Hoe hysteretische krachten de dynamica van quasi-integrabele Hamiltoniaanse systemen beïnvloeden

De dynamica van systemen die hysteretische krachten bevatten, zijn complex en vereisen vaak geavanceerde methoden voor hun analyse. In de context van quasi-integrabele Hamiltoniaanse systemen is het belangrijk om de effecten van hysteretische krachten goed te begrijpen en te modelleren om nauwkeurige voorspellingen van het systeemgedrag te kunnen maken. Een van de manieren om deze krachten te benaderen is door middel van het concept van equivalentie, waarbij de hysteretische krachten worden vervangen door een combinatie van conserverende krachten en dempingskrachten. Dit leidt tot een vereenvoudigd systeem dat gemakkelijker te analyseren is.

Het eerste van deze methoden is de zogenaamde "eerste gelijkstellingsmethode", waarbij het systeem wordt beschreven door een aantal gerandomiseerde periodieke oplossingen die afhangen van de parameters van het systeem. In deze oplossingen wordt aangenomen dat de krachten in het systeem voldoen aan bepaalde voorwaarden die worden bepaald door de dynamica van de krachten en hun invloed op de beweging van de verschillende vrijheidsgraden van het systeem.

Een tweede belangrijke benadering is de "tweede gelijkstellingsmethode", waarbij het systeem wordt beschreven aan de hand van de stijgende en dalende vertakkingen van de hysteretische lus. Dit model maakt gebruik van de potentiële energie van het systeem en de energie die wordt gedissipeerd door de hysteretische krachten om de dynamica van het systeem te beschrijven. De dissipatie van energie kan worden gekarakteriseerd door de area van de hysteretische lus, die een maat is voor de hoeveelheid energie die verloren gaat in één cyclus van vibratie. De equivalente viscositeitsdempingscoëfficiënt kan ook worden bepaald op basis van deze dissipatie, wat helpt om een beter begrip te krijgen van de dempingseigenschappen van het systeem.

Wat belangrijk is voor de lezer om te begrijpen, is dat de meeste hysteretische modellen in dit type systemen antisymmetrisch zijn, wat betekent dat de stijgende vertakking van de krachten precies het tegenovergestelde is van de dalende vertakking. Dit komt naar voren in de gelijkstelling van de krachten, waar de negatieve waarden van de krachten eenvoudigweg de spiegeling zijn van de positieve waarden. Dit maakt het mogelijk om het herstelmechanisme van het systeem eenvoudiger te modelleren en de analyse te vereenvoudigen.

De toepassing van stochastische middelen, zoals het stochastische gemiddelde, biedt een andere manier om de invloed van willekeurige ruis, zoals witte ruis, op het systeemgedrag te begrijpen. Wanneer de hysteretische krachten in een systeem optreden onder invloed van stochastische ruis, kan dit de stabiliteit en het gedrag van het systeem aanzienlijk beïnvloeden. In dergelijke gevallen kan het gebruik van stochastische benaderingen, zoals de Wong-Zakai-correctie voor witte ruis, het systeemgedrag nauwkeuriger modelleren.

Tot slot is het van groot belang voor de lezer te beseffen dat de hysteretische krachten die in deze modellen worden gebruikt, niet altijd eenvoudig te karakteriseren zijn. Verschillende hysteretische modellen, zoals de Bouc-Wen, Duhem en Preisach modellen, bieden verschillende benaderingen voor het beschrijven van deze krachten, afhankelijk van de specifieke dynamische eigenschappen van het systeem. Elk van deze modellen heeft zijn eigen sterkte en beperkingen, en de keuze van het juiste model kan een aanzienlijke impact hebben op de nauwkeurigheid van de resultaten.

Wat verder moet worden opgemerkt, is dat de hysteretische krachten vaak nauw verwant zijn aan de energieverliezen die optreden in het systeem. De dissipatie van energie is een belangrijk aspect van deze systemen, aangezien het de langetermijneffecten van trillingen en andere vormen van beweging bepaalt. Het juiste begrijpen van deze energieverliezen is cruciaal voor de stabiliteitsanalyse van het systeem en voor het voorspellen van de lange-termijn dynamica.

Hoe kan Stochastische Averaging Methodes worden Toegepast op Quasi-Integrabele Hamiltoniaanse Systemen?

In tegenstelling tot de wittestof die enkel een ideaal is met oneindige energie, komt in de natuur altijd gekleurde ruis voor, die een breed spectrum van frequenties heeft. Deze ruis kan breedbandig of smalbandig zijn, en kan zelfs verschillende soorten samengevoegde ruis omvatten, zoals bijvoorbeeld fractionele Gaussiaanse ruis. Het gebruik van dergelijke gekleurde ruis om Hamiltoniaanse systemen te modelleren biedt een krachtig middel om realistische dynamica te simuleren. Het doel van dit hoofdstuk is om de stochastische averaging methodes toe te passen op quasi-integrabele Hamiltoniaanse systemen die worden beïnvloed door vier verschillende klassen van gekleurde ruis: stationaire breedbandruis, fractionele Gaussiaanse ruis in het breedband frequentiedomein, een combinatie van harmonische en breedbandruis, en smalbandig gerandomiseerde harmonische ruis.

waar $Q$ de verplaatsingen zijn, $P$ de impulsen, $g(Q)$ de herstellende krachtfunctie, $c(Q, P)$ de dempingscoëfficiënten, en $f_k(Q, P)$ de amplitude van de excitatie zijn. De term $\xi_k(t)$ vertegenwoordigt de stochastische ruis, die afhankelijk is van de gekozen soort ruis en de bijbehorende kenmerken zoals de autocorrelatiefunctie en de vermogen spectrum.

De stochastische averaging methode kan vervolgens worden gebruikt om een geaverageerde beschrijving van het systeem te verkrijgen door de dynamica van het systeem over de snelle tijdschaal van de ruis uit te drukken. Dit proces leidt tot een vereenvoudigde beschrijving die de belangrijkste gedragskenmerken van het systeem vastlegt zonder de volledige complexiteit van de willekeurige fluctuaties. Het idee is dat de gemiddelde respons van het systeem kan worden benaderd door het effect van de ruis in te bouwen via een reeks van gemiddelde operaties over de tijdschaal van de oscillaties van het systeem.

In de context van de quasi-integrabele systemen worden de periodieke oplossingen van het systeem eerst beschreven in termen van een amplitude en een fase. Deze oplossingen worden verder gemodelleerd door stochastische processen, waarbij zowel de amplitude als de fase random variabelen worden. Dit resulteert in een gerandomiseerde periodiciteit die de basis vormt voor de analyse van het systeem in de aanwezigheid van stochastische invloeden.

In de specifieke gevallen van gekleurde ruis worden de fluctuaties van de amplitude en fase gekoppeld aan de eigenschappen van de ruis. Door de dynamica van het systeem te beschrijven in termen van deze randomisatie kan de langetermijngedrag van het systeem, inclusief zijn stabiliteit en de invloed van de ruis, worden geanalyseerd. Dit biedt diepgaand inzicht in de stabiliteit van het systeem en maakt het mogelijk om de impact van de stochastische invloeden systematisch te kwantificeren.

In aanvulling op deze technieken is het belangrijk om te begrijpen dat de kwantificering van de stochastische ruis niet enkel moet richten op het effect op de oplossingen van het systeem, maar ook op het algemene gedrag van de verstoorde systemen op lange tijdschalen. De effecten van niet-lineaire demping, resonanties, en andere systematische invloeden moeten worden meegenomen in de modellering van de ruis-interacties.

Hoe beïnvloeden stochastische excitatie en niet-lineaire stijve systemen de respons van structurele oscillatoren?

In systemen die aan niet-resonante excitatie worden blootgesteld, zoals in de Hartlen-Currie beweging, is het belangrijk om te begrijpen hoe niet-lineaire stijve componenten de dynamica van structurele oscillatoren beïnvloeden. Het gebruik van de stochastische gemiddelde methode (SMA) biedt een krachtig hulpmiddel om inzicht te krijgen in de complexiteit van deze systemen, vooral wanneer ze worden beïnvloed door fluctuaties zoals wind of andere externe stochastische factoren.

In het geval van de stochastische benadering wordt de Hamiltoniaanse functie van het systeem gewijzigd door de introductie van niet-lineaire termen die de kinetische en potentiële energie van de oscillator beïnvloeden. De stochastische gemiddelde methode wordt toegepast om de invloed van deze niet-lineariteit in combinatie met een breedbandige excitatiesignaal te analyseren. Het resultaat is een vereenvoudigde set van stochastische differentiaalvergelijkingen die de diffusie van het systeem in de fase-ruimte beschrijven, wat leidt tot een gedetailleerde probabilistische beschrijving van de systemen.

De Stationaire Kansenverdeling (PDF) van de verplaatsing en snelheid van de structurele oscillator, zoals afgebeeld in figuur 6.9 en 6.10, toont de invloed van de fluctuaties van externe factoren zoals wind op het gedrag van het systeem. Bij verhoogde niet-lineariteit $k$ blijkt uit de simulaties dat de gemiddelde kwadratische verplaatsing $E[Q_1^2]$ afneemt, terwijl de gemiddelde kwadratische snelheid $E[P_1^2]$ bijna onveranderd blijft. Dit benadrukt het effect van de niet-lineaire sterkte van het systeem, die het vermogen van de structuur om te reageren op fluctuaties verandert.

Wat verder interessant is, is de effectiviteit van de SMA bij het modelleren van complexe systemen zoals multi-machine energiesystemen die worden blootgesteld aan stochastische excitatie. Deze systemen vertonen een hoge dimensionaliteit en sterke non-lineariteit, waardoor numerieke benaderingen vaak de voorkeur hebben. Toch kan de stochastische gemiddelde methode in sommige gevallen analytische oplossingen opleveren die een goed begrip geven van de systeemrespons, zelfs onder sterke stochastische invloeden, zoals die veroorzaakt door variaties in de energiebron of de windomstandigheden.

De toepassing van de SMA in deze context heeft een bredere implicatie voor andere dynamische systemen die worden beïnvloed door stochastische excitaties, zoals de eerder genoemde Hartlen-Currie en andere modellen voor vortex-geïnduceerde trillingen. De resultaten van de simulaties tonen aan dat de stochastische gemiddelde methode niet alleen effectief is voor het bestuderen van de dynamiek van niet-lineaire structurele oscillatoren, maar ook voor het verbeteren van het begrip van de respons van systemen die aan complexe, willekeurige invloeden worden blootgesteld.

Naast de technische aspecten van het modelleren van deze systemen, is het belangrijk te begrijpen dat de resultaten van stochastische simulaties in de praktijk een belangrijke rol spelen bij het ontwerp en de optimalisatie van structuren die blootstaan aan externe excitatie. Het vermogen om de respons van een systeem nauwkeurig te voorspellen, is essentieel voor het waarborgen van de stabiliteit en efficiëntie van bijvoorbeeld energienetwerken en windturbines.