Hvordan analysere aksialbelastning på stenger og stangkomponenter: Grunnleggende prinsipper og matematiske modeller

Aksialbelastning på stenger er en grunnleggende problemstilling innen kontinuitetsmekanikk og materialvitenskap. Denne problemstillingen kan beskrives ved hjelp av tre fundamentale ligninger: kinematikk, materiallov (constitutive law), og likevektsligninger. I dette kapittelet presenteres en analytisk tilnærming for å beskrive oppførselen til aksialt belastede stenger, med fokus på elastiske og elastoplastiske løsninger under ulike last- og randbetingelser.

Når et aksialt lastet segment betraktes, vil et differensialelement av stangen deformeres under belastning. Endringene i lengde for dette differensialelementet $dx$ kan beskrives ved kinematikkens relasjon, som sier at den inntil videre uendret lengden $dx$ blir forandret med en forskyvning $du_x$, som reflekterer den elastiske eller plastiske deformasjonsprosessen.

Strain-displasement-forholdet kan uttrykkes som:

Dette uttrykket er grunnlaget for å knytte forskyvningene til aksial belastning og stress. Dermed får man en lineær sammenheng mellom stress $\sigma_x(x)$ og strain $\varepsilon_x(x)$ gjennom materialloven, som for et elastisk materiale gir:

Her er $E$ materialets elastisitetsmodul, som i det elastiske området er en konstant. For aksialt lastede stenger antas normalt at både stress og strain er konstante over tverrsnittet.

Videre, i henhold til likevektsloven, skal den interne reaksjonskraften $N_x$ og den eksterne belastningen $p_x(x)$ være i statisk balanse. Dette kan uttrykkes for et differensialelement som:

Ved å bruke en Taylor-ekspansjon for $N_x(x + dx)$ kan dette føres videre til:

Denne likevektsligningen er avgjørende for å relatere de eksterne kreftene til de indre reaksjonskreftene i stangen.

Kombineringen av de tre grunnleggende ligningene – kinematikk, materiallov og likevekt – gir den styrende differensialligningen for aksialt lastede stenger:

For spesifikke tilfeller, for eksempel elastisk belastning, kan denne ligningen forenkles ytterligere. Hvis aksial stivhet $EA$ er konstant, får man en enkel differensialligning som gir løsninger for forskyvningen i stangen, både for elastiske og plastiske tilfeller.

Det er viktig å merke seg at i et realistisk ingeniørscenario vil stangen gjennomgå både elastiske og plastiske deformasjoner, spesielt under høyere belastninger. I slike tilfeller kan elastoplastisk teori, som omfatter både elastisk stivhet og plastisk flyt, gi en mer nøyaktig beskrivelse av materialets oppførsel. Her er det essensielt å bruke tilpassede flytlover, som von Mises eller Tresca kriterier for plastisk flyt, samt modellene for isotrop og kinematisk hardhet for å beskrive materialets respons på aksialbelastning.

Ved behandling av plastisk deformasjon kan det være nødvendig å analysere utviklingen av de indre hardhetsvariablene. Dette kan for eksempel gjøres ved å bruke den elasto-plastiske modulusen for å forstå hvordan materialet stivner under belastning. For den isotropiske hardheten kan dette beskrives gjennom en modifikasjon av materialmodulen $E_{elpl}$, som kan uttrykkes som:

Denne modifikasjonen viser hvordan materialet endrer sin stivhet når plastiske deformerende prosesser skjer.

En grundig forståelse av disse konseptene er avgjørende for å kunne forutsi og kontrollere oppførselen til strukturelle elementer som stenger og stangkomponenter under belastning. Det er ikke bare materialets elastiske egenskaper som spiller en rolle, men også hvordan materialet svarer på plastisk flyt, og hvordan dette påvirker både den interne styrken og den makroskopiske oppførselen til strukturen.

For leseren er det viktig å merke seg at en grundig forståelse av både elastiske og plastiske egenskaper i et materiale er nødvendig for å kunne modellere og analysere kompleks oppførsel i strukturelle systemer. Å bruke enkle modeller som kun tar hensyn til elastisitet kan være utilstrekkelig i mange praktiske tilfeller, spesielt i strukturer som er utsatt for store påkjenninger. Kunnskap om hvordan hardhet utvikler seg i materialet og hvordan dette kan beskrives gjennom hardhetsmodeller som von Mises eller Tresca, gir en mer realistisk fremstilling av materialresponsen under belastning.

Hva er den beste metoden for å finne tilnærmede løsninger i differensialligninger?

I praksis er det ofte umulig å beregne den eksakte løsningen på en differensialligning, særlig når det gjelder kompliserte problemer i mekanikk, fysikk eller ingeniørfag. Derfor er det nødvendig å benytte tilnærmingsmetoder for å finne løsninger som er så nøyaktige som mulig. Den generelle tilnærmingen er å representere løsningen som en sum av en konstant verdi og et sett av lineært uavhengige basisfunksjoner, som vist i ligning (5.6):

Der α₀ er den verdien som tilfredsstiller de ikke-homogene randbetingelsene, og αₖ er de ubestemte parametrene som må identifiseres gjennom den valgte tilnærmingsmetoden. Funksjonene ϕₖ(x) er basisfunksjoner som er lineært uavhengige og kan brukes til å bygge opp løsningen på problemet.

For å utvikle en tilnærmet løsning, er det viktig å betrakte feilen, eller residualen, som oppstår når man erstatter den eksakte løsningen u₀(x) med den tilnærmede løsningen u(x). Denne feilen kalles residualen og kan defineres som:

Her er L en differensialoperator og b en funksjon som representerer høyresiden av likningen. For å minimere denne feilen benyttes det metoder der residualen multipliseres med en vektfunksjon W(x) som fordeler feilen over hele området Ω på en måte som gjør at feilen går mot null i et gjennomsnitt:

Denne formelen kalles for et indre produkt og representerer det grunnleggende prinsippet i vektet residualmetode. Valget av vektfunksjonen W(x) er avgjørende for hvordan feilen distribueres i området Ω, og det finnes flere metoder basert på dette prinsippet.

Ulike metoder basert på indre produkt

En av de enkleste metodene som kan benyttes, er punkt-kollokasjonsmetoden. Her velges vektfunksjonen som en Dirac-deltafunksjon, som er null overalt bortsett fra ved et bestemt punkt xₖ. Denne metoden krever at feilen går mot null på n valgte punkter, kalt kollokasjonspunktene. På disse punktene må den tilnærmede løsningen oppfylle differensialligningen eksakt. Denne metoden er rask fordi den ikke krever noen integrasjon over domenet, men har en ulempe i at valg av kollokasjonspunktene kan være svært kritisk, og kan føre til mindre nøyaktige resultater hvis punktene er dårlig valgt.

En annen populær metode er subdomene-kollokasjonsmetoden, hvor feilen integreres over et delområde i stedet for på punkt. Her blir integralen av feilen satt til null på delområdene Ωᵢ, noe som gir en tilnærming som er mer robust for noen typer problemer.

Metoden for minste kvadrater er en annen tilnærming som minimerer den gjennomsnittlige kvadrerte feilen. Denne metoden gir en optimal løsning ved å minimere integralet av feilen, noe som gjør den mer generell og anvendelig i flere sammenhenger. Den kan også benyttes til å optimalisere feil som kan være forskjellig fra null på forskjellige steder i domenet.

I Petrov-Galerkin-metoden velges basisfunksjonene for den tilnærmede løsningen og vektfunksjonen ulikt. Denne metoden er mer fleksibel og kan benyttes for mer komplekse problemer, hvor det er behov for å bruke forskjellige typer funksjoner for de to formene. Petrov-Galerkin-metoden har derfor potensial til å gi mer nøyaktige løsninger, spesielt i tilfeller hvor de tradisjonelle Galerkin-metodene er mindre effektive.

Svak formulering og dens betydning

En videre utvikling av metodene som benytter det indre produktet, er den svake formuleringen. Denne metoden er spesielt nyttig når man jobber med differensialligninger av høyere orden. Gjennom en delvis integrasjon av det indre produktet kan man oppnå en svakere differensialbetingelse som reduserer kravene til differensierbarhet på basisfunksjonene.

Disse svakere betingelsene er særlig nyttige for finite element metoder, hvor elementer med lavere grad av glathet kan benyttes.

Viktige betraktninger

Når man velger en metode for tilnærming av løsninger på differensialligninger, er det flere faktorer man bør ta hensyn til. For det første er valget av basisfunksjoner og vektfunksjoner avgjørende for metodens nøyaktighet og konvergens. I mange praktiske tilfeller kan det være nødvendig å gjøre kompromisser mellom beregningstid og nøyaktighet. Dette kan innebære at man velger en metode som gir en rimelig god tilnærming, men som er rask å beregne, selv om den ikke alltid er den mest presise.

Hvordan Monotonisk Strekkbelastning på Et Elastoplastisk Stangelement påvirkes av Skadeffekter (Gurson-modellen)

Monotonisk strekkbelastning på et elastoplastisk materiale, særlig under påvirkning av skade, er et viktig tema i materialvitenskap og mekanikk. Dette kan illustreres med et enkelttest i én dimensjon, der ingen effekter fra sammentrekning eller klyping av prøven er vurdert. Modellen som brukes for å beskrive skade er Gurson-modellen, en ofte benyttet tilnærming for å modellere utviklingen av skade i plastiske materialer. Her benyttes et matrisebasert løsningsskjema, som er nærmere beskrevet i tidligere seksjoner.

For å simulere en strekkprøve, kan en endeforskyvningsgrensebetingelse brukes for å påføre en monotonisk strekkbelastning. Denne metoden tar for seg tilfeller der σ ≥ 0, og det forutsettes at materialet forblir i strekkregimet, noe som betyr at effekter av kinematisk herding kan neglisjeres. Materialets elastiske område er definert ved Youngs modul E = 70000 MPa, mens det plastiske området er beskrevet ved en kvadratisk flytkurve, k(κ) = (350 + 12900κ − 1.25 × 10^5κ²) MPa, hvor den ekvivalente plastiske strekken |εpl| er den relevante hardingsvariabelen.

Under simuleringen blir det nødvendig å bestemme en rekke variabler, som plastisk deformasjon, trialspenning, effektive spenninger, skadevariabler og konvergensparametere, for hver iterasjon. Simuleringen benytter 20 jevnt fordelte inkrementer med en elastisk strekking på |Δεn| = 0.001 per trinn. For å oppnå tilstrekkelig nøyaktighet benyttes en konvergenskriterium for vektorens norm ‖v(i+1) − v(i)‖ med en verdi på 0.00001.

I eksempelet for D0 = 0.0, som refererer til fravær av skade i starttilstanden, kan resultatene sammenlignes med de som er oppnådd fra tidligere tabeller. Resultatene viser at ingen skade utvikles under deformasjonen, og ingen forskjeller ble sett mellom den valgte modellen og en vanlig von Mises-modell. Dette bekrefter at Gurson-modellen i dette tilfellet ikke skiller seg vesentlig fra en ren elastoplastisk modell når det ikke er initial skade tilstede.

For tilfellene der D0 > 0, altså når det finnes en startverdi for skade, vil skade utvikles i løpet av lastingssyklusene. For D0 = 0.001, som er en liten initial skade, kan det observeres at de første inkrementene forblir i det elastiske området, og bare etter at plastiske deformasjoner oppstår begynner skade å utvikle seg. Konvergenskriteriet som er definert, krever flere iterasjoner før de plastiske deformasjonene stabiliseres. Skaden øker jevnt med økende deformasjon, som kan ses i den grafiske fremstillingen av skadevariabelen.

Når det gjelder sammenligningen mellom ulike tilfeller av skade (D0 = 0.001 og D0 = 0.01), viser de numeriske resultatene at jo større den initiale skaden er, jo raskere utvikles ytterligere skade under påfølgende last. Den plastiske strekken og den effektive spenningen avviker også merkbart fra de opprinnelige, ikke-skadede verdiene, noe som påvirker både materialets mekaniske egenskaper og den resulterende stress-strain kurven.

For materialer som opplever skade under belastning, er det viktig å forstå at skaden ikke nødvendigvis fører til umiddelbar svikt, men heller en gradvis svekkelse av materialets bæreevne. Den visuelle representasjonen av stress-strain kurver viser at til tross for skaden, vil materialet fortsatt være i stand til å bære belastning, men med redusert kapasitet. Dette fenomenet er viktig å ta hensyn til når man vurderer levetid og sikkerhet ved design av strukturer som skal tåle belastninger over tid.

Skadeutvikling i elastoplastiske materialer under belastning er en kompleks prosess som involverer flere variabler. Når det gjelder numeriske simuleringer, er det avgjørende å ha et nøyaktig konvergenskriterium og iterasjonsmetode for å sikre pålitelige resultater. Den matematiske formuleringen og de nødvendige beregningene for et gitt materiale kan variere avhengig av dets spesifikasjoner og skadeegenskaper, og derfor bør man alltid være forsiktig med å generalisere resultatene for ulike typer materialer.

I tillegg til forståelsen av den numeriske løsningen, er det viktig å merke seg at den faktiske skadeutviklingen i et materiale kan være avhengig av faktorer som temperatur, belastningshastighet, og materialets mikrostruktur. Dette kan gjøre at de ideelle modellene som benyttes i beregningene ikke nødvendigvis er fullt representative for det faktiske materialets oppførsel i et praktisk miljø. For en fullstendig forståelse, bør det tas hensyn til både makroskopiske og mikroskopiske analyser av skade.