Hvordan kompleksitet i habitatet påvirker interaksjonen mellom rovdyrene og byttedyrene

I området 0 < c < c1, når kompleksiteten i habitatet er svak, har de to artene en sterk interaksjon, noe som fører til deres sameksistens med varierende populasjoner. Variasjonen i populasjonene reduseres ettersom c øker. I området c1 < c < c2, som representerer moderat habitatkompleksitet, konvergerer begge arter til stabile tilstander, noe som indikerer at påvirkningen mellom artene reduseres. I begge tilfeller, både ved svak og moderat habitatkompleksitet, sameksisterer de to artene, men med forskjellige dynamiske atferder. Når habitatkompleksitetsparameteren c overstiger c2, blir interaksjonen mellom rovdyret og byttet så svak at de følger sine egne dynamikker. Etter en overgangsperiode vil byttepopulasjonen nå sin bæreevne k, og rovdyret vil utryddes ettersom bytteforsyningen ikke er tilstrekkelig for å opprettholde dens overlevelse.

Det er også mulig å skrive systemet som en modifisert Lotka-Volterra-modell. Denne modellen viser hvordan endringer i habitatets kompleksitet påvirker dynamikken til de to artene. I denne modifiserte modellen (4.126) er systemets atferd bestemt av habitatparameteren c, som påvirker hvordan de to artene interagerer over tid. Når c ligger mellom c1 og c2, har systemet samme ustabile likevektspunkt (0, 0) og stabile likevektspunkt (d/f, a/b), som i den klassiske Lotka-Volterra-modellen, men med en viktig forskjell: Den stabile likevekten er asymptotisk i den modifiserte modellen, mens den ikke er det i den klassiske modellen.

For å forstå dette bedre, kan vi se på hvordan funksjonene G1 og G2 i den modifiserte modellen fungerer. De spiller rollen som energidempende mekanismer som får systemet til å nærme seg likevektspunktet etter hvert som tiden går. Ved lav habitatkompleksitet (f.eks. c = 0,15) oscillerer disse funksjonene mange ganger, mens ved høyere kompleksitet (f.eks. c = 0,5) er oscillasjonene dempet og systemet nærmer seg likevekten raskere.

Videre kan denne modellen også undersøkes støymessig, ved å introdusere to uavhengige Gaussiske hvite støyer (Wg1(t) og Wg2(t)) som representerer tilfeldige forstyrrelser. Støyen påvirker dynamikken ved å gjøre at systemets tilstand blir mer diffust og ustabilt. For eksempel, ved svak habitatkompleksitet (c = 0,1), ser vi at den deterministiske løsningen avviker betydelig fra den støyete løsningen, og systemet oscillerer rundt en grenseyklus som blir mer diffus med høyere støy.

I tilfelle av moderat habitatkompleksitet (c1 < c < c2), som er en viktig tilstand for videre forskning, vil bytte- og predatorpopulasjonene nærme seg et dynamisk likevektspunkt, selv i nærvær av støy. Dette skjer ved at systemet vil oscille rundt dette punktet i en balansert tilstand, kjent som dynamisk likevekt. Den støyete modellen kan videre behandles ved hjelp av Itô-differensiallikninger, som gir en tilnærming til de stasjonære sannsynlighetsfordelingene til bytte- og predatorpopulasjonene. Denne analysen tillater oss å finne hvordan habitatkompleksitet og tilfeldige forstyrrelser påvirker populasjonsdynamikken.

Det er viktig å forstå at effekten av støy i systemet kan føre til flere uforutsigbare utfall, spesielt når det er svak kompleksitet i habitatet. Dette betyr at rovdyrets overlevelse kan bli mer usikker, ettersom høyere støy gjør at predatoren kan miste sitt dynamiske grep over byttepopulasjonen. På den annen side, ved høyere kompleksitet i habitatet, kan rovdyrene bedre tilpasse seg endringer i byttepopulasjonen og holde seg stabil.

For å videreutvikle forståelsen, er det viktig å vurdere hvordan ulike typer forstyrrelser, både naturlige og menneskeskapte, kan påvirke dynamikken i predator-byttedynamikkene. Det kan være nyttig å analysere hvordan menneskelig aktivitet, som habitatødeleggelse eller klimaendringer, kan endre habitatkompleksiteten c og dermed forstyrre den delikate balansen i økosystemene. Når habitatkompleksiteten øker, kan rovdyrene og byttedyrene utvikle mer stabile interaksjoner, men ekstreme endringer i miljøet kan raskt destabilisere disse systemene, og til og med føre til arters utryddelse.

Hvordan beskrive dynamikken til to koblede Duffing-oscillatorer med fraksjonell Gaussisk støy?

I analysen av to koplete Duffing-oscillatorer, påvirket av fraksjonell Gaussisk støy (fGn), kan deres bevegelseslikninger uttrykkes som et sett av differensialligninger med dempings- og stivhetsparametere, samt ikke-lineære termer av tredje grad. Disse oscillatorene er karakterisert av konstanter β_ij, ω_i og α_i, hvor i = 1, 2, og påvirkes av fire uavhengige fraksjonelle Gaussiske støyprosesser WH_k(t), med Hurst-indeks H som ligger i intervallet 0.5 < H < 1. Støyintensitetene 2D_k og dempningsparametrene β_ij anses å være av samme størrelsesorden ε.

Ved å definere tilstandene til oscillatorene som Q_i og P_i (posisjon og hastighet), transformeres systemet til en kvasi-integrerbar Hamiltoniansk form, som gjør det mulig å benytte metoder for stokastisk gjennomsnittning. Hamiltonianene for hver oscillator består av kinetisk energi og potensiell energi, hvor den potensielle energien inkluderer både en lineær og en kubisk komponent, og sikrer systemets ikke-lineære karakter.

I fravær av demping og ekstern eksitasjon har begge oscillatorene en familie av periodiske løsninger som roterer rundt origo i faseplanet. De øyeblikkelige frekvensene ν_i av de to subsystemene avhenger av amplitude A_i og fase vinkel φ_i, og uttrykkes ved hjelp av parametrene ω_i og α_i, inkludert en modulering med cosinus av fasevinkelen.

Når α_1 og α_2 er endelige og positive, er subsystemene sterkt ikke-lineære, og frekvensene varierer tilfeldig med amplituden, noe som gjør intern resonans usannsynlig. Derfor fokuseres det på ikke-resonante tilfeller. Gjennom anvendelse av stokastisk gjennomsnittning oppnås reduserte Itô-stokastiske differensialligninger for amplitudene, hvor drift- og diffusjonskoeffisientene er uttrykt som funksjoner av amplitudene, og beregnet ved hjelp av parametrene fra Fourier-utvidelsen og spektral tetthet til støyen.

Videre utledes Itô-SDEer for subsystemenes Hamiltonianer, og tilhørende Fokker-Planck-Kolmogorov-ligninger (FPK) for sannsynlighetsfordelingen av energiene i subsystemene. Grensebetingelser sikrer at fordelingen er veldefinert i hele intervallet fra null til uendelig energi. Fra den stasjonære løsningen til FPK-ligningen kan man rekonstruere den omtrentlige felles sannsynlighetsfordelingen for systemets originale variabler.

Ved hjelp av disse metodene kan marginalfordelinger og forventningsverdier, inkludert middelverdier av Hamiltonianene og middelkvadrerte verdier av posisjon og moment, beregnes. Sammenligninger med Monte Carlo-simuleringer viser at den stokastiske gjennomsnittningsmetoden gir gode prediksjoner for et bredt spekter av Hurst-indekser og naturlige frekvenser, særlig når frekvensspektrene endres langsomt med frekvens.

Det er også viktig å forstå at støyens natur, gjennom Hurst-indeksen, har stor innvirkning på systemets dynamikk og prediksjonsnøyaktighet. Den fraksjonelle Gaussiske støyen med H > 0.5 karakteriserer langtidshukommelse og korrelasjoner i støyen, som gir komplekse effekter på systemets respons. Dette krever grundig analyse og nøye anvendelse av stokastiske metoder for å fange opp systemets oppførsel på riktig måte.

Ytterligere innsikt fås ved å studere hvordan systemets respons varierer med parametere som α_i, β_ij, og støyintensiteter 2D_k, og hvordan disse påvirker stabilitet og sannsynlighetsfordelinger. Forståelsen av disse sammenhengene er essensiell for anvendelser hvor støy og ikke-linearitet spiller en kritisk rolle, slik som i mekaniske systemer med vibrasjoner, elektroniske oscillatorer eller biologiske rytmer. Den stokastiske gjennomsnittningsmetoden gir dermed et kraftfullt verktøy for å analysere og predikere dynamikken i slike komplekse systemer under påvirkning av langtidsgjeldende støy.