I Total Lagrange-formuleringen refereres alle variabler i uttrykkene for virtuelt arbeid til den opprinnelige konfigurasjonen C0. Et sentralt steg i denne formuleringen er å etablere relasjonen mellom de to sett med størrelser: Cauchy-spenninger og de andre Piola–Kirchhoff-spenningene, samt tilsvarende virtuale spenningsvariasjoner og virtuelle Green–Lagrange-deformasjoner. Denne relasjonen er avgjørende for å transformere det virtuelle arbeidet fra nåværende konfigurasjon til referansekonfigurasjonen, som gir et eksakt uttrykk for likevekt i det deformerte legemet.

Ved å benytte kjente uttrykk for sammenhengen mellom de første og andre Piola–Kirchhoff-spenningene, og ved å benytte kjerneregelen for derivasjon, oppnår man at virtuelle Green–Lagrange-deformasjoner i referansekonfigurasjonen kan uttrykkes entydig gjennom virtuelle små deformasjoner i den nåværende konfigurasjonen. Dette muliggjør formuleringen av det virtuelle arbeidet slik at både spenninger og deformasjoner uttrykkes i samme konfigurasjon, nemlig C0.

Videre defineres overflatespenninger og volumkrefter relativt til den opprinnelige konfigurasjonen, noe som igjen gir mulighet til å uttrykke det eksterne virtuelle arbeidet i samme referanseramme. Dette gjør det mulig å omforme den virtuelle arbeidsligningen fra den nåværende deformerte til den opprinnelige uendrede konfigurasjonen uten at nøyaktigheten i likevektsligningen går tapt.

Denne eksakte formuleringen er essensiell for å kunne utlede inkrementelle ligninger som beskriver den ikke-lineære oppførselen til materialet ved store deformasjoner. Ved hjelp av denne tilnærmingen kan man skille mellom lineære og ikke-lineære bidrag til deformasjonene. Lineære deformasjoner beskrives ved de små endringene, mens de ikke-lineære komponentene, som inkluderer høyere ordens deriverte av deformasjoner, representerer geometriske ikke-lineariteter.

Det fysiske bildet som framkommer, er at endringen i det virtuelle arbeidet som utføres av ytre krefter mellom to påfølgende konfigurasjoner, tilsvarer økningen i lagret energi i materialet, både i form av elastisk energilagring (tøyningsenergi) og potensiell energi knyttet til eksisterende spenninger. Denne tolkningen understreker at balansen mellom eksterne og interne krefter ivaretas nøyaktig, selv under store deformasjoner.

Når materialets respons antas å kunne beskrives ved en inkrementell sammenheng mellom stress- og tøyningsvariasjoner via en konstitutiv matrise, kan ligningene lineæriseres innenfor hvert inkrement. Dette gir praktiske muligheter for numerisk løsning av problemstillinger med moderate deformasjoner, hvor det er rimelig å anta at tøyningsinkrementene er små.

Oppdaterte Lagrange-formuleringen skiller seg fra Total Lagrange ved at alle fysiske størrelser refereres til siste kjente deformerte konfigurasjon C1, ikke til den opprinnelige C0. I denne tilnærmingen må tilsvarende sammenhenger mellom spenninger og virtuelle deformasjoner etableres, men nå relatert til det siste deformerte trinnet. Også her viser seg at andre Piola–Kirchhoff-spenningene og Green–Lagrange-deformasjonene i konfigurasjon C1 er energetisk konjugerte.

Det er viktig å merke seg at formuleringene i både Total Lagrange og Oppdatert Lagrange gir et fundamentalt rammeverk for å beskrive ikke-lineær elastisitet og materialers mekaniske respons ved store deformasjoner. Forståelsen av hvordan virtuelle arbeid og konjugerte størrelser henger sammen i ulike referansesystemer er helt sentralt for utviklingen av numeriske metoder som finitt element-metoden.

Det som er avgjørende for leseren å ha klart for seg, er at disse formuleringene ikke bare er matematiske manipulasjoner, men at de speiler det fysiske prinsippet om arbeid og energi i deformerte materialer. Videre må man være oppmerksom på at valg av referansekonfigurasjon har praktiske konsekvenser for hvordan man implementerer og løser de ikke-lineære ligningene i beregningsmetoder.

I tillegg bør man forstå at enhver inkrementell løsning krever at all informasjon om tidligere tilstander (inkludert forspenninger og deformasjoner) må være tilgjengelig for korrekt oppdatering av materialets tilstand. Dette sikrer kontinuitet og konsistens i den numeriske prosessen. Til slutt bør man være klar over at selv om ligningene kan lineæriseres under små inkrementer, så er hele prosessen likevel i sin helhet en løsning av et ikke-lineært problem, og nøye kontroll av trinnstørrelse og konvergens er nødvendig i praktiske anvendelser.

Hvordan kvalitetstester kan vurdere ytelsen til finitte elementer i lineær og ikke-lineær analyse

Det finnes flere varianter av patch-testen i litteraturen. En alternativ versjon av denne testen innebærer å tilordne et sett med forskyvninger {U}, som er konsistente med en konstant spenningsstatus, til alle noder i elementet, og deretter beregne de tilsvarende nodale kreftene {P}: {P} = [K]{U}. Hvis alle nodale krefter innenfor rammen av patchen kan representere den tilsvarende tilstanden av konstant stress, anses testen som bestått. Denne testen verifiserer kun om de grunnleggende differensialligningene er tilfredsstilt, men ikke stabilitetsbetingelsene eller nøyaktigheten i randbetingelsene. Den fungerer derfor kun som en nødvendig betingelse for konvergens i løsningen.

En annen viktig test er egenverditeesten, som kan avsløre instabiliteter, manglende invariantitet og andre feil i et element. Dette kan være avgjørende for å vurdere kvaliteten på konkurrerende elementer (Cook et al., 1989). Egenverditeesten er en av de mest brukte prosedyrene for å kontrollere elementkvalitet. For et fritt finitelement kan den følgende egenverdiligningen skrives som:

([k]−λ[I])u=0([k] − λ[I]){u} = {0}

Her representerer [k] den komplette elementmatrisen, [I] er en enhetsmatrise, {0} er nullvektoren, λ er egenverdien, og {u} er den tilsvarende egenvektoren. For hver grad av frihet i {u} finnes det en egenverdi λ. Den viktige forutsetningen her er at egenvektorene er normalisert, slik at:

uiTui=1{u}^T_i {u}_i = 1

Når vi pre-multipliserer egenverdiligningen med {u}^T, får vi:

uiT[k]ui=λi{u}_i^T [k]{u}_i = λ_i

Dette kan omformes til å vise at et konsistent stivhetsmatrise [k] skal ha en null egenverdi, dvs. λ_i = 0, hvis den tilhørende egenvektoren representerer en rigid kroppsbevegelse. For et todimensjonalt finitelement skal det være tre lineært uavhengige rigide kroppsmovements. Derfor forventes det at egenverdiene λ_i som finnes fra denne ligningen inneholder tre nullrøtter. For tredimensjonale elementer forventes det seks nullrøtter, som reflekterer de tre rotasjonene og de tre forskyvningene i et tredimensjonalt rom.

Når man tester et finitelement, er det viktig å verifisere at stivhetsmatrisen [k] har så mange null egenverdier som forventet. Hvis antallet null egenverdier er for lavt, kan det tyde på at elementet blir kunstig strukket når det utsettes for rigide kroppsmovements. For mange null egenverdier kan indikere at mekanismer har blitt introdusert i elementet under formuleringen eller programmeringen, noe som kan gjøre elementet ustabilt under spesifikke meshe-oppsett eller lastbetingelser.

Det grunnleggende prinsippet i denne delen er å belyse de fysiske prinsippene bak de ulike testene som ofte brukes i litteraturen for lineære elementer. Ettersom de lineære elementene som er presentert ikke bryter noen av kravene til kompatibilitet, fullstendighet og stabilitet, er det bekreftet at de kan bestå de testene som er nevnt. I neste kapittel vil vi derimot demonstrere hvordan de rigide kroppsegenskapene som er presentert her kan utvides til testing av ikke-lineære elementer i inkrementell form.

For ikke-lineære elementer, som benyttes i inkrementell analyse, er det imidlertid nødvendig å ta hensyn til effekten av de opprinnelige nodale kreftene (eller stressene). Dette gjør det nødvendig å utvikle en kvalitetskontrolltest som kan ta hensyn til initialbelastninger i tillegg til de lineære påkjenningene som vanligvis behandles i linære tester. Den første testen som eksisterer for å evaluere kvaliteten på ikke-lineære elementer, ble foreslått av Yang og Chiou (1987) og kalles den rigide kroppregelen. Denne testen krever at de initiale kreftene som virker på et finitelement roterer og oversettes sammen med de rigide kroppsmovements, mens størrelsen på de initiale kreftene forblir uendret. Dette opprettholder likevekten til elementet både før og etter den rigide kroppens rotasjon, og er derfor mer fullstendig enn tidligere tester for lineære elementer.

Den rigide kroppregelen er et nyttig verktøy for strukturelle ikke-lineære analyser. Den kan brukes til å teste kvaliteten på et ikke-lineært element og, senere, i den inkrementelle-iterative prosedyren, kan regelen benyttes til å oppdatere de nodale kreftene som eksisterer i et inkrementelt eller iterativt trinn. I tillegg kan den fungere som en guide for trial-iterasjoner i prediktoren eller for å derivere stivhetsmatriser som er kvalifiserte for rigide bevegelser.

For at et finitelement skal være legitimt i lineær analyse, skal det vise tilstanden null spenning og null stress (eller nodale krefter) når det utsettes for rigide kroppsmovements. Dette kravet er implisert av patch-testen, som tester kvaliteten på de finitelementene som brukes ved å sjekke om en patch av elementer rundt et felles node kan reprodusere en tilstand med null spenninger under rigide kroppsmovements.

Endtext

Hvordan genereres og påvirker forskjellige momentmekanismer strukturelle krefter under rotasjoner?

Begrepet moment og dreiemoment i strukturell mekanikk omfatter mer enn bare konvensjonelle spenningsresultanter. Momentene kan oppstå fra ulike mekanismer som involverer krefter og rotasjoner, og disse mekanismene kan ha forskjellig karakter og egenskaper. For eksempel har St. Venant-torsjon blitt referert til som semi-tangentiell torsjon (ST-torsjon), hvor identiske momentkomponenter kan induseres dersom de direkte kreftene som utgjør kraftparene antas uforandret i både størrelse og retning ved rotasjoner.

Momentene kan genereres av eksterne apparater eller mekanismer som fungerer som konserverende systemer. Et illustrerende eksempel er den kvasi-tangensielle mekanismen, som kun består av et kraftpar med armen langs y- eller z-aksen. To typer kvasi-tangensielle torsjoner finnes: den første typen (QT-1) genererer moment rundt y-aksen som er proporsjonalt med rotasjon rundt z-aksen, mens den andre typen (QT-2) genererer moment rundt z-aksen proporsjonalt med rotasjon rundt y-aksen. Bøyningsmomenter kan også betraktes som kvasi-tangensielle momenter av første type når de sees som konvensjonelle spenningsresultanter, men de kan også genereres som kvasi-tangensielle momenter av andre type eller som semi-tangensielle momenter basert på definisjonen av ST-momenter.

I en tredimensjonal ramme kan disse momentene, når de gjennomgår tredimensjonale rotasjoner, indusere kompliserte momentendringer som blant annet er avhengige av rotasjonsvinklene rundt x-, y- og z-aksene. For eksempel kan et moment 1My indusere endringer i momentkomponentene ΔMz og ΔMx gjennom rotasjoner θx og θz, henholdsvis. Disse koblingene mellom rotasjoner og momentkomponenter er grunnleggende for å forstå momentoppførsel i komplekse strukturelle rammer og må inkluderes i analyse av likevekt i knutepunkter som kobler ikke-kolineære medlemmer.

Tabeller over momentinduserende mekanismer viser hvordan ulike typer momenter responderer på rotasjoner rundt de tre akser. Dette er ikke bare teoretisk interesse, men praktisk essensielt for å etablere likevektsbetingelser for strukturelle ledd og spesifisere naturlige randbetingelser ved direkte påvirkning av påførte krefter. Spesielt i stabilitetsanalyser må alle fysiske størrelser og relasjoner defineres i den deformerende konfigurasjonen (C2), ikke bare i den opprinnelige.

Videre utvikles en ingeniørmessig tilnærming for formulering av tredimensjonale bjelkeelementer basert på oppdaterte Lagrange-formuleringer, der alle relevante størrelser refereres til siste kjente konfigurasjon (C1). Både de lineære og ikke-lineære komponentene av Green-Lagrange tøyninger inngår i likevektsligningene, som kan lineæriseres for små tøyningsinkrementer. Disse uttrykkene kobler de virtuelle arbeider fra påførte laster til energiøkningen i bjelken, og viser hvordan økt belastning overføres til tøyningsenergi og potensiell energi i strukturen, og dermed forårsaker deformasjon fra en konfigurajson til en annen.

I bjelkens tilfelle er det antatt at bare tre stresskomponenter og tilsvarende tøyningskomponenter er signifikante, og de kan splittes opp i lineære og ikke-lineære deler. Gjennom disse betingelsene kan den virtuelle arbeidet skrives som integraler over bjelkens volum og overflate, med materialkonstanter som elastisitetsmodul og skjærmodul, som reflekterer materialets respons på tøyninger. Disse matematiske formuleringene gir en presis beskrivelse av hvordan belastninger, via momentmekanismer og rotasjoner, fører til energilagring og deformasjon i tredimensjonale bjelker.

Det er viktig å forstå at denne tilnærmingen ikke bare gir en beskrivelse av momentenes virkning, men også grunnlaget for å utvikle strukturelle modeller som kan håndtere ikke-lineære oppførsel og store rotasjoner i rammesystemer. Den inkluderer de fysiske sammenhengene mellom krefter, moment, tøyninger og deformasjoner i en oppdatert konfigurasjon som kontinuerlig justeres under analysen.

En helhetlig forståelse av hvordan ulike momentmekanismer påvirkes av og påvirker rotasjoner i rommet, sammen med kunnskap om oppdaterte formuleringer av likevektsbetingelser og energi, er fundamentalt for å kunne modellere og analysere komplekse konstruksjoner med stor presisjon. Dette sikrer at beregninger av belastningsbetingelser, stabilitet og deformasjon tar hensyn til de reelle fysiske forholdene i strukturen under virkelige belastninger og store deformasjoner.

Hva kan vi lære av Scott og Shackleton: To polarhelter og deres mislykkede ekspedisjoner
Hvordan truer autoritær populisme liberale demokratier i Vesten?
Hvordan lagring og transport av hydrogen kan drive frem en bærekraftig energirevolusjon
Hvordan strukturell tilpasning forbedrer ytelsen og sikkerheten i luftfartøy