Hvordan beregne og sammenligne spenningsfordeling i en stangstruktur ved hjelp av Finite Element-metoden

For å forstå stressfordeling og forskyvning i en stangstruktur ved hjelp av Finite Element-metoden (FEM), er det viktig å begynne med grunnleggende eksempler. La oss vurdere en stangstruktur som er festet i begge ender, som vist i figur 5.64. Denne stangen har en lengde på 2L, et tverrsnittsareal A og Youngs modul E. Begge endene er festet, og en last påføres midt på stangen, i punktet X = L.

I et slikt tilfelle er målet å beregne spenningsfordelingen, og her kan vi benytte seks finite elementer med lengde L/3 for å få en numerisk løsning. I tillegg til de numeriske beregningene, er det nødvendig å sammenligne de elementære spenningsverdiene med de gjennomsnittlige nodale verdiene, noe som kan gi oss en indikasjon på hvordan finere diskretisering kan påvirke resultatene.

Et mer avansert eksempel innebærer en stang med et variabelt tverrsnitt, som for eksempel en lineært varierende diameter eller et areal som endrer seg langs stangen. I slike tilfeller er det nødvendig å utlede stivhetsmatrisen for et lineært rod-element med et tverrsnitt som endrer seg lineært. Dette kan gjøres ved å bruke analytisk integrasjon, hvor tverrsnittets diameter eller areal kan beskrives som lineært i forhold til stangens lengde. Den analytiske metoden kan sammenlignes med en to-punkts Gauss-integrasjon for å se hvordan de to metodene gir ulike resultater.

Når vi har utledet stivhetsmatrisen for et element, kan vi bruke den til å beregne forskyvninger og sammenligne resultatene med analytiske løsninger. For eksempel kan et enkelt lineært stang-element brukes til å beregne forskyvningene ved høyre ende av stangen, enten ved påføring av en kraft F0 eller ved påføring av en forskyvning u0. Dette gir oss muligheten til å undersøke forskjellene mellom numeriske løsninger og analytiske løsninger for ulike randbetingelser.

Videre, når strukturen har et variabelt tverrsnitt, kan den deles opp i flere elementer for å forbedre nøyaktigheten til beregningene. For eksempel kan stangen deles opp i fire elementer med lengde L/4, og deretter kan vi beregne elongasjonen u(X) og spenningsfordelingen σ(X) for å sammenligne med analytiske løsninger. Dette eksemplet kan vise hvordan en finere diskretisering av elementene gir bedre presisjon i både spenningsfordeling og forskyvning.

For å øke nøyaktigheten ytterligere, kan man benytte en submodelleringsteknikk, der en del av strukturen behandles med en finere nettverksoppløsning, mens resten av strukturen kan behandles med en grovere nettverksoppløsning. Dette gir en mer detaljert fremstilling av stressfordelingen nær et spesifikt område av interesse, for eksempel nær en støtte. Submodellering kan være spesielt nyttig når man har stor interesse for et spesifikt område i en stor struktur.

Et annet interessant tilfelle er stenger med elastisk innfelling, hvor en elastisk støtte virker på strukturen. Her kan man utlede stivhetsmatrisen for stang-elementer med både lineære og kvadratiske formfunksjoner, forutsatt at den elastiske modulen k er konstant. Denne stangen kan også bli utsatt for en enkelt kraft, og ved å bruke en Finite Element-løsning, kan vi beregne både forskyvningen ved høyre ende og sammenligne resultatene med analytiske løsninger.

I tilfelle en stang er på en elastisk fundament, kan en Bernoulli-bjelke-elementformel benyttes for å finne stivhetsmatrisen for et element. En elastisk fundamentmodul k kan tas som konstant, og på samme måte som i andre eksempler, kan den numeriske løsningen sammenlignes med analytiske løsninger for å vurdere nøyaktigheten. Hvis den elastiske modulen er ikke konstant, men varierer med vertikal forskyvning, må man bruke en mer kompleks formulering for stivhetsmatrisen som tar hensyn til denne ikke-linearitetsmodellen.

Viktige tillegg for å forstå disse beregningene er å være oppmerksom på at valg av diskretisering kan ha stor innvirkning på nøyaktigheten av løsningen. For å oppnå pålitelige resultater, må man ofte finne en balanse mellom modellens kompleksitet og beregningsressursene som er tilgjengelige. Dessuten er det viktig å forstå hvordan grunnleggende FEM-prinsipper kan anvendes på både enkle og komplekse strukturer, samt hvordan disse kan sammenlignes med analytiske løsninger for å verifisere nøyaktigheten av den numeriske tilnærmingen. Gjennom sammenligninger kan vi bedre forstå begrensningene ved Finite Element-metoden og hvordan vi kan forbedre nøyaktigheten i modellene våre.

Hva er viktig å vite om analysen av Timoshenko-bjelker og bruk av finitt differensmetode i elastiske områder?

Ved analyse av Timoshenko-bjelker i elastiske områder er det essensielt å forstå hvordan krefter, forskyvninger og vridninger oppfører seg under belastning. Timoshenko-bjelken er en utvidelse av den klassiske Euler-Bernoulli-bjelken og tar høyde for både bøyning og skjærdeformasjon, som er særlig viktig for korte bjelker eller bjelker under stor skjærbelastning. Når vi benytter den finitte differensmetoden (FDM) for å løse slike problemer, blir det nødvendig å dele opp bjelken i et diskret sett av punkter (noder), og bruke numeriske tilnærminger for å beregne forskyvninger og indre krefter.

En viktig del av analysen innebærer å undersøke grensene og nodekrefter. Spesielt ved grensepunktene av en bjelke må vi være nøye med å beregne de nodale kreftene nøyaktig, for å unngå feil som kan oppstå hvis man ikke tar hensyn til effektive lengder og korrekte betingelser. Et eksempel på en viktig betingelse for et grensenode er:

$R_5 = q \cdot X \cdot Y^2$

Videre er det viktig å ta i betraktning de analytiske løsningene for forskyvningene i bjelkens endepunkter, som for en bjelke med lengde $L$ kan uttrykkes som:

$u = \frac{ -qY \cdot L^4}{8E \cdot I}$

Der $q$ er den påførte lasten, $Y$ er et momentmål, $E$ er elastisitetsmodulen, og $I$ er bjelkens tverrsnitts moment av treghet. Denne analytiske løsningen gir et sammenligningsgrunnlag for å vurdere nøyaktigheten av de numeriske resultatene som er oppnådd ved hjelp av metoder som FDM. For eksempel, hvis man beregner den relative feilen i forhold til den analytiske løsningen, kan man finne at en feil på 23.438 % kan forekomme, men ved å bruke en forbedret tilnærming kan feilen reduseres til 10.938 %.

En alternativ tilnærming til analysen innebærer å bruke en annen type grensebetingelse for de ytre noder, slik som den analytiske tilnærmingen for $d^3u/dX^3 = 0$, som gir en bedre nøyaktighet og dermed en mer pålitelig løsning. For slike tilfeller kan de ukjente nodale verdiene beregnes med en lineær systemløsning, som gir:

$u_2 = - \frac{7qY \cdot L^4}{512 E \cdot I}, \quad u_3 = - \frac{3qY \cdot L^4}{1024 E \cdot I}, \quad u_4 = - \frac{9qY \cdot L^4}{512 E \cdot I}$

Den relative feilen i dette tilfellet er betydelig redusert, noe som viser hvor viktig det er å bruke nøyaktige grensebetingelser for å forbedre resultatene. Den numeriske tilnærmingen gir en bedre prediksjon av bjelkens oppførsel under ulike belastninger, og er dermed et viktig verktøy i ingeniørfaglige beregninger.

Når man vurderer Timoshenko-bjelker i elastiske områder, er det også viktig å forstå hvordan bjelken reagerer på forskjellige belastningsbetingelser. Ved å bruke FDM kan man analysere både distribuert last og punktbelastning på bjelken, og man må ta hensyn til hvordan skjærdeformasjon påvirker forskyvningene sammenlignet med klassisk bøyningsteori.

Når det gjelder belastningssituasjoner, kan for eksempel en konstant distribuert last $qY$ på en bjelke føre til større skjærdeformasjoner sammenlignet med punktbelastning $F$. For slike tilfeller, hvor bjelken har en visse faste materialparametere og lengde $L$, kan det være lurt å bruke flere domene-noder for å øke nøyaktigheten i beregningene. Ved å bruke et større antall noder, som i et tilfelle med 17 domene-noder, kan den numeriske feilen reduseres, og man oppnår mer presise resultater for forskyvningene i bjelken.

Videre, ved bruk av FDM, kan vi fordele belastningen jevnt på noder og bruke tilnærminger for de andre nødvendige derivatene som oppstår i de forskjellige differensiallikningene som styrer bjelkens oppførsel. For eksempel kan først og andre ordens deriverte uttrykkes ved hjelp av finite differenser, som for en første ordens derivasjon:

$\frac{d\varphi}{dX} \approx \frac{ -3u_i + 4u_{i+1} - u_{i+2}}{2\Delta X}$

En nøye tilnærming til disse operasjonene er avgjørende for å få nøyaktige løsninger på de systemene av lineære ligninger som oppstår.

Det er også viktig å merke seg at hvis bjelken er veldig kort eller materialets skjærmodul er lavt, vil skjærdeformasjonen få stor betydning, og dette bør reflekteres i den numeriske modellen. Dette er et aspekt som skiller Timoshenko-bjelken fra den klassiske Euler-Bernoulli-modellen, som neglisjerer skjærdeformasjoner. Jo mer detaljerte grensene og tilnærmingene til skjærvirkningen er, desto mer realistiske blir resultatene.

Når man har utført alle nødvendige beregninger og analysert resultatene, er det ofte behov for å validere numeriske løsninger mot analytiske løsninger for å sikre at modellen gir pålitelige resultater. For de fleste praktiske anvendelser vil en forbedring i nøyaktigheten av beregningene bidra til bedre design og optimalisering av bjelkestrukturer under forskjellige belastningsforhold.

Hvordan Deriveres Hauggenerelle Elementligning i Finite Element Metoden?

Formelen for et finite element er en integrert beskrivelse av de mekaniske fenomenene som skjer i et system som for eksempel deformasjon og stress. Ved å bruke elementene som modellerer virkelige strukturer, er det viktig å bruke svak formulering av elementene for å oppnå nøyaktige beregninger. Ved hjelp av Green-Gauss teoremet kan man formulere den svake løsningen av et elastisk problem, og her er hvordan vi kan forstå de grunnleggende operasjonene som foregår i utledningen av hovedformelen for et element i finitte element metoden.

Utgangspunktet for formelen er grunnleggende matrisefunksjoner og vektorer som representerer kraftfeltet og deformasjonen. La oss begynne med en grunnleggende uttrykk for et element som involverer en vektormatrise og integrasjonsoperasjoner:

Her er $W$ vektoren for vekstfunksjonene, og $u$ er vektorene som representerer forskyvninger i elementene. Uttrykkene for kraft og belastning, $t$ og $b$, kan forstås som stresskomponenter og ekstern kraft som virker på elementene.

I tråd med den svake formuleringen, skal vi approximere forskyvningene og vekstfunksjonene ved hjelp av noder, der forskyvningen $u$ kan beskrives ved hjelp av en funksjonell representasjon. For et tre-dimensjonalt element med $n$ noder kan de enkelte komponentene av forskyvningene skrives som:

Der $N_i$ er formfunksjonene, og $u_{ix}$ representerer forskyvningene i den aktuelle noden. Dette kan videre skrives i matriseform:

hvor $N(x)$ er matrise av formfunksjoner, og $u_p$ er vektoren av noder.

Når vi nå introduserer de svake formlene og det nødvendige approksimative uttrykket for både forskyvningene og vekstfunksjonene, kan vi skrive den generelle finite element ligningen:

Denne formelen er kjent som hovedformelen for finite element metoden, og den gir oss muligheten til å beregne stivhetsmatrisen, kraftmatrisen og kroppslige krefter på elementnivå.

I praksis innebærer dette at stivhetsmatrisen $K_e$, som har dimensjoner $3n \times 3n$, kan uttrykkes som:

Mens kraftmatrisene for grensekrefter $f_e^t$ og kroppsbelastning $f_e^b$ er:

Dermed kan hovedformelen for et enkelt element skrives som:

En annen viktig del av utledningen innebærer B-matrisen, som inneholder de deriverte av formfunksjonene. Ved å bruke den differensialmatrisen som er etablert i den generelle formelen, kan vi beskrive hvordan forflytningen er relatert til de aktuelle krefter som virker på elementet.

Den numeriske integrasjonen spiller en avgjørende rolle i beregningene av disse elementmatrisene. Når koordinatene transformeres fra det globale rommet til de naturlige koordinatene ($\xi$, $\eta$, $\zeta$), utføres beregningene ved hjelp av Gauss-Legendre kvadraturmetoden for å oppnå nøyaktige resultater. Dette krever at vi tar hensyn til de nødvendige derivatene av formfunksjonene med hensyn til de naturlige koordinatene, samt koordinattransformasjonen som bruker Jacobian-matrisen.

Når vi arbeider med et hexahedron, som et representativt tre-dimensjonalt element, bruker vi trilinear interpolasjon for å beskrive forskyvningene i parametisk rom. De ulike nodene har sine egne funksjoner som beskriver forskyvningen i hvert av de tre dimensjonene. Ved å bruke de parametiske koordinatene kan forskyvningene i hvert punkt på elementet skrives i form av de samme interpolasjonsfunksjonene.

Til slutt fører disse transformasjonene og beregningene til at stivhetsmatrisen og de andre elementmatrisene kan beregnes nøyaktig, og dermed kan vi formulere de nødvendige ligningene for hele strukturen basert på de lokale elementene. Dette er kjernen i den finite element metoden som gjør det mulig å analysere komplekse strukturer i ingeniørfag.

Endtext