Hvordan kan observabler og tilstander forstås gjennom topologiske og algebraiske strukturer?

I analysen av hvordan Hilbert-rommet $H$ naturlig kan innlemmes i en rigget tredobbel $(W, \mathcal{H}, W')$ , er det essensielt å klargjøre observablers og tilstanders kjernepreg. Innbedding skjer via en naturlig og kontinuerlig lineær avbildning $j: \mathcal{H} \to W'$ , hvor $[j\xi, z] = (\xi, z)$ for $\xi \in \mathcal{H}, z \in W$ , uten kompleks konjugasjon. Dette dualitetsparret er bilineært, ikke seskvilineært, noe som har dype konsekvenser når $\mathcal{H}$ har pre-Hilbert-struktur. Den nødvendige forskjellen mellom disse to dualitetsformene artikuleres gjennom en kompleks struktur, her gitt ved den antilineære operatoren $J$ , som muliggjør et klart skille mellom kets og bras i Diracs formulering. Operatoren $k: W \to W'$ kan derav faktoreres som $k = j \circ J$ .

Denne strukturen bærer med seg et fullstendig topologisk og algebraisk bilde. Tensorproduktet $W \otimes W$ utstyres med en vektet topologi, og operatorer $T \in W \otimes W$ definerer via avbildningen $k$ nukleære operatorer i $\mathcal{T}$ , som virker på $\mathcal{H}$ og etterlater $W$ invariant. Det etableres et topologisk isomorfi mellom $W \otimes W$ og $\mathcal{T}$ , hvor $k(x \otimes y)w = (Jx, w) y$ . Dette danner grunnlaget for forståelsen av $\mathcal{T}$ som mengden av $W$ -nukleære operatorer.

Dualiteten mellom $W \otimes W$ og de positive, kontinuerlige operatorene $\mathcal{L}^+(W)$ er gitt ved trace-formelen: $[T, A] = \mathrm{tr}(A \cdot k(T))$ , hvor $A \in \mathcal{L}^+(W)$ , $T \in W \otimes W$ . Dette formaliserer tolkningen av tilstander som sporbart definerte funksjonaler på algebraen av observabler. Enhver kontinuerlig funksjonell på $\mathcal{L}^+(W)$ kan således representeres som en trace over en $W$ -nukleær operator – altså som et element i $\mathcal{T}$ . Mengden av slike funksjonaler deles videre inn i hermitisk og positiv del, med mengden av tilstander $\mathcal{S} \subset \mathcal{T}$ karakterisert ved $\mathrm{tr}(R) = 1$ , $R \geq 0$ . Disse utgjør basen for kjeglen $\mathcal{L}^+(W)^*$ .

Disse tilstandene kalles også $W$ -tetthetsmatriser, og begrepene "tilstand" og "tetthetsmatrise" brukes deretter om hverandre. Når vi nå knytter dette til representasjonsteori, står GNS-konstruksjonen sentralt. For en tilstand $T_x$ , definert som $T_x(a) = (x, a x)$ for $x \in W$ , er den assosierte GNS-representasjonen enhetsekvivalent med Schrödinger-representasjonen. Denne er algebraisk irreduktibel, hvilket betyr at $T_x$ er en ren tilstand – og omvendt: enhver ren tilstand er en vektortilstand.

Denne ekvivalensen hviler på en dyp identifikasjon: mellom $A / \ker T_x$ og $A x$ , og videre mellom dette og hele $W$ . Ved å benytte operatorer $P_{y,z} \in \mathcal{L}(W)$ definert ved $P_{y,z}(w) = (w, y) z$ , vises det at hele $W$ kan genereres fra vektorer av typen $a x$ , og dermed at representasjonen er sterk.

I betraktning av den trasestrukturelle identifikasjonen av tilstan

Hvordan spektralteori og generaliserte egenvektorer påvirker kvantemekanikkens måleteori

I spektralteorien for uendelig-dimensjonale rom er et av de mest fremtredende kjennetegnene tilstedeværelsen av det kontinuerlige spektrum, som først ble oppdaget av Hilbert i 1906 i forbindelse med hans teori om integrallikninger. Dette aspektet ble videreutviklet i teorien om selv-adjungerende operatorer i Hilbert-rom av Lorch, Stone og von Neumann, hvor den sentrale ideen var bruk av projeksjonsverdimål. I utvidelsen av denne teorien til symmetriske operatorer, introduserte Naimark behovet for å erstatte projeksjonsverdimål med positive operatorverdimål (POVM). Denne utviklingen er viktig i kvantemekanikkens måleteori, som i mange tilfeller ikke kan forstås ved hjelp av vanlige egenvektorer, spesielt for observabler som ikke har noen egenvektorer i tradisjonell forstand, som for eksempel posisjon- og impulsoperatorene. I slike tilfeller representerer det kontinuerlige spektrum den "skatteringstilstanden" hvor systemet kan gjennomgå kompleks bevegelse som frakobling og rekombinasjon, som eksemplifisert ved salt som løses opp i vann.

Denne teoretiske tilnærmingen tillater oss å tilpasse beskrivelsen av målinger for å ta hensyn til slike kompleksiteter. For de bundne modellene er dette allerede gjort av blant annet Davies og Lewis, og i kapittel 7 vil vi presentere en tilsvarende variant for de ubundne modellene. Et sentralt verktøy i denne tilpasningen er spektralteori, som kan uttrykkes enten i et operator- eller distribusjonsrammeverk. Når det gjelder distribusjonsformen, får man innsikt i den riggede Hilbert-romstrukturen, og distribusjoner er nødvendige for å diskutere Dirac bra- og ket-notasjonen, som selv om de ikke brukes direkte i modellen, fortsatt har betydning for fysikere.

Videre antar vi at leseren er kjent med spektralteori for ubundne selv-adjungerende operatorer. I denne sammenheng vil vi presentere teorien i to former: den projeksjonsverditeoretiske formen til Lorch og von Neumann, samt Fourier-transformen, som begge er ekvivalent. Denne teorien er imidlertid ikke direkte anvendbar på vårt modell da observablene i all hovedsak er hermiteske men ikke nødvendigvis selv-adjungerende. For slike symmetriske operatorer kreves det en utvidet spektralteori, som Naimark utviklet, og som omfatter nødvendige forlengelser av operatorene til større Hilbert-rom. På disse utvidede rommene har operatorene samme mangelfulle indekser som de originale operatorene, og kan dermed ha selv-adjungerende forlengelser.

Den utvidede spektralteorien tillater at symmetriske operatorer representeres som et integral over en spektralfamilie av positive operatorer. Det er viktig å merke seg at, i motsetning til selv-adjungerende operatorer som har en unik spektral-dekomposisjon, kan en gitt symmetrisk operator ha mange ulike representasjoner. Dette er en vesentlig forskjell som påvirker målingen og forståelsen av systemet i kvantemekanikken.

Når det gjelder de konkrete implementasjonene, bruker man begrepet "generaliserte spektralfamilier", som er en enparameterfamilie av positive kontraksjonsoperatorer. Dette gir en mer fleksibel måte å håndtere observablene på, ettersom disse ikke nødvendigvis er projeksjoner. En viktig egenskap ved slike familier er at de tilfredsstiller visse additivitetsbetingelser, og at de gir en passende generalisering av projeksjonsverdimålene (PVM) som er vanlige i klassisk kvantemekanikk. På samme måte som i projeksjonsverdimålene, har generaliserte spektralfamilier en tett sammenheng med målingene som utføres i kvantemekanikkens forskjellige teorier.

For å konstruere en fullt ut definert teori for slike operasjoner, har forskere som Gel’fand og Maurin vist at den riggede Hilbert-rammen kan tilpasses på en måte som gir et tilfredsstillende resultat. Dette gjør det mulig å representere observablene på en mer realistisk måte, og gir et viktig teoretisk rammeverk for å forstå hvordan kvantemekaniske systemer fungerer på mikroskopisk nivå. Videre vil vi, i neste kapittel, utforske hvordan disse teoretiske utviklingene kan brukes for å beskrive og analysere dynamikken til kvantemekaniske systemer under målinger.

Hva innebærer cr-additivitet og regularitet for instrumenter i kvantemålinger?

La (A_y) være en a-familie, og la a være et element i A, med S som en tilstand. Da har vi at [S, ZB, T(A)a] = T(a) [S, B(A) | W]. Dette viser at det er tilstrekkelig å bevise at [S, B(A) | w] er cr-additiv; utvidelsen fra tilstander til generelle funksjonaler følger umiddelbart, siden A_1 er genererende. En tilstand S kan dekomponeres i rene tilstander, slik at S'(a) = Σ λ_fc (e*_fc a e_fc). Ettersom B er sterkt cr-additiv, er for hver fc funksjonen A^(e_fc, B(A) e_j_fc) a-additiv.

Ved å betrakte tellemålingen v på ℕ, defineres funksjonen f_n(k) i denne sammenheng. Vi ser at instrumentet I, som måler observablen A, kan defineres slik at det resulterer i en positiv respons B, med B < A. Den sterke feilen i målingen av a med instrument I er funksjonen h_{a,b} : Bor(K) × H → ℝ gitt ved M_{AB}(A,v) = ||[^(A) - P(A)] v|| for A i Borel-sigmaalgebraen Bor(ℝ) og v i Hilbertrommet H. Denne funksjonen tilfredsstiller 0 < h_{a,b}(A,v) < ||v||. På samme måte defineres den svake feilen ved funksjonen c_{a,b} : Bor(ℝ) × S → [0,1] gitt ved α_{A,B}(A,T) = |T[A(A) - B(A)]| for alle T i tilstandsmengden S og A i Bor(ℝ).

Disse feilgrensene er ikke sensitive for manglende repeterbarhet i instrumentet. Et instrument definerer et spørsmål og dermed en observabel, og hvis det brukes til å måle denne observablen, forsvinner begge feilfunksjonene identisk. Likevel har instrumentet vanligvis ikke streng repeterbarhet, og det kan utvikles ulike mål for dette fenomenet.

Når vi går over til kontinuitet og regularitet, følger flere konsekvenser av instrumentenes definisjon. En instrumentfunksjon I : Bor(ℝ) → (X'[m'])s er positivitetbevarende og a-additiv med hensyn til topologien for enkel konvergens. Instrumenter er indre regulære: for alle Borel-mengder A gjelder T(A) = s-lim{K⊆A} T(K), der grensen tas over økende kompakte delmengder av A, og konvergensen er i den relevante topologien. Dessuten er enhver instrumentfunksjon begrenset i denne topologien.

Mer presist, gitt en positiv funksjonal T og en positiv observabel a, er Z(A)a også en positiv observabel, og derfor er (Z(A)T, a) = (T, Z(A)a) ≥ 0, som viser at I(A)T er positiv. Med Ai ⊆ A2 som reelle Borel-mengder, følger additiviteten i instrumentfunksjonen fra at (Z(A2)T, a) = (T, Z(A1)a) + (T, Z(A2 \ A1)a) ≥ (T, Z(A1)a). For en a-familie (A_i) er derfor sekvensen av funksjoner monotont økende og konvergerer til S = Z(∪ A_i) T, som sikrer a-additivitet for alle T i dualrommet.

Denne typen a-additivitet er essensiell for å knytte instrumenter til positive mål og dermed sikre regularitet. Siden enhver positiv Borel-måling som er endelig på kompakte delmengder i et lokalkompakt Hausdorff-rom med a-kompakte åpne mengder er regulær, følger indre regularitet for instrumenter i vårt tilfelle naturlig. I praksis betyr dette at en instrumentmåling kan approksimeres fra innsiden ved målinger på kompakte delmengder, noe som er avgjørende for matematisk konsistens i kvantemålingsteori.

Instrumenters kontinuerlighet og begrensning i topologien for enkel konvergens sikrer også stabilitet i tilnærminger og beregninger, noe som er fundamentalt for anvendelser i kvantefysikk. Disse egenskapene legger grunnlaget for videre utvidelser til mer generelle mål og funksjonaler, og for utvikling av presise kvanteinstrumenter med kontrollerte feil og forståelige måleegenskaper.

Det er viktig å forstå at disse tekniske egenskapene ikke bare er matematiske formaliteter, men gir innsikt i hvordan kvantemålinger kan konstrueres, analyseres og forbedres. De illustrerer hvordan algebraiske o

Hvordan forstå instrumentelle observabler i kvantemekanikk: teoremer og metoder

Instrumentelle observabler spiller en viktig rolle i kvantemekanikk, spesielt når vi ønsker å analysere målingene og spektralfunksjonene til et kvantemekanisk system. I mange tilfeller må vi finne observabler som ikke nødvendigvis er essensielt selv-adjungerende, men som likevel kan brukes til å utføre meningsfulle fysiske målinger.

La oss vurdere en observabel b som tilhører rommet Ah, og tenk oss at vi har et spørsmål om b. For å få informasjon om b, kan vi velge et funksjon $f$ slik at $a = 0$ . Spesielt for observabler som $q$ , $p$ eller $H$ , er den lokale ekvifinuiteten til en enparameterenhetgruppe av $U(HQ | pv)$ av en spesiell form. Hvis b er en av disse observablene, kan vi finne en konstant $C > 0$ slik at for alle $H \in R$ og $w \in W$ , $ptw \|w\|^2 \leq C (h (J))^2$ , som bevarer $W \otimes W$ , og det er slik at for alle $u, v \in W$ , har vi

\lim_{T \to \infty} A_u = y \int F(dt)(u \otimes v) = 0.

Gjennom å projisere $F$ på den første komponenten av $Y \otimes Y$ , får vi et spørsmål om b, og dette gir oss en metode for å finne visse instrumentelle observabler som ikke er essensielt selv-adjungerende. Det er også viktig å merke seg at slike spørsmål kan gi gode tilnærminger til de spektrale funksjonene.

La oss anta at b tilhører Ah og oppfyller betingelsene i teorem 7.14. Dersom $f \in Yi$ , kan vi sette $f(X) = r7(V/?2), f(\omega)$ , og da har vi $fp \in Ji$ . La $Mp$ være spørsmålet om b som er assosiert med $\hat{H}$ . I denne sammenhengen begrenser vi oss til de åpne intervallene $I = (c, d)$ , og for et gitt spørsmål $J = \{ \text{rn} \in M : |X(m) - c| < \epsilon \text{ eller } |X(m) - d| < \epsilon \}$ , har vi den viktige uligheten:

\| [MX) - \hat{E}(I)]u \|^2 < M^2 \left[ \int_{|s|>l/0} |f(s)|^2 ds + \int J \| (V u)(m) \|^2 d\mu(m) \right].

Dette innebærer at $\lim_{T \to \infty} \| [MX] - E(I)]u \| = 0$ , og dette gjelder for alle $u \in H$ . Dette gir et solid fundament for å påvise at visse observabler kan anses som instrumentelle, selv om de ikke nødvendigvis er selv-adjungerende.

Videre er det også et viktig resultat som sier at instrumentelle observabler utgjør en sekvensielt tett mengde i Ah. Dette kan demonstreres ved å bruke en tilnærming der vi finner en sekvens av operatører som konvergerer til b i Ah. Spesielt kan vi vise at for enhver $b \in Ah$ , finnes det en sekvens $\{b_{mn} \}$ slik at $b = \lim_{m,n \to \infty} b_{mn}$ . Denne sekvensen gir et resultat som viser at instrumentelle observabler er relativt vanlige i denne sammenhengen.

I tillegg kan vi vise at et instrumentelt spørsmål $M_r$ , som er tilknyttet et gitt $b$ , vil konvergere til den spektrale funksjonen $B$ , for alle begrensede åpne intervaller $I$ , gitt at ingen endepunkter er egenverdier for $b$ . Dette gir et sterkt teoretisk grunnlag for å forstå hvordan slike observabler kan brukes i praktiske målinger.

Når vi vurderer et spesielt tilfelle av fysikalsk målbare observabler, viser et teorem at for enhver $b \in Ah$ , hvis vi kan finne $z \in C \setminus R$ slik at $z \in \sigma(b)$ , er $b$ fysikalsk målbar. Denne definisjonen krever at observablen oppfyller spesifikke betingelser, inkludert at spektralfunksjonen $Z$ er godt definert og at det finnes en passende vektfunksjon for operatøren.

Til slutt må vi merke oss at det er mulig å finne en stor klasse av instrumentelle observabler ved å bruke et mer generelt teorem (7.16). Dette teoremet gjør det mulig å finne et intervall $r_0$ der forholdene er tilfredsstilt for alle $0 < r < r_0$ , og dette fører til et sett av spørsmål som konvergerer til en god tilnærming til den spektrale funksjonen. Dette er en svært nyttig tilnærming for å analysere observablene som kan være vanskelige å håndtere direkte, og gir oss en kraftig metode for å nærme oss fysiske målinger i kvantemekaniske systemer.

Hva er tilstand og observerbare i kvantemekanikk?

Når vi betrakter verden på atom- og subatomært nivå, blir våre vanlige forestillinger om rom og materie radikalt utfordret. Et atom, for eksempel, kan tenkes å ha en diameter på flere meter dersom vi proporsjonaliserer størrelsesforholdene, mens kjernen er mindre enn 1/100 millimeter i diameter. Til tross for denne enorme skalaendringen, er massen til de mange elektronene i atomet til sammen mindre enn ett gram. Det viktigste å forstå er at vi ikke har noen direkte sansbar erfaring med disse partikler. All vår kunnskap bygger på indirekte målinger, der samspill med makroskopiske instrumenter gir oss informasjon. Å beskrive atomer med begreper fra den makroskopiske verden, som bølger eller partikler i vanlig forstand, vil uunngåelig føre til både fysisk og logisk inkonsistens.

I kvantemekanikken er begrepene tilstand og observerbare fundamentale, men samtidig uklare og abstrakte. En tilstand kan forstås som systemets øyeblikkelige konfigurasjon, som inneholder all tilgjengelig informasjon om dets tilstand. Men denne informasjonen kan være udefinert eller uklar. Det finnes tilstander som ikke har entydige verdier for dynamiske størrelser, som energi. Slike tilstander kan representeres som konvekse kombinasjoner av tilstander med bestemte verdier, noe som betyr at systemet kan befinne seg i flere tilstander samtidig. Dette medfører at verdien man får ved en måling er iboende usikker og styrt av sannsynlighet. Tilstander i kvantemekanikken må derfor tolkes med et innslag av usikkerhet og indeterminisme.

Observerbare er kvantemekanikkens motsvar til de klassiske dynamiske variablene som posisjon, impuls og energi. De er ikke bare fysiske størrelser, men formelt elementer i en algebra, mens tilstandene er lineære funksjoner på denne algebraen. Kvantemekanikken kan dermed beskrives som et system bestående av observer og tilstand, hvor algebraen representerer observerbare og tilstandene representerer systemets konfigurasjoner. Det er viktig å understreke at ikke alle elementer i denne algebraen nødvendigvis tilsvarer observerbare som kan måles fysisk; kun en bestemt undergruppe, de hermitiske elementene, representerer fysiske observasjoner.

For at teorien skal være fullstendig, kreves en valg av algebra som inkluderer alle kvanteanaloger til de klassiske dynamiske variablene. Dette innebærer at algebraen inneholder operatorer som oppfyller de kanoniske kommutasjonsrelasjonene (CCR). Disse operatorene kalles heving- og senkeoperatorer, og de spiller en sentral rolle i formuleringen av kvantemekanikken, særlig innen kvantefeltteori. Disse operatorene defineres som lineære operatorer på et lokalt konvekst rom, som gjør det mulig å bygge opp algebraen.

En representasjon av CCR kalles s-klasse dersom den er syklisk, med en unik syklisk vektor som tilfredsstiller Fock-betingelsen, hvor senkeoperatorene nuller ut denne vektoren. Denne vektoren kalles Fock-vektoren og er grunnlaget for konstruksjonen av mange fysiske systemer i kvantemekanikken. S-klasse representasjonene sikrer at de grunnleggende fysiske observablene kan måles i alle tilstander, noe som er en avgjørende forutsetning for at kvantemekanikken skal kunne beskrive virkeligheten konsistent.

Strukturen som oppstår ved denne tilnærmingen innebærer at det underliggende matematiske rommet, det såkalte riggede Hilbert-rommet, gir en robust ramme for å håndtere operatorer og tilstander med de nødvendige kontinuitets- og målbarhetsegenskapene. Dette sikrer at målinger gir reelle verdier, slik det kreves i fysikken.

Det er vesentlig å forstå at all kvantemekanisk teori og eksperimentell observasjon i realiteten bygger på en kompleks samhandling mellom abstrakte matematiske strukturer og praktiske måleprosesser. Den dype betydningen av tilstandsbegrepet, kombinasjonen av determinerte og udefinerte størrelser, og den unike rollen til observerbare innen en algebraisk struktur, danner grunnlaget for den moderne forståelsen av mikroskopiske fenomener.

Endvidere må leseren være oppmerksom på at kvantemekanikkens grunnleggende usikkerhet ikke bare er en følge av måleinstrumenters begrensninger, men en iboende egenskap ved naturen. Slik indeterminisme bryter med klassiske forestillinger om objektiv, uavhengig virkelighet, og inviterer til en ny måte å tenke på kausalitet og eksistens i fysikk. Forståelsen av denne fundamentale forskjellen er avgjørende for å gripe hele dybden i kvantemekanikkens natur og dens implikasjoner for fysikkens filosofi.

Hvordan fiskere ble fanget i nett av krigens groteskhet
Hvordan kan vi forstå parametre av orden og symmetriabrudd i systemer med mange komponenter?
Hvordan oksidasjon påvirker rød fosfors evne til uran-ekstraksjon
Hvordan håndtere argumenter og filinnlesing i et Rust-program med clap