Hvordan representeres stykkevis glatte funksjoner med Legendre-polynomer?

Enhver stykkevis glatt funksjon definert på intervallet [−1, 1] kan uttrykkes som en uendelig rekke av Legendre-polynomer. Dette innebærer at funksjonen kan bygges opp som en lineær kombinasjon av disse ortogonale polynomene, som utgjør et komplett basissett for funksjoner i L²-rommet på det gitte intervallet. Kompletheten av dette basissettet sikrer at ingen informasjon går tapt i representasjonen, forutsatt at et tilstrekkelig antall ledd inkluderes i rekken.

Representasjonen er kjent som Legendre-rekken, og kan ses på som en generalisert Fourier-rekke der basisfunksjonene ikke er sinus og cosinus, men Legendre-polynomer. Hver koeffisient i Legendre-rekken bestemmes ved å projisere funksjonen på det respektive polynomet, noe som er mulig på grunn av polynomenes ortogonalitet. Denne ortogonaliteten innebærer at kryssleddene forsvinner i integralet over produktet av to ulike polynomer, noe som gir en effektiv konvergens og ofte færre nødvendige ledd sammenlignet med andre basisrepresentasjoner.

La $f : [-1,1] \to \mathbb{R}$ være en stykkevis glatt funksjon. Da er dens Legendre-rekke gitt ved

f(x) \sim \sum_{n=0}^{\infty} c_n P_n(x),

hvor

c_n = \frac{2n+1}{2} \int_{ -1}^{1} f(x) P_n(x) \, dx.

Denne representasjonen konvergerer til $f(x)$ i alle kontinuitetspunkter, og til midtpunktet mellom høyre- og venstregrenseverdien i diskontinuitetspunkter, altså $\frac{f(x^+) + f(x^-)}{2}$ . Dermed oppnås både punktvis og i mange tilfeller uniform konvergens.

En viktig egenskap er at hvert endelig sett med Legendre-polynomer $P_0, P_1, \ldots, P_m$ danner et basis for polynomer av grad opp til $m$ . Enhver slik polynomfunksjon kan dermed uttrykkes som en lineær kombinasjon av disse polynomene, og dens Legendre-rekke avsluttes ved grad $m$ , det vil si at $c_k = 0$ for $k > m$ .

For eksempel har vi at

x^m = \sum_{k=0}^{m} c_k P_k(x),

og spesifikt for $x^4$ får vi, ved direkte beregning av koeffisientene $c_0, c_2, c_4$ , at

x^4 = \frac{1}{5} P_0(x) + \frac{20}{35} P_2(x) + \frac{8}{35} P_4(x).

Denne fremstillingen viser hvordan man kan bruke ortogonaliteten og vektene i formelen for $c_n$ til å beregne eksakte representasjoner.

Hvis funksjonen $f(x)$ er odde, det vil si at $f(-x) = -f(x)$ , vil kun Legendre-polynomer med odde indekser inngå i rekken. Tilsvarende, for jevne funksjoner $f(-x) = f(x)$ , vil kun partallsindekserte polynomer inngå. Dette forenkler betraktningen betydelig og gir oss to spesialiserte former:

For odde funksjoner:

f(x) = \sum_{j=0}^{\infty} c_{2j+1} P_{2j+1}(x), \quad c_{2j+1} = (4j+3) \int_{0}^{1} f(x) P_{2j+1}(x) \, dx.

For jevne funksjoner:

f(x) = \sum_{j=0}^{\infty} c_{2j} P_{2j}(x), \quad c_{2j} = (4j+1) \int_{0}^{1} f(x) P_{2j}(x) \, dx.

Disse resultatene gir ikke bare innsikt i struktur og symmetri, men har praktiske konsekvenser når man for eksempel arbeider med funksjoner som Heaviside-funksjonen, der rekken kun inneholder odde polynomer og koeffisientene kan uttrykkes eksplisitt som

c_{2n+1} = \frac{(-1)^n (4n+3) (2n)!}{2(n+1)(n!)^2}.

En annen viktig konsekvens av ortogonaliteten er følgende: Integralet av et polynom $x^m$ multiplisert med et Legendre-polynom $P_n(x)$ over intervallet $[-1,1]$ er lik null dersom $m < n$ . Dette er et resultat av Rodrigues’ formel og integrasjon ved deler, og viser hvordan Legendre-polynomene er "minst følsomme" for lavere ordens polynomer i projeksjonen.

Legendre-polynomene opptrer også naturlig i løsning av partielle differensiallikninger, spesielt i sfæriske koordinater. Ved separasjon av variabler i Laplace-likningen, gir den angulære komponenten opphav til en Sturm–Liouville-type differensiallikning, som reduseres til Legendre-ligningen

(1 - x^2)y''(x) - 2x y'(x) + n(n+1)y(x) = 0.

Løsningen er da gitt av $y(x) = P_n(x)$ , og ved transformasjon tilbake til den angulære variabelen $\phi$ , får man at løsningen er $\Phi_n(\phi) = P_n(\cos \phi)$ , som utgjør en ortogonal basis på det sfæriske domenet. Disse funksjonene og deres tilhørende egenverdier spiller en nøkkelrolle i fysikkens sfæriske problemer, særlig innen elektromagnetisme og kvantemekanikk.

Ved Neumann-randbetingelser, der $\Phi'(\pi/2) = 0$ , er egenverdiene $\gamma_n = 2n(2n+1)$ og funksjonene (_

Hvordan løse varmelikningen på ubegrensede domener uten å bruke fundamentalløsningen

Varmelikningen er et klassisk problem i matematisk fysikk og brukes til å modellere varmeoverføring i et gitt område. En av de interessante utfordringene oppstår når man har ubegrensede domener, som for eksempel hele den reelle aksen. I slike tilfeller kan metoder som Cole-Hopf transformasjonen eller analytiske løsninger gi innsikt i løsningen av problemet.

En spesiell øvelse er å løse varmeutvekslingsligningen i form av:

u_t - u_{xx} = 0,

på det ubegrensede domenet $-\infty < x < \infty$ , med initialbetingelsen $u(x, 0) = \cos(x)$ . Dette kan gjøres ved å søke etter en løsning av formen $u(x, t) = h(t) \cos(x)$ . Dette foreslår at løsningen kan separeres i en tidsavhengig funksjon $h(t)$ og en romlig funksjon $\cos(x)$ .

Ved å sette denne formen inn i varmelikningen og bruke metoden for separasjon av variabler, finner vi at $h(t)$ må oppfylle den vanlige varmelikningen for funksjoner av $t$ , som er:

h'(t) = 0.

Dette viser at $h(t)$ må være en konstant. Derfor har vi løsningen:

u(x,t) = A \cos(x),

der $A$ er en konstant som bestemmes av initialbetingelsen. Fra initialbetingelsen $u(x, 0) = \cos(x)$ , får vi at $A = 1$ . Dermed er løsningen:

u(x,t) = \cos(x),

for alle $t \geq 0$ . Dette viser at løsningen på den gitte varmelikningen er konstant i tid, og temperaturfordelingen forblir den samme i hele domenet.

Videre kan denne løsningen brukes til å beregne verdien av integralen:

I(t) = \int_{ -\infty}^{\infty} \cos(x) e^{ - \frac{x^2}{4t}} \, dx.

Ved å bruke standardresultater for Gauss-integraler og verktøy fra Fourier-analyse, kan man finne at verdien av integralet for $t > 0$ er:

I(t) = \sqrt{4 \pi t}.

Dette resultatet er svært nyttig i termodynamikk og statistisk mekanikk, hvor slike integraler ofte forekommer i løsninger på varmeproblemer med initialbetingelser som involverer trigonometriske funksjoner.

En annen relatert øvelse innebærer en lang stråle med kvadratisk tverrsnitt som er eksponert for varme ved temperatur 10 grader på sidene, mens den ligger på et plan der temperaturen opprettholdes på 0 grader. Denne typen problemer kan løses ved å bruke metoder som likner de som ble brukt i de tidligere oppgavene, der man søker etter en løsning som oppfyller både de initiale og de randbetingelsene som beskriver systemet.

Det er viktig å merke seg at løsninger av varmelikningen på ubegrensede domener ofte krever bruk av transformasjoner som Cole-Hopf-metoden eller Fourier-transformasjoner for å forenkle løsningen, spesielt når initialbetingelsene ikke er trivielle. Andre tilnærminger, som det konvektive varmeproblemet med termen $u_t + c u_x - k u_{xx} = 0$ , krever ytterligere transformasjoner for å forenkle likningen, og dermed kunne løses ved kjent metodikk som Fourier-serier eller integraltransformasjoner.

I mer komplekse varmestrukturer, som for eksempel lange balker eller plater med spesifikke rammebetingelser, vil det være viktig å bruke metoder som separasjon av variabler, Green's funksjoner eller numeriske metoder for å finne de spesifikke temperaturfordelingene.

I tillegg til analytiske løsninger, er det også viktig å forstå hva som skjer i fysiske systemer med tid. Når systemet er stabilt, vil løsningen på varmelikningen konvergere mot en tilstand der temperaturfordelingen er uavhengig av tid, og systemet har nådd termisk likevekt. Dette skjer vanligvis når alle dynamiske effekter som varmetransport har utjevnet seg.

Hvordan konstrueres løsningen til bølgeligningen med ulike initial- og randbetingelser?

Løsningen av bølgeligningen $u_{tt} - c^2 u_{xx} = 0$ på ubegrensede domener eller med varierende randbetingelser avhenger sterkt av hvordan initialdataene $u(x,0)$ , $u_t(x,0)$ , samt randbetingelser er gitt. En rekke klassiske tilfeller gir innsikt i bølgefenomenets spredning, refleksjon, og energibevaring.

Når initialdataene er gitt som absolutte verdier, som $u(x,0) = |\sin x|$ og $u_t(x,0) = 0$ , og med Dirichlet-randbetingelse $u(0,t) = 0$ , kan løsningen konstrueres ved å bruke en utvidet, odde forlengelse av initialdataene til hele den reelle linjen, slik at randbetingelsen tilfredsstilles automatisk. Dette gjør det mulig å bruke D’Alemberts formel direkte, og deretter begrense løsningen til $x > 0$ . Diskontinuiteter i den deriverte oppstår der $\sin x$ skifter tegn, men løsningen forblir kontinuerlig. Fraværet av initial hastighet fører til symmetrisk bølgeutbredelse.

I neste tilfelle, når forskriften $u(x,0) = 0$ og $u_t(x,0) = 1$ for $|x| \leq 1$ , og null ellers, gis, vil D’Alemberts formel igjen gi løsningen som en konstant funksjon på det område hvor signalet ennå ikke har forlatt sin opprinnelige støtte. Når $t < 1$ , ligger signalet fortsatt innen sitt opprinnelige område, men for $t > 1$ , vokser støtten lineært med tiden, og løsningen består av to bevegelige trinnfunksjoner som sprer seg i motsatte retninger. Når $t = \frac{1}{2}$ , er formen symmetrisk med maksimal overlapping i midten.

Når $u(x,0) = 0$ , og initial hastighet er gitt som $u_t(x,0) = 1 - x^2$ for $|x| < 1$ , må løsningen konstrueres med forsiktighet, spesielt for å ivareta glattheten og de kompakte støtteegenskapene. For $|x| \geq 1$ , er initialdataene null, og dette påvirker løsningen direkte. Verdien av $u(x, \frac{1}{2})$ finnes ved å integrere effekten av initial hastighet over et symmetrisk område i henhold til D’Alemberts prinsipp. Den resulterende løsningen er glatt og har begrenset utbredelse.

Når initialforskyvningen er null og initial hastighet er $u_t(x,0) = 1 - |x|$ for $|x| < 1$ , konstrueres løsningen analogt, men her er initialhastigheten ikke glatt i $x = 0$ . Dette genererer bølger med "knekk" i løsningen, men de bevarer fortsatt kontinuitet i energi og utbredelse.

Robin-randbetingelser, som kombinerer verdi og derivert av funksjonen ved randpunktene, som $u(0,t) - u_x(0,t) = 0$ og $u(l,t) + u_x(l,t) = 0$ , krever en tilpasning av Fourier-metoden. Ved å konstruere energifunksjonen

E(t) = \int_0^l \left( u_t^2(x,t) + u_x^2(x,t) \right) dx + u^2(0,t) + u^2(l,t),

og vise at $\frac{d}{dt} E(t) = 0$ , demonstreres bevaringen av total energi. Dette innebærer at løsningen ikke mister energi over tid, og alle randbetingelser er i samsvar med naturlige svingninger i systemet.

Hvis initialdataene har kompakt støtte i $[-R, R]$ , vil løsningen $u(x,t)$ også ha kompakt støtte, nemlig i intervallet $[ -R - ct, R + ct ]$ . Dette viser at bølgeløsningen har en endelig utbredelseshastighet, og den vokser lineært med tiden. Dette er en fundamental egenskap ved bølgeligningen og skiller den fra for eksempel varmeligningen.

Ved bruk av bump-funksjoner, glatte funksjoner med kompakt støtte, kan man konstruere eksakte løsninger hvor bølgeprofilen deler seg i to identiske "buler" som beveger seg i motsatte retninger. Tidsutviklingen av slike løsninger illustrerer hvordan bølgeformen replikeres og forskyves uten forvrengning, forutsatt null initial hastighet. Ved spesifikke tidspunkter vises tydelig separasjon mellom de to delene. For fast punkt $x_0$ , for eksempel $x_0 = 3$ , gir grafen til $u(x_0,t)$ som funksjon av $t$ , innsikt i hvordan bølgen passerer gjennom punktet.

I det generelle tilfellet hvor bølgeligningen er ikke-homogen, $u_{tt} - c^2 u_{xx} = h(x,t)$ , og initialdataene er gitt ved $u(x,0) = f(x)$ , $u_t(x,0) = g(x)$ , kan løsningen konstrueres eksplisitt ved D’Alemberts formel:

u(x,t) = \frac{1}{2} [f(x+ct) + f(x-ct)] + \frac{1}{2c} \int_{x-ct}^{x+ct} g(s)ds + \frac{1}{2c} \iint_{\Delta(x,t)} h(\tau,s) d\tau ds.

Her representerer det dobbelte integralet påvirkningen fra kildefunksjonen $h(x,t)$ , og området $\Delta(x,t)$ er avhengighetstriangelet. Denne formuleringen gir en løsning av klasse $C^2$ , under forutsetning om at $h$ er kontinuerlig.

I anvendte eksempler, hvor $h(x,t) = xt$ eller $h(x,t) = t^2 + 1$ , vises hvordan løsningen bygges opp av grunnkomponentene og hvordan regionene for entydig løsning bestemmes ut fra karakteristiske linjer. Spesielt, for bølgeligninger med varierende propagasjonshastighet, må man identifisere området hvor initialdata påvirker løsningen – dette bestemmes av de karakteristiske kurvene.

Det er viktig å merke seg at ved antagelsen om at $f$ , $g$ , og $h$ er begrensede funksjoner, kan løsningen estimeres som

\| u(\cdot, t) \| \leq \| f \| + t \| g \| + \frac{t^2}{2} \| h \|.

Dette gir en øvre grense for amplituden til løsningen som funksjon av tid, og viser at ikke-homogen påvirkning kan føre til polynomiell vekst i løsningen.

Endelig, ved å definere kinetisk og potensiell energi som

E_1(t) = \int_\mathbb{R} u_t^2 dx, \quad E_2(t) = \int_\mathb_

Hvordan male uttrykksfulle munner: Fra enkle detaljer til fargebehandling
Hvordan effektivisere estimering av målposisjoner i et dynamisk system
Hvordan misforståelser i kommunikasjon kan påvirke teamarbeid og ledelse
Hvordan Kina Møter Utfordringene i Gearproduksjon og Høypresisjonsmaskiner
Hva drev velgerne til å støtte Trump? En analyse av økonomisk misnøye og kulturell motstand i 2016-valget