektral tetthet.

Hvordan forutsi forholdet mellom maksimal forskyvning og egenvekt for GFRP-gridshell-strukturer?
Hvordan beskytte applikasjoner mot AI-genererte sikkerhetstrusler
Hvordan Antenneutforminger og UAV-høyde Påvirker Ytelsen i UAV-Assisterte Mobilnettverk