Hvordan kan stokastisk averaging anvendes på kvasi-integrable Hamiltonianske systemer med stasjonære bredbåndsstøy og fraksjonell Gauss-støy?

Det er mulig å utlede gjennomsnittlige fraksjonelle stokastiske differensialligninger (SDE) for et kvasi-integrabelt Hamiltoniansk system eksitert av stasjonær bredbåndsstøy og fraksjonell Gauss-støy (fGn). Ved å betrakte de stokastiske prosessene som stasjonære og bredbåndede, kan man anvende stokastisk averaging for å redusere kompleksiteten i systemet og beskrive dynamikken ved hjelp av Itô SDE-er med bestemte driv- og diffusjonskoeffisienter. Disse koeffisientene, som er funksjoner av systemets tilstander, reflekterer det underliggende samspillet mellom ikke-linearitetene og den stokastiske eksitasjonen.

Driftleddene (m₁, m₂, m₃) beskrives av funksjoner som inkluderer lineære og ikke-lineære bidrag fra tilstandene H₁ og H₂, samt vinkelen (psi), og inneholder uttrykk som avhenger av trigonometriske funksjoner som cos(2) og sin(2). Diffusjonsmatrisen, bᵢⱼ, viser diagonal dominans med null korrelasjon mellom forskjellige støykomponenter, noe som forenkler analysen av systemets stokastiske dynamikk.

Når man setter D₁ = D₂, gir den reduserte, gjennomsnittlige Fokker-Planck-Kolmogorov-ligningen (FPK) en eksakt løsning for stasjonær sannsynlighetstetthet (PDF) i form av en eksponentialfunksjon som inkluderer både lineære og ikke-lineære termer i H₁, H₂ og vinkelen . Denne PDF-en kan transformeres til en tilnærmet felles PDF for de opprinnelige koordinatene (q₁, q₂, p₁, p₂), som tillater utledning av marginale fordelinger og forventningsverdier for systemets dynamiske variabler.

Monte Carlo-simuleringer bekrefter at de analytiske løsningene basert på stokastisk averaging stemmer godt overens med den faktiske systemdynamikken, selv under varierende parametre som Hurst-indeks og eksitasjonsfrekvens ω. Dette understreker metodens anvendbarhet for kvasi-integrable Hamiltonianske systemer eksitert av fraksjonell Gauss-støy i et bredt parameterområde.

Videre utvides analysen til systemer som er eksitert av en kombinasjon av harmoniske og stasjonære bredbåndsstøy. Her anvendes en transformasjon av bevegelsesvariablene til et amplitudefase-system (A, ϕ) der de stokastiske driv- og diffusjonsleddene uttrykkes som funksjoner av amplituden og fasen, samt tid gjennom harmonisk eksitasjon. For små parameterverdier (ε) kan løsningen anses som en tilfeldig diffusjon av periodiske baner i fasespace, som gir et mer håndterlig rammeverk for å analysere sterk ikke-lineære systemer under stokastiske påvirkninger.

Det er vesentlig å merke seg at slike metoder for stokastisk averaging forener deterministisk dynamikk med stokastisk prosessanalyse, og tilbyr dermed en kraftfull tilnærming til å forstå og forutsi oppførselen til komplekse, støyeksiterte systemer som ikke lar seg løse eksplisitt. Anvendelsen av disse metodene krever nøye vurdering av betingelsene for stasjonaritet, ergodisitet og småstøy-approximasjoner, samt forståelse av hvordan systemparametere påvirker stabilitet og distribusjon av løsninger i fasespace.

Videre er det avgjørende å forstå implikasjonene av å betrakte støy som fraksjonell Gauss-støy, hvor hukommelseseffekter og langtidskorrelasjoner skiller seg betydelig fra hvit støy. Dette påvirker hvordan systemet responderer over tid og kan føre til ikke-trivielle dynamiske fenomener som langtidssammenheng og anomal diffusjon. Slike aspekter er viktige for korrekt modellering og prediksjon av fysiske og tekniske systemer som opererer under realistiske, komplekse støyforhold.

Hvordan Modellere Fluktuasjoner i Maskinsystemer Med Stokastiske Eksitasjoner?

Modellen for et enkelt maskinsystem koblet til et uendelig busssystem danner grunnlaget for modelleringen av flere maskinsystemer. Et enkelt maskinsystem koblet til et uendelig busssystem refererer til en situasjon der kapasitansen til den synkrone maskinen i strømnettet er langt større enn kapasitansen til den elektriske maskinen som undersøkes. I dette tilfellet blir det eksterne strømnettet sett på som en stor spenningskilde med nesten konstant spenningsamplitude og frekvens. Denne delen av analysen tar primært for seg de transiente prosessene til elektriske maskiner under stokastisk eksitasjon.

Generatoren blir modellert ved hjelp av en andreordens svingningsligning, som beskriver rotasjonsbevegelsen til generatorrotoren. De viktigste antakelsene for modellen er: (i) konstant intern spenning $E'$ , (ii) at den transiente saliens-effekten blir neglisjert, og (iii) konstant mekanisk effekt $P_m$ . I det deterministiske tilfellet er rotorens bevegelsesligning (svingningsligning) for en generator gitt som:

M \frac{d^2 \delta}{dt^2} + D \frac{d \delta}{dt} = P_m - P_e

Her representerer $\delta$ rotorvinkelen, $P_m$ er den mekaniske effekten, $P_e$ er den elektromagnetiske effekten, $M$ er treghetskonstanten, og $D$ er dempningskoeffisienten. Den elektromagnetiske effekten $P_e$ uttrykkes som:

P_e = P_{\text{max}} \sin(\delta - \nu)

Der $P_{\text{max}}$ er den maksimale elektriske effekten, og $\nu$ er impedansvinkelen, som vanligvis er en positiv verdi. Når den elektriske motstanden neglisjeres, kan $P_{\text{max}}$ skrives som:

P_{\text{max}} = \frac{E'}{X}

Hvor $E'$ er den indre elektriske potensialet, $U$ er spenningen til det uendelige bussystemet, og $X$ er den totale reaktansen i systemet. I steady-state er:

P_m = P_e(0) = P_{\text{max}} \sin(\delta_0 - \nu)

Hvor $P_e(0)$ og $\delta_0$ representerer de stasjonære verdiene av henholdsvis $P_e$ og $\delta$ . Alle variabler og parametere i ligningene er per-enhets verdier.

Stokastiske eksitasjoner kan oppstå fra effektsvingninger generert av nye energikilder eller lastforstyrrelser som elektriske kjøretøy. Disse fluktuasjonene skaper et ubalanse mellom den mekaniske effekten og den elektromagnetiske effekten. $P_L$ representerer den totale stokastiske eksitasjonen, som kan være både positiv og negativ, da stokastiske eksitasjoner vanligvis fluktuerer rundt et gjennomsnittlig nivå innen en relativt kort tidsperiode. Disse fluktuasjonene kan vanligvis antas å være en Gaussisk prosess, og derfor kan den stokastiske eksitasjonen $P_L$ uttrykkes som:

P_L = \sigma W_g(t)

Her er $W_g(t)$ en enhets Gaussisk hvit støyprosess, og $\sigma^2$ representerer intensiteten til $P_L(t)$ . Ved å sette inn uttrykkene for $P_L$ og $P_{\text{max}}$ i bevegelsesligningen får man:

M \frac{d^2 \delta}{dt^2} + D \frac{d \delta}{dt} = P_{\text{max}} \sin(\delta_0 - \nu) - P_{\text{max}} \sin(\delta - \nu) - \sigma W_g(t)

Denne ligningen beskriver et enkelt maskinsystem koblet til et uendelig busssystem, utsatt for stokastisk eksitasjon. Når vi går videre til flere maskinsystemer som er utsatt for stokastisk eksitasjon, blir systemet mer komplekst og kan beskrives som et ikke-lineært system med flere frie grader av frihet (DOF). For å forenkle analysen, kan flere antakelser gjøres:

Det må være et uendelig busssystem som referansesystem, eller et annet referansesystem må være definert for å unngå at bevegelseslikningene blir singulære.
$E'$ er konstant.
Transiente saliens-effekter og variabel mekanisk effekt blir neglisjert.

For et multi-maskinsystem som er utsatt for stokastiske eksitasjoner, kan bevegelseslikningene skrives som:

M_i \frac{d \delta_i}{dt} = P_{mi} - P_{ei} - D_i \omega_i + \sigma_i W_{gi}(t), \quad i = 1, 2, \dots, n

Her representerer $\omega_i$ per-enhetsverdien av rotasjonshastigheten, $P_{mi}$ den mekaniske effekten, $P_{ei}$ den elektromagnetiske effekten, og $D_i$ dempningskoeffisienten for maskinen $i$ . $W_{gi}(t)$ er den stokastiske eksitasjonen for hver maskin, modellert som uavhengige Gaussiske hvite støyer.

En nøkkelaspekt ved analysen av slike systemer er forståelsen av Hamilton-funksjonen, som i denne konteksten er energifunksjonen for systemet. Den beskriver total energi i systemet, inkludert kinetisk, potensiell og magnetisk energi. Hvis systemet er nær en balanse, kan det behandles som et quasi-Hamilton-system, hvor effekten av stokastiske eksitasjoner og energitap ved demping over en vibrasjonssyklus er relativt liten.

Dette gjør at vi kan bruke Itô stochastic differential equations (SDE) for å modellere systemets dynamikk. Når systemdemping og intensiteten til stokastiske eksitasjoner er små, kan systemet beskrives ved en Markov-prosess, som forenkler videre analyse. Den resulterende Itô-ligningen for systemet er:

\frac{dH}{dt} = m(H)dt + \sigma(H) dB(t)

Dette gjør det mulig å bruke stokastisk gjennomsnittsmetode for å forutsi systemets atferd over tid.

Å forstå hvordan disse stokastiske eksitasjonene påvirker et multi-maskinsystem er kritisk for design og drift av kraftsystemer, spesielt når det gjelder fornybare energikilder og elektriske kjøretøy som introduserer fluktuasjoner i belastningen. Hvordan systemet responderer på disse fluktuasjonene kan ha stor innvirkning på stabiliteten og påliteligheten til det totale kraftnettet.

Hvordan AI Transformerer Mekatronikk: Utvikling, Utfordringer og Muligheter
Hvordan tilberede saftige og smakfulle svinekjøttretter som aldri før
Hvordan symbolske referanser er forankret i den fysiske verden: Fra ikoniske til symbolske tegn
Hvordan japanske onsen-kulturer har påvirket regioner i Kyushu