I fysikk, spesielt i studier av mange-partikkelsystemer, er det essensielt å forstå hvordan et system reagerer på eksterne forstyrrelser. Denne responsen kan uttrykkes ved hjelp av spesifikke funksjoner, som responsfunksjoner eller Green's funksjoner. Disse funksjonene gir informasjon om hvordan systemet responderer på ytre krefter og gir dermed et dypt innblikk i de termodynamiske egenskapene til systemet. I denne delen fokuserer vi på hvordan man kan bruke Green's funksjoner til å beregne responsen av et system på eksterne felt og forstyrrelser.

For å forstå hvordan disse funksjonene opererer, kan vi begynne med å betrakte et system som på et bestemt tidspunkt t0t_0 er i et egenstate ∣ψ(t0)>\left|\psi(t_0)\right> av Hamiltonianen. Deretter utsetter vi systemet for et tidsavhengig eksternt felt som kobles til systemet gjennom en operator O^\hat{O}. I denne sammenhengen brukes Schrödinger-representasjonen, hvor operatorene og tilstandene utvikles med tid. For å beskrive utviklingen til systemet på en formell måte benyttes den tidordnede eksponentialoperatoren.

Responsen til et system på en liten forstyrrelse i det eksterne feltet kan beregnes som en funksjonell derivasjon av systemets bølgefunksjon med hensyn til feltet. Denne responsen kan uttrykkes som en korrelasjon mellom forskjellige operatører på ulike tidspunkter. I mange tilfeller, når et system er i termisk likevekt, kan det være nyttig å vekke korrelasjonen med Boltzmann-faktoren for å få den termiske gjennomsnittlige verdien.

En viktig ide her er at fysiske observasjoner, som magnetisering i et spin-system eller elektrisk ledningsevne i et system med ladde partikler, kan beskrives ved hjelp av slike korrelasjonsfunksjoner. For eksempel, når et magnetfelt påvirker et spin-system, kan den relevante responsfunksjonen uttrykkes gjennom spin-spin korrelasjonsfunksjonen, som gir informasjon om den dynamiske magnetiske susceptibiliteten. På samme måte, for elektriske systemer, kan ledningsevnen bestemmes gjennom korrelasjonen mellom strøm og elektrisk potensial.

Green's funksjoner spiller en sentral rolle i denne sammenhengen. De kan forstås som termiske gjennomsnitt av tidordnede produkter av skapelses- og utslettingsoperatorer. Disse funksjonene er ikke bare praktiske å beregne i perturbasjonsteori, men kan også kobles til eksperimentelle observasjoner gjennom analytisk fortsettelse. På denne måten kan de brukes til å relatere teoretiske beregninger til virkelige eksperimenter, som for eksempel spredningseksperimenter eller målinger av termodynamiske egenskaper.

En typisk anvendelse av Green's funksjoner er i beregningen av inklusiv spredning i mange-partikkelsystemer. Dette kan beskrives ved hjelp av en korrelasjonsfunksjon som involverer tidordnede produkter av operatorer som beskriver interaksjoner i systemet. For eksempel kan spredningen av en partikkel som samhandler med et system gjennom en svak potensiell beskrives ved hjelp av en tidsavhengig Green's funksjon, som igjen kan brukes til å beregne størrelser som spredningsseksjoner.

En annen viktig bruksområde for Green's funksjoner er i høy presisjon eksperimenter som involverer nøytronspredning eller røntgenspredning, der de dynamiske egenskapene til systemet kan studeres over et bredt spekter av energiskalaer. For systemer som væske-He, har slike metoder gitt imponerende resultater som viser høy nøyaktighet i beregningen av to-partikkel korrelasjonsfunksjoner.

Det er viktig å merke seg at Green's funksjoner kan utvides til å håndtere flere partikler, og kan dermed brukes til å beskrive interaksjoner mellom flere partikler på en effektiv måte. Når det gjelder n-bodig realtid Green's funksjoner, som involverer tidordnede produkter av skapelses- og utslettingsoperatorer, er det mulig å beregne observasjoner på forskjellige tidspunkter for å gi en fullstendig beskrivelse av systemets dynamikk.

Ved å forstå disse grunnleggende prinsippene bak Green's funksjoner og deres anvendelser, kan man få et solid grunnlag for å analysere et bredt spekter av fysikalske systemer og deres respons på ytre forstyrrelser. Dette er essensielt for å tolke resultater fra eksperimenter som studerer mange-partikkelsystemer, og åpner for avanserte metoder i både teoretisk og eksperimentell fysikk.

Hvordan beregne Hugenholtz-diagrammer i perturbasjonsteori

I perturbasjonsteorien er Hugenholtz-diagrammer et nyttig verktøy for å forstå interaksjoner i kvantefeltteori, spesielt når vi arbeider med temperaturavhengige systemer. Disse diagrammene brukes til å beregne bidragene til en spesiell ordens utvikling i perturbasjonserien. Hugenholtz-diagrammer har en struktur som gjør det lettere å holde rede på symmetrifaktorer, sammenlignet med mer tradisjonelle Feynman-diagrammer, og hjelper til med å redusere kompleksiteten i beregningene.

Når vi vurderer Hugenholtz-diagrammer, er det viktig å forstå hvordan forskjellige linjer kan kontrakteres og hvordan de er relatert til de originale diagrammene. For et gitt diagram kan vi identifisere linjer som er ekvivalente, noe som forenkler de matematiske beregningene. Dette skjer ved å bruke symmetriske faktorer som tar hensyn til hvilke linjer som kan byttes om uten å endre diagrammets struktur. Eksempler på dette kan være når to linjer fra et vertex er et ekvivalent par, noe som resulterer i bare to mulige kontraksjoner, ettersom begge linjene ender på samme vertex.

Hugenholtz-diagrammets symmetrifaktor, S, er en nøkkelkomponent. Denne faktoren beregnes ved å telle antall permutasjoner av tidsetikettene i diagrammet som resulterer i en deformasjon av det originale diagrammet. Dette er et viktig skritt for å sikre at alle bidragene fra Wick-teoremet telles riktig. For hvert diagram kan symmetrifaktoren brukes til å justere vekten på diagrammets bidrag i beregningene.

I tilfelle av ekvivalente par av linjer, må symmetrifaktoren justeres for å ta hensyn til de spesifikke interaksjonene mellom disse linjene. Dette skjer ved å inkludere en faktor 4 for hvert vertice hvor det oppstår et ikke-ekvivalent par, og en faktor 2 for hvert vertice med et ekvivalent par. Dermed kan vi forutsi og korrekt telle alle kontraksjonene som skjer i diagrammet.

Et annet aspekt ved Hugenholtz-diagrammene er hvordan de knytter seg til Feynman-diagrammene. Hugenholtz-diagrammer kan omformes til Feynman-diagrammer ved å tilordne propagatorer til linjene i diagrammet. Dette gjør at vi kan beregne bidragene fra Hugenholtz-diagrammer på samme måte som vi ville gjort med Feynman-diagrammer, men med den ekstra fordelen av at Hugenholtz-diagrammene allerede inneholder de nødvendige symmetrifaktorene.

I høyere ordens diagrammer blir beregningene mer komplekse, ettersom flere linjer kan kontrakteres, og flere symmetrifaktorer må tas med i betraktning. For eksempel, i andre ordens bidrag kan det være flere forskjellige konfigurasjoner av linjer og propagatorer som gir de samme fysiske resultatene, men med forskjellige symmetrifaktorer. Her må man nøye regne ut de forskjellige bidragene, og korrigere for eventuelle overtellinger eller undertellinger av bidragene fra de forskjellige diagrammene.

En annen viktig del av analysen er håndteringen av permutasjoner og integrasjoner over tid og energi. Hugenholtz-diagrammer gjør det lettere å inkludere disse aspektene i beregningene, ettersom de eksplisitt viser hvordan interaksjonene skjer mellom de forskjellige linjene. Dette er spesielt nyttig når man jobber med systemer som er homogene i tid eller rom, ettersom det tillater en enklere overgang til frekvens- eller momentumrepresentasjon.

For å oppsummere, gir Hugenholtz-diagrammene et effektivt rammeverk for å håndtere de komplekse interaksjonene som oppstår i kvantefeltteori ved endelig temperatur. Ved å bruke de riktige symmetrifaktorene og korrekt telle de ulike kontraksjonene, kan man forutsi bidragene til utviklingen i perturbasjonsteorien på en presis måte.

Det er imidlertid viktig å forstå at beregningene av Hugenholtz-diagrammer kan bli svært teknisk, spesielt ved høyere ordener i perturbasjonserien. Å få en grundig forståelse av hvordan man kan manipulere og tolke disse diagrammene vil gi dypere innsikt i kvantefeltteori og dens anvendelser på systemer med endelig temperatur.

Hvordan beregne og forstå fermionpropagatorer ved null temperatur og deres betydning i kvantefeltteori

For å forstå hvordan et system av interagerende fermioner utvikler seg, kan vi ta utgangspunkt i teorien for ikke-interagerende systemer og anvende evolusjonsoperatoren på deres egenstater. Mann og Low (1951) viser hvordan dette kan gjøres ved å påføre evolusjonsoperatoren på en egenstate til det ikke-interagerende systemet og deretter ta grensen når ϵ→0\epsilon \to 0, fra hvilken observabler kan evalueres på en enkel måte.

For et ikke-interagerende fermionsystem ved null temperatur, kan den genererende funksjonen uttrykkes som en sum som involverer en en-partikkelbasis som diagonaliserer Hamiltonianen H0H_0. Denne funksjonen kan evalueres ved hjelp av passende deriverte av MH0M_{H_0} i forhold til kildene J∗(t),J(t)J^*(t), J(t), vurdert ved t=t′=0t = t' = 0. Dette gir en struktur som gjør det mulig å beregne forventningsverdier for produkter av skapelses- og utslettingsoperatorer.

Videre kan dette beregnes ved å bruke en diskret funksjonell integral for MHM_H, der man antar at energiskalaen er forskjøvet slik at alle energier er positive. Denne forskyvningen er nødvendig for å definere propagatorer som konvergerer for store tidsforskjeller. Propagatoren for et ikke-interagerende system av fermioner kan derfor uttrykkes i form av Green’s funksjoner, som i et system av flere fermioner kan evalueres ved hjelp av Wick’s teorem.

Et viktig trekk ved propagatorene er at de bare er forskjellige fra null når t>t′t > t', og når t<t′t < t' gir de null, noe som reflekterer de fysiske grensene for hvordan fermioner kan spre seg over tid. Dette er en direkte konsekvens av de grenser som gjelder for tidsavhengige operatører og antiperiodiske randbetingelser som gjelder for systemer ved endelig temperatur.

For å beregne fermionpropagatorer ved null temperatur, er det avgjørende å forstå hvordan partiklene og hullene propagerer i systemet. Ved null temperatur kan man skille mellom to hovedtyper propagatorer: de som representerer partikkelpropagasjon, og de som representerer hullpropagasjon. Partikkeldelen beskriver hvordan en skapelseoperator på et okkupert tilstand aa kan skape en ekstra partikkel som sprer seg over tid, for deretter å bli utslettet på et senere tidspunkt. På den annen side representerer hullpropagasjonen hvordan en utslettingsoperator på en okkupert tilstand skaper et hull som sprer seg i systemet, og deretter fylles igjen når en ny partikkel skapes på et senere tidspunkt.

Disse forskjellene mellom partikkel- og hullpropagasjonene i kvantefeltteori kan forklares ved at skapelses- og utslettingsoperatorene forhåndsordnes på forskjellige måter. Denne behandlingen forutsetter at systemet er tilstrekkelig "ren" i form av at energigapet mellom de okkuperte og ikke-okkuperte tilstandene ikke er degenerert, da slike degenererte tilstander krever en annen form for perturbasjonsteori, for eksempel Bloch-Horowitz ekspansjonen.

Et annet viktig aspekt er hvordan den genererende funksjonen for dette systemet kan forenkles ved å benytte en partikkele-hull transformasjon. Dette tillater at de energimessige bidragene til partikkel- og hullpropagatorene kan behandles separat, og på den måten kan man beregne Green’s funksjoner på en mer praktisk måte. Ved å bruke disse transformasjonene kan man beregne forventningsverdier av operatorer og Green’s funksjoner for et system med mange fermioner, ved å bruke en utvidelse av Wick’s teorem.

Det er også viktig å merke seg at propagatorene, som beskrevet her, vil ha en term for både partikkel- og hullpropagasjonene som går mot null for store tidsdifferanser. Dette er et direkte resultat av de spesifikke randbetingelsene som gjelder for null-temperatursystemer sammenlignet med systemer ved endelig temperatur, der man har periodiske randbetingelser.

For å forstå hvordan systemene fungerer på en mer detaljert måte, er det nødvendig å bruke Feynman-diagrammer. Disse diagrammene er en viktig del av kvantefeltteori og brukes til å visualisere og beregne forventningsverdier av operatorer og Green’s funksjoner. For et mange-fermionersystem kan man bruke disse diagrammene for å beregne de relevante kvantitene ved å utføre flere derivasjoner av den genererende funksjonen MHM_H. Dette fører til Wick’s teorem, som gir en systematisk måte å evaluere de ulike bidragene i teorien.

For de som ønsker å dykke dypere, kan det være nyttig å studere hvordan de forskjellige propagatorene og Feynman-diagrammene relaterer seg til forskjellige typer interaksjoner i et fermionsystem. Videre kan de matematiske teknikkene som brukes til å evaluere disse integraler, som for eksempel kontinuerlig eller diskret funksjonell integrasjon, være nyttige for å få en mer presis forståelse av hvordan kvantefeltteori kan anvendes til å modellere interaksjonene i komplekse fermionsystemer.

Hvordan Bomben Kom Inn i Oss: En Skildring av Frykt og Dokumentarisk Virkelighet
Hvordan fungerer infusjon av smaker, og hva bør man vite for å mestre det?
Hvordan bruke grafitt og kull i tegning: teknikker og verktøy for avanserte uttrykk