Hvordan bruke stokastiske gjennomsnittliggjøringsmetoder for quasi-integrerbare Hamilton-systemer med viskoelastiske krefter

$$\dot{Q}_i = P_i, \quad \sum_{j=1}^{n} \dot{P}_i' = -g_i(Q_i) - \varepsilon c'_{ij}(Q, P)P_j - \varepsilon \mu_{ii}Z_i(P_i) - \varepsilon \mu_{ij}Z_i(P_i - P_j) + \sum_{k=1}^{m} \varepsilon^{1/2} f_{ik}(Q, P)\xi_k(t),$$

$$Z_i(P_i - P_j) = Z_i(P_i) - Z_j(P_j),$$

$$Q_i(t) = A_i \cos(\theta_i(t)), \quad P_i(t) = -A_i \omega_i \sin(\theta_i(t)),$$

$$A_i = \sqrt{\frac{2H_i}{\omega_i}}.$$

Ved å bruke denne tilnærmingen kan viskoelastiske krefter, som er avhengige av både amplituden og fasen, uttrykkes på en enklere form. Den resulterende dynamikken kan da skrives som:

$$Z_i(P_i) = C_{ii}(H_i)P_i + K_{ii}(H_i)Q_i.$$

I systemer med flere koplete oscillatorer vil de viskoelastiske kreftene mellom oscillatorene også bidra til systemets dynamikk. Denne bidraget kan uttrykkes som:

Når vi ser på støyen som er tilstede i systemet, kan man bruke stokastisk gjennomsnittliggjøring for å analysere hvordan disse randomiserte kreftene påvirker systemets langsiktige oppførsel. I tilfelle av resonans, der frekvensene til systemet er i samsvar med visse betingelser, vil de dynamiske variablene til systemet kunne kombineres til en ny sett av variabler som gjør det lettere å bruke gjennomsnittliggjøringsmetoden. Dette kan gjøres ved å bruke en lineær kombinasjon av fasevinklene:

$$\theta_u = \sum_{i=1}^{n} k_{i u} \theta_i, \quad u = 1, 2, \dots, \alpha.$$

Dette resulterer i en ny form for de stokastiske differensialligningene som beskriver systemets dynamikk:

Denne ligningen beskriver et system hvor både $H(t)$ og $\theta(t)$ er langsomt varierende prosesser, som blir påvirket av en hurtigvarierende støyprosess $\xi_k(t)$. Gjennom slike metoder kan man utvikle en gjennomsnittlig Fokker-Planck ligning for systemet, som gir innsikt i sannsynlighetsfordelingen for systemets Hamilton-funksjon over tid.

Det er avgjørende for leseren å forstå hvordan resonans og ikke-resonans påvirker anvendelsen av stokastisk gjennomsnittliggjøring. I tilfelle av ikke-resonans, hvor systemets frekvenser ikke oppfyller resonansbetingelsene, vil de stokastiske differensiallikningene ha en annen struktur enn i resonanssaker. I resonanssituasjoner er systemets atferd ofte mer kompleks, og det kan føre til uventede endringer i systemets dynamikk, noe som gjør at stokastisk gjennomsnittliggjøring må tilpasses for å håndtere disse effektene riktig.

I tillegg er det viktig å merke seg at analysen av viskoelastiske krefter og deres effekt på Hamilton-systemers dynamikk krever en grundig forståelse av både systemets struktur og de stokastiske metodene som benyttes. Både resonans og ikke-resonans tilfeller kan ha betydelig innvirkning på systemets langsiktige adferd, og riktig modellering av disse effektene er essensielt for å kunne forutsi systemets oppførsel nøyaktig.

Hvordan påvirker tidsforsinkelse i kontrollkrefter responsen til kvasi-integrerbare Hamiltonske systemer?

Studier av kvasi-integrerbare Hamiltonske systemer med tidsforsinkede kontrollkrefter viser at forsinkelsen i kontrollmekanismen har en betydelig innvirkning på systemets dynamiske respons. Ved bruk av stokastisk averaging-metode og Monte Carlo-simuleringer har man analysert hvordan ulike forsinkelsestider, representert ved variabelen τ, påvirker systemets statistiske egenskaper, særlig de stasjonære sannsynlighetsfordelingene (PDF) og middelkvadratiske utsving (mean-square displacements).

Uten tidsforsinkelse i kontrollkreftene viser systemet typiske stasjonære sannsynlighetsfordelinger for variablene q1 og q2, hvor systemets respons stabiliseres i et definert område. Innføring av tidsforsinkelse i kontrollkreftene endrer disse fordelingene markant. Ved moderate forsinkelsestider observeres en demping i responsen, noe som kan tolkes som at kontrollkreftene fungerer som en effektiv stabilisator i systemet. Imidlertid, for lengre forsinkelsestider, som τ = 2 eller 3, endres dette bildet: kontrollkreftene begynner å forsterke systemets respons, hvilket øker amplituden av utsvingene og dermed systemets ustabilitet.

Dette fenomenet illustrerer et paradoks i tidsforsinket kontroll: forsinkelsen kan både virke dempende og forsterkende, avhengig av forsinkelsens varighet. Det understrekes at effekten av tidsforsinkelse er kompleks og må forstås i lys av systemets resonansforhold og parametere som frekvens, dempning, og ikke-lineariteter. Resultatene fra stokastisk averaging stemmer godt overens med Monte Carlo-simuleringer, noe som bekrefter metodens pålitelighet for analyse av slike systemer.

Det er også verdt å bemerke at kvasi-integrerbare Hamiltonske systemer skiller seg fra klassiske Hamiltonske systemer ved at de inkluderer små forstyrrelser og ikke-ideelle krefter, som gjør systemene mer representative for virkelige dynamiske systemer. Tidsforsinkede krefter introduserer ytterligere kompleksitet ved å legge inn en dynamisk «hukommelse» i systemets respons.

Videre er det viktig å innse at resultatene ikke bare gjelder for teoretiske modeller, men har praktiske implikasjoner innen ingeniørfag, hvor mange systemer – mekaniske, elektriske og til og med biologiske – opererer med forsinkede signaler i sine kontrollsløyfer. Effektiv styring og design av slike systemer må derfor inkludere vurderinger av forsinkelseseffekter for å sikre robusthet og pålitelighet.