Hvordan finne den inverse av en matrise

Gjennom radoperasjoner kan vi gradvis redusere den venstre delen til identitetsmatrisen, og den høyre delen vil bli $A^{ -1}$. Etter radreduksjon får vi den inverse matrisen som:

Her er determinanten $\text{det}(A) = 2(6) - 3(4) = 0$, så $A$ er singulær, og derfor finnes ikke $A^{ -1}$.

Bruk av den inverse matrisen for å løse ligningssystemer

Spesielle tilfeller og trivialløsninger

Et homogent system, som kan skrives som $AX = 0$, har alltid den trivielle løsningen $X = 0$. Hvis $A$ er nonsingular, er den eneste løsningen den trivielle løsningen. Hvis $A$ derimot er singulær, kan systemet ha uendelig mange løsninger, og det vil være mulig å finne ikke-trivielle løsninger.

Viktige punkter å merke seg

Det er viktig å merke seg at den inverse matrisen kun kan beregnes for nonsingulære matriser (de som har en determinante ulik null). I praksis kan det være mer effektivt å bruke radoperasjonsmetoden for større matriser, spesielt i numeriske beregninger. Selv om det er flere måter å finne den inverse matrisen på, er forståelsen av betingelsene som gjør en matrise nonsingular eller singulær avgjørende for å bruke denne teknikken på en korrekt måte.

Hva er nullpunktene til de trigonometriske og hyperbolske funksjonene i det komplekse planet?

Derivater

Fra kjerneregelens anvendelse vet vi at $\frac{d}{dz} e^z = e^z$, og derfor er $\frac{d}{dz} e^{iz} = ie^{iz}$ og $\frac{d}{dz} e^{ -iz} = -ie^{ -iz}$. På en enkel måte kan vi vise at derivatene til de komplekse trigonometriske funksjonene har samme form som de reelle funksjonene. Vi oppsummerer resultatene som følger:

• $\frac{d}{dz} \sin z = \cos z$

• $\frac{d}{dz} \cos z = -\sin z$

• $\frac{d}{dz} \tan z = \sec^2 z$

• $\frac{d}{dz} \sec z = \sec z \tan z$

• $\frac{d}{dz} \cot z = -\csc^2 z$

• $\frac{d}{dz} \csc z = -\csc z \cot z$

Identiteter

Nullpunktene til sinus og cosinus

For å finne nullpunktene til $\sin z$ og $\cos z$, må vi uttrykke begge funksjonene i formen $u + iv$, hvor $u$ og $v$ er reelle tall. Fra definisjonen av de trigonometriske funksjonene kan vi bruke Euler's formel og utføre forenklinger for å finne at nullpunktene til $\sin z$ er de reelle tallene $z = n\pi$, mens nullpunktene til $\cos z$ skjer kun når $z = \frac{(2n + 1)\pi}{2}$, der $n$ er et heltall.

Eksempel på å løse trigonometriske likninger

For å løse $\cos z = 10$, kan vi bruke den komplekse eksponensielle funksjonen for å omforme problemet til en kvadratisk likning:

Ved å multiplisere med $e^{iz}$, får vi kvadratisk likning i $e^{iz}$:

Ved å bruke den kvadratiske formelen finner vi $e^{iz} = 10 \pm 3$. Deretter, ved å bruke logaritmer, kan vi finne løsningen til likningen $\cos z = 10$.

Hyperbolske funksjoner

For et hvilket som helst komplekst tall $z = x + iy$, er:

De hyperbolske funksjonene $\sinh z$ og $\cosh z$ er hele funksjoner, mens de trigonometriske funksjonene som defineres ved $\sinh z$ og $\cosh z$ er analytiske bortsett fra på punktene der nevnerne er null.

Periodisitet

De trigonometriske funksjonene $\sin x$ og $\cos x$ har periode $2\pi$, og dette gjelder også for de komplekse funksjonene $\sin z$ og $\cos z$. For eksempel, ved å bruke formelen for $\sin z$, ser vi at:

Dette viser at $\sin z$ er periodisk med periode $2\pi$ i det komplekse planet.

Hvordan løse høyere ordens differensialligninger ved hjelp av metoden for ubestemte koeffisienter

I differensiallikninger møter vi ofte på utfordringen med å finne en spesiell løsning av en ikke-homogen differensialligning. Når det gjelder tredje- og fjerde-ordens differensialligninger, kan metoden for ubestemte koeffisienter være svært nyttig. Denne metoden forutsetter at løsningen på den ikke-homogene differensialligningen kan uttrykkes som en sum av den komplementære funksjonen (den generelle løsningen av den homogene differensialligningen) og en spesifikk løsning som bestemmes ved ubestemte koeffisienter. For å forstå dette nærmere, skal vi se på flere eksempler og forklare de grunnleggende prinsippene.

Et eksempel på en tredje ordens differensialligning er:
y‴ + y″ = e^x cos x.
Løsningen begynner med å finne røttene til den karakteristiske likningen, som i dette tilfellet er m³ + m² = 0, som gir røttene m₁ = m₂ = 0 og m₃ = −1. Dette fører til den komplementære løsningen yc = c₁ + c₂x + c₃e^−x. Når vi ser på den spesifikke funksjonen g(x) = e^x cos x, finner vi at den spesifikke løsningen kan anta formen yp = Ae^x cos x + Be^x sin x. Ved å substituere denne i differensialligningen og løse for koeffisientene, finner vi at A = −½ og B = ¼, og den spesifikke løsningen blir dermed yp = −½e^x cos x + ¼e^x sin x. Den generelle løsningen blir da y = yc + yp.

Videre kan vi se på et eksempel med en fjerde ordens differensialligning:
y⁴ + y‴ = 1 − x²e^−x.

Det er viktig å merke seg at når man løser en ikke-homogen differensialligning, er det lett å gjøre feil ved å anvende de initiale eller randbetingelsene kun på den komplementære løsningen yc. Feilen oppstår ofte fordi man ser på den komplementære løsningen som den eneste delen som inneholder de ukjente konstantene. Derfor er det avgjørende at de initiale betingelsene blir anvendt på hele den generelle løsningen, y = yc + yp.

Metoden for ubestemte koeffisienter har imidlertid sine begrensninger. Den fungerer ikke alltid for alle typer ikke-homogene funksjoner g(x). For eksempel, dersom g(x) er en logaritmefunksjon eller en funksjon som involverer invers trigonometriske funksjoner, vil ikke metoden for ubestemte koeffisienter være like effektiv. Dette skyldes at differensieringen av slike funksjoner kan gi et uendelig antall forskjellige funksjoner, noe som gjør det vanskelig å finne en uavhengig mengde av funksjoner som kan brukes til å konstruere en løsning.

For å unngå slike problemer, kan man i stedet bruke metoden for variasjon av parametere. Denne metoden er mer generell og kan brukes på et bredere spekter av funksjoner. Den tilnærmingen tillater at vi finner en spesiell løsning yp for en hvilken som helst ikke-homogen funksjon g(x), uavhengig av om den passer inn i de fire grunnleggende typene som ubestemte koeffisienter krever. For eksempel kan metoden for variasjon av parametere brukes når funksjonen g(x) er av typen ln x eller tan⁻¹(x), hvor tradisjonelle metoder som ubestemte koeffisienter ville feile.

Hvordan løse initialverdiproblemer og randverdiproblemer ved hjelp av Green's funksjon

I løsningen av differentiallikninger som involverer initialverdiproblemer (IVP) og randverdiproblemer (BVP), spiller Green's funksjon en essensiell rolle. Dette er et kraftig verktøy som lar oss konstruere løsninger ved å bruke egenskaper ved systemets respons på eksterne påkjenninger eller kilder. Spesielt når man håndterer ikke-homogene differensialligninger, kan Green's funksjon gi en effektiv metode for å finne løsninger ved å bygge på tidligere løsninger av relaterte homogene ligninger. I det følgende beskriver vi hvordan Green’s funksjon kan anvendes for å løse slike problemer.

For et initialverdiproblem, som de som diskuteres i eksemplene, er formelen for å løse det gitt av en sum av den homogene løsningen og en partikulær løsning. Hvis systemet beskrives av en lineær differensialligning med konstante koeffisienter, vil løsningen vanligvis bestå av en generell form for den homogene løsningen, sammen med en partikulær løsning som tar hensyn til kildetermen. Denne tilnærmingen blir enda mer nyttig når vi har pålegg som spesifiserer verdiene av løsningen ved bestemte tidspunkter (initialverdier).

La oss ta for oss et konkret eksempel: i en modell av et massespillsystem, der systemet er utstyrt med eksterne krefter, finner vi at løsningen kan uttrykkes som en sum av to komponenter: den frie responsen og den tvungne responsen som er påført av kilden. I eksemplet diskutert, kan denne løsningen også evalueres ved hjelp av trigonometriske identiteter og integrasjon ved deler for å komme frem til et mer kompakt uttrykk.

I eksemplet med Green’s funksjon for et initialverdiproblem, starter vi med å konstruere Green's funksjon for det spesifikke systemet. Denne funksjonen er spesielt nyttig når vi har en ikke-homogen differensialligning. Når vi har identifisert de fundamentale løsningene for systemet, kan vi bruke Green’s funksjon til å skrive løsningen som et integral over en passende variabel. I slike tilfeller kan vi enkelt anvende integralet for å finne den spesifikke løsningen, og ofte vil resultatene inneholde trigonometriske funksjoner som kan forenkles ved hjelp av identiteter.

En viktig egenskap ved Green’s funksjon er at den tillater oss å dele løsningen i to hovedkomponenter: en som beskriver systemets naturlige vibrasjon uten ekstern påkjenning (den homogene løsningen) og en annen som beskriver responsen på de pålagte eksterne kreftene (den partikulære løsningen). Dette skaper en klar separasjon i hvordan systemet responderer på forskjellige påvirkninger.

Når det gjelder randverdiproblemer (BVP), er differensiallikningene lik de som brukes i IVP, men med den viktige forskjellen at randbetingelsene ikke gis på ett punkt, men på to ulike punkter. For å løse slike problemer benytter vi en utvidet versjon av Green’s funksjon. Her innebærer løsningen at vi finner en passende Green’s funksjon for systemet, og ved hjelp av denne funksjonen kan vi bygge den totale løsningen ved å bruke et integral over området av interessen.

I eksemplet som diskuteres, benytter vi løsningen for et Cauchy–Euler-problem, som er en spesiell type differensialligning som ofte oppstår i fysikk og ingeniørvitenskap. Her finner vi den generelle løsningen ved å bruke den såkalte hjelpefunksjonen, som hjelper oss med å finne de spesifikke verdiene for den homogene løsningen og deretter bruke disse til å konstruere løsningen for randverdiproblemet. Denne tilnærmingen er spesielt nyttig når randbetingelsene er spesifisert som verdier ved bestemte punkter.

Det er viktig å merke seg at løsningen av slike problemer ikke alltid er trivielle. Ofte innebærer det et nøye valg av integrasjonsmetoder og en grundig forståelse av de fundamentale løsningene som er tilgjengelige. I tillegg kan endringer i randbetingelsene eller eksterne kilder føre til endringer i hvordan løsningen konstrueres, noe som krever en viss fleksibilitet i metoden som brukes.