Open modelleringstaken vormen een bijzonder uitdagend gebied binnen de wiskunde, zowel voor studenten als voor leraren. Deze taken, die vaak uit de praktijk voortkomen, zijn gekarakteriseerd door het ontbreken van cruciale informatie, waardoor de oplossing van het probleem veel ruimte biedt voor veronderstellingen en creatieve denkprocessen. In de hedendaagse onderwijspraktijk en onderzoek wordt er nog steeds onvoldoende aandacht besteed aan de aanpak van de ‘openheid’ van deze modelleringstaken. Dit hoofdstuk onderzoekt hoe dergelijke taken effectief kunnen worden onderwezen, met speciale nadruk op de rol van openheid in het probleemoplossingsproces.

Een open modelleringstaak wordt vaak gekarakteriseerd door het feit dat niet alle benodigde informatie beschikbaar is om het probleem direct op te lossen. Dit vraagt van de probleemoplosser dat hij of zij veronderstellingen maakt over ontbrekende gegevens. Het proces van het overbruggen van de kloof tussen de echte wereld en de wiskundige representatie kan complex en uitdagend zijn. Ondanks de algemene erkenning van het belang van deze open taken, blijkt uit eerder onderzoek dat zowel studenten als toekomstige leraren moeite hebben met het effectief omgaan met open modelleringstaken. Studies hebben keer op keer aangetoond dat de overgang van een ongestructureerd probleem naar een gestructureerde oplossing veelal misloopt, wat resulteert in lage oplossingspercentages (Cai, 1995).

De uitdaging van open modelleringstaken ligt niet alleen in het vinden van de juiste oplossing, maar ook in het bepalen welke benaderingen er mogelijk zijn om het probleem aan te pakken. Terwijl gesloten problemen vaak een duidelijk begin- en eindpunt hebben, ontbreekt dit voor open taken. De rol van ‘openheid’ kan zich manifesteren in verschillende dimensies, zoals het doel van de taak, de methode van oplossing, de complexiteit van het probleem, de mogelijke reacties en de verdere uitbreiding van het probleem (Yeo, 2017). De mate van openheid kan variëren afhankelijk van hoe veel van deze variabelen flexibel zijn, wat de taak moeilijker of gemakkelijker maakt, afhankelijk van de context.

In het onderwijs is er nog weinig theoretisch kader dat specifiek ingaat op de openheid van modelleringstaken. Het ontbreekt aan didactische methodes die effectief aansluiten bij de unieke uitdagingen die deze taken met zich meebrengen. Echter, recent onderzoek zoals het OModA-project biedt inzichten in hoe we studenten kunnen begeleiden bij het omgaan met de openheid van dergelijke problemen. Het OModA-project heeft geleid tot de ontwikkeling van een cognitief procesmodel dat een gestructureerde aanpak biedt voor het omgaan met open modelleringstaken. Dit model richt zich op het ondersteunen van leerlingen bij het maken van veronderstellingen, het ontwikkelen van modelleringvaardigheden en het omgaan met de onzekerheden die inherent zijn aan open problemen.

Het model van het OModA-project bevat verschillende belangrijke elementen. Ten eerste is het proces sterk gericht op het creëren van een leeromgeving die afgestemd is op de leerling, wat betekent dat de leeractiviteiten zelfgestuurd zijn en het gebruik van begeleidende vragen en situationele objecten omvat. Dit biedt een robuuste ondersteuning bij het doorlopen van de complexe stappen die nodig zijn om tot een oplossing te komen. Verder benadrukt het model dat de begeleiding van de docent meer moet zijn dan alleen het verstrekken van antwoorden; het moet gericht zijn op het helpen van studenten om het probleem zelfstandig te ontleden en de nodige veronderstellingen te maken.

In het tweede deel van de aanpak wordt het gebruik van didactisch materiaal gepresenteerd dat specifiek is ontworpen om studenten te ondersteunen bij open modelleringstaken. Dit materiaal is direct gekoppeld aan het procesmodel en biedt een reeks hulpmiddelen en voorbeelden die studenten kunnen helpen bij het ontwikkelen van hun eigen oplossingsstrategieën. Door het aanbieden van concrete voorbeelden die de brug slaan tussen theorie en praktijk, kunnen studenten beter begrijpen hoe ze hun wiskundige kennis kunnen toepassen op realistische scenario’s.

Het onderwijzen van open modelleringstaken gaat verder dan het leren van wiskundige technieken. Het is essentieel dat studenten leren omgaan met onzekerheid, ambigue informatie en de complexiteit van echte wereldproblemen. Het is belangrijk dat leraren studenten niet alleen leren hoe ze de juiste oplossing kunnen vinden, maar ook hoe ze op een gestructureerde manier het probleem kunnen benaderen, veronderstellingen kunnen maken en flexibel kunnen omgaan met verschillende mogelijke benaderingen.

Wat daarbij van cruciaal belang is, is dat de opzet van het onderwijs voldoende ruimte biedt voor zelfreflectie en feedback. Studenten moeten in staat zijn om niet alleen hun fouten te herkennen, maar ook te begrijpen waar hun denkproces mogelijk is vastgelopen. Het gebruik van scaffolding, ofwel de geleidelijke ondersteuning door de docent, is hier van essentieel belang. Het is niet de bedoeling om direct antwoorden te geven, maar eerder de studenten in staat te stellen om hun denkstrategieën te ontwikkelen en deze continu te verbeteren.

Ten slotte, naast de technische en cognitieve aspecten van het probleemoplossen, speelt motivatie een belangrijke rol. De intrinsieke motivatie van studenten om met open problemen aan de slag te gaan kan sterk worden beïnvloed door hoe relevant en interessant de problemen voor hen zijn. Het creëren van een leeromgeving die studenten uitdaagt, maar hen ook de tools biedt om succesvol te zijn, is cruciaal om hen te helpen de complexiteit van open modelleringstaken te overwinnen.

Hoe kwantitatief redeneren invloed heeft op de constructie van mathematische uitdrukkingen en grafieken

Szeth dacht na over de verandering van massa in de loop van de tijd en hoe dit de snelheid beïnvloedde. Hij concludeerde dat aangezien de waarde 0.703 constant bleef en de massa (m) toenam met de tijd, de afgeleide van de massa (m′) ook zou toenemen met de tijd. Hij interpreteerde deze toename van m′ als een lineaire stijging. Voor de grafieken in figuur 34.1 gebruikte Szeth de uitdrukkingen 34.1 en 34.3 om te bepalen hoe m′ varieert met m en t.

Toen we Szeth vroegen hoe uitdrukking 34.1 hem had doen beseffen dat m′ lineair zou toenemen, gaf hij aan dat hij niet had opgemerkt dat m exponentieel toenam met de tijd. Szeth verving vervolgens m in uitdrukking 34.1 en kreeg de nieuwe uitdrukking 34.4. Op basis van deze nieuwe uitdrukking legde hij uit dat aangezien m exponentieel toenam met de tijd, m′ ook exponentieel zou moeten toenemen. Dit leidde hem tot de conclusie dat de grafiek van m′ ten opzichte van tijd een exponentiële kromme zou moeten zijn (fig. 34.1a, B).

Szeth besefte echter dat de grafiek van m′ ten opzichte van m ook exponentieel zou moeten toenemen (fig. 34.1b, B). Hij legde dit uit door te zeggen: "Nu ik m als exponentieel groeiend beschouw, moet de snelheid [m′] ook exponentieel toenemen met de massa." Hij stelde vast dat m′ exponentieel zou moeten groeien ten opzichte van m omdat m exponentieel groeit met de tijd. Om zijn grafiek voor m′ ten opzichte van m (fig. 34.1, B) te valideren, coördineerde Szeth de waarden van m′ en m opnieuw met behulp van uitdrukking 34.1. Zijn werk werd weergegeven in figuur 34.1c.

Na de berekening van de waarden voor m′, zoals weergegeven in fig. 34.1c, concludeerde Szeth dat de grafiek van m′ ten opzichte van m lineair zou moeten zijn. Hij gaf aan: "Ja, omdat het bij elke interval met deze waarde [0.703] groeit, moet het een lineaire grafiek zijn." Hij verwijderde zijn exponentiële kromme uit fig. 34.1b, B en markeerde de lineaire grafiek met een vinkje in fig. 34.1b, A. Dit voorbeeld toont aan hoe Szeth de wiskundige uitdrukkingen die hij al had geconstrueerd gebruikte om zijn redenering te ondersteunen bij het construeren en valideren van een grafiek. Hij gebruikte uitdrukking 34.1 om een grafiek te maken die de variatie van de snelheid van verandering van massa met respect tot tijd en tijd zelf weergeeft. Vervolgens gebruikte hij uitdrukking 34.2 om te valideren hoe de snelheid van verandering van massa in relatie tot tijd varieert met massa.

Het is belangrijk te benadrukken dat Szeths redenering met hoeveelheden beperkt bleef tot de wiskundige uitdrukkingen die hij had geconstrueerd. Dit voorbeeld toont aan hoe het gebruik van bestaande uitdrukkingen kan leiden tot een meer systematische en consistente benadering van het model, maar ook tot fouten wanneer de onderliggende veronderstellingen niet volledig worden begrepen.

In een andere context, tijdens de bespreking van het model voor ziektetransmissie, was Szeth betrokken bij het construeren van een uitdrukking voor de snelheid waarmee de ziekte zich verspreidt. Hier introduceerde hij een term voor de "percentage van interacties die leiden tot ziekte," maar begreep niet helemaal de implicaties van zijn model wanneer de zieke persoon niet herstelde. Hij probeerde de afname van gezonde mensen te modelleren door het aantal zieke mensen af te trekken van het aantal gezonde mensen, wat uiteindelijk leidde tot een incorrecte uitdrukking voor de snelheid waarmee gezonde mensen zich in de loop van de tijd zouden herstellen.

Dit toont aan hoe het mentale proces van kwantitatief redeneren kan leiden tot wiskundige uitdrukkingen die intuïtief kloppen, maar toch mathematisch incorrect kunnen zijn. Szeths benadering was sterk afhankelijk van elementaire rekenkundige bewerkingen, zoals optellen en aftrekken, zonder de betekenis van deze operaties in de context van de ziekteverspreiding volledig te begrijpen. Deze vorm van redeneren kan leiden tot onjuiste resultaten, zelfs wanneer de onderliggende redenering correct lijkt.

Een ander belangrijk aspect van Szeths benadering was het gebruik van wiskundige uitdrukkingen die hem hielpen bij het visualiseren van de relaties tussen de variabelen, maar de vraag blijft of deze uitdrukkingen altijd het meest nauwkeurige model voor de situatie vertegenwoordigen. Dit suggereert dat het belangrijk is om niet alleen de formules en grafieken te vertrouwen, maar ook kritisch te blijven over de aannames en de context waarin de wiskundige modellen worden toegepast.

Bij het construeren van wiskundige modellen is het van belang dat het hele proces van redeneren niet alleen leidt tot de opbouw van een mathematisch correcte uitdrukking, maar ook tot een beter begrip van hoe de verschillende kwantitatieve relaties in de werkelijke wereld zich tot elkaar verhouden. Dit proces vereist vaak een herziening van de initiële aannames en het voortdurend evalueren van de geschiktheid van de gekozen wiskundige tools.

Hoe kunnen etnomodellen de brug slaan tussen lokale en academische wiskundige kennis?

Etnomodellering is een interdisciplinair onderzoeksgebied dat zich richt op de studie van wiskundige ideeën en praktijken die door leden van verschillende culturele groepen zijn ontwikkeld. Deze wiskundige systemen zijn nauw verbonden met de specifieke sociale en culturele contexten waarin ze tot stand zijn gekomen. Het belang van etnomodellering ligt in de erkenning van wiskunde als een culturele activiteit die geworteld is in traditie, en waarvan de systemen en technieken ontstaan als antwoord op de dagelijkse uitdagingen waarmee gemeenschappen worden geconfronteerd.

Etnomodellering maakt gebruik van lokale wiskundige systemen (emic) die door verschillende culturele groepen zijn ontwikkeld en zoekt naar vertalingen of overeenkomsten met academische (etic) wiskundige kennis. Dit stelt ons in staat om de wiskundige praktijken die door inheemse gemeenschappen zijn ontwikkeld, te begrijpen, te waarderen en te verbinden met de meer formele wiskunde die in westerse wetenschappen wordt onderwezen. Dit proces van vertaling is van groot belang, omdat het een wederzijds begrip bevordert tussen lokale en globale kennis, wat de basis vormt voor een democratischere en inclusievere benadering van wiskundig denken.

De wiskundige praktijken die door verschillende culturele groepen worden ontwikkeld, zijn vaak innovatief en functioneel. Ze helpen om problemen op te lossen die uniek zijn voor de specifieke situatie van een cultuur. Dit kunnen technieken zijn die betrekking hebben op meetkunde, rekenen, classificatie, vergelijkingen en modellering, maar ook culturele uitingen zoals ambachten, architectuur en kunst. Een voorbeeld hiervan is de toepassing van geometrische principes in traditionele handwerkproductie of het gebruik van rekenkundige systemen in de navigatie en astronomie. Deze vormen van wiskunde zijn rijk aan betekenis en stellen ons in staat om de diversiteit van menselijke kennis en ervaring te erkennen.

In het etnomodelleringsproces is het belangrijk te begrijpen hoe deze wiskundige systemen niet los staan van hun culturele context, maar eerder ontstaan uit de noodzaak om praktische en existentiële vraagstukken binnen die context aan te pakken. Dit verschilt van de academische wiskunde, die vaak gestandaardiseerde en universele benaderingen hanteert. Wat etnomodellering benadrukt, is de waarde van lokaal ontwikkelde wiskundige kennis en de mogelijkheid om deze te integreren in een bredere, meer inclusieve wiskundige dialoog.

De vertaling van lokale wiskundige praktijken naar academische systemen wordt vaak niet alleen als een technisch proces gezien, maar als een sociaal en cultureel proces waarin de betekenis van wiskundige concepten wordt heroverwogen en aangepast. Dit is vooral belangrijk wanneer we kijken naar complexe systemen die wiskundige concepten bevatten, maar geen directe vertaling of gelijkenis vertonen met wiskunde zoals die in academische instituten wordt onderwezen. Het is een proces dat vereist dat onderzoekers zich afstemmen op de culturele waarden, overtuigingen en praktijken van de gemeenschappen die zij bestuderen.

Etnomodelen kunnen worden onderverdeeld in drie categorieën: emic (lokaal), etic (globaal) en dialoog (glocaal). Emic etnomodellen vertegenwoordigen wiskundige kennis die diep verankerd is in de cultuur en ervaring van een specifieke gemeenschap. Deze systemen worden vaak van binnenuit gevalideerd door de leden van de gemeenschap zelf. Etic etnomodellen worden daarentegen ontwikkeld door buitenstaanders, vaak westerse wetenschappers, die proberen de wiskundige systemen van andere culturen te begrijpen en te verklaren vanuit hun eigen perspectief. Glocale (dialoog) etnomodellen ontstaan wanneer emic en etic kennis met elkaar in contact komen en met elkaar in interactie gaan, wat leidt tot een wederzijds verrijkende uitwisseling van ideeën.

Wat deze benaderingen benadrukken, is dat wiskundige kennis niet statisch is, maar zich blijft ontwikkelen door de interactie van verschillende culturele perspectieven. De dynamiek van deze interactie kan leiden tot nieuwe vormen van wiskundig denken die beide systemen—lokaal en globaal—respecteren en aanvullen. De belangrijkste implicatie van dit alles is dat wiskunde meer is dan een abstracte, universele discipline; het is een culturele uiting die, wanneer het goed wordt begrepen, kan bijdragen aan de verrijking van de wereldwijde kennisbasis.

Het is belangrijk dat we, in het proces van het vertalen van lokale wiskundige systemen naar academische termen, de rijkdom van deze systemen erkennen en hun waarde voor de bredere gemeenschap begrijpen. Dit betekent dat we niet alleen de technische aspecten van deze systemen moeten bestuderen, maar ook hun culturele en sociale betekenis. Zo kunnen we de diversiteit van wiskundige kennis waardevol integreren in ons begrip van wat wiskunde werkelijk is en hoe het in verschillende samenlevingen wordt gebruikt om de wereld te begrijpen en te veranderen.

Wat zijn de belangrijkste aspecten van wiskundige modellering in het onderwijs?

Wiskundige modellering is meer dan het oplossen van abstracte wiskundige problemen; het gaat om het toepassen van wiskundige kennis in concrete, real-world situaties. Het doel is om leerlingen te leren hoe ze wiskunde kunnen gebruiken om problemen in het dagelijks leven, de maatschappij en de werkplek op te lossen. Dit idee wordt goed samengevat in de richtlijnen van de U.S. Common Core State Standards Initiative, waarin wordt gesteld dat een wiskundig vaardige student in staat moet zijn om de wiskunde die hij of zij kent, toe te passen om praktische problemen aan te pakken. Dit vereist een zekere mate van flexibiliteit, waarbij studenten bereid moeten zijn om aannames en benaderingen te maken om een complexe situatie te vereenvoudigen, wetende dat deze later aangepast kunnen worden. Studenten moeten in staat zijn om belangrijke hoeveelheden in een situatie te identificeren en hun relaties wiskundig te modelleren. Ze moeten deze relaties analyseren om conclusies te trekken, en de wiskundige resultaten in de context van de situatie interpreteren, terwijl ze zich afvragen of de uitkomsten logisch zijn.

De waarde van wiskundige modellering in het onderwijs is niet zozeer het vakgebied of de specifieke toepassing, maar het denkproces dat achter modellering schuilgaat. Henry Pollak, een van de grootste pleitbezorgers van het opnemen van echte wiskundige modellering in curricula, benadrukt dit punt door te zeggen dat het belangrijkste is om het proces van modelleren zelf te leren en te oefenen. Dit proces, dat een cyclus van probleemoplossing omvat, kan in verschillende vakgebieden toegepast worden, of het nu gaat om wetenschappen, maatschappelijke vraagstukken of dagelijks leven. Het doel is om studenten ervaring te laten opdoen met deze manier van denken, en niet zozeer met het resultaat van het model zelf.

Een veelgebruikte weergave van dit proces is een diagram van een modelcyclus, die een opeenvolging van stappen in het modelleren weergeeft. Deze diagrammen zijn in de jaren 70 ontwikkeld door de Open University (VK) en sindsdien op grote schaal gebruikt in onderwijsbronnen. In de basis weerspiegelt dit diagram een cyclus van modelleren, die vaak iteratief van aard is: wanneer een model niet voldoet, worden aanpassingen aangebracht en het proces herhaald. Dit cyclische karakter is belangrijk, omdat modelleren vaak een proces is van verfijnen en verbeteren.

Toch wordt in het onderwijs soms de indruk gewekt dat er meerdere cycli van modelleren bestaan, afhankelijk van het type probleem. Dit leidt tot verwarring, omdat het leren van modelleren complexer wordt dan nodig is. Er bestaan vele verschillende versies van de modelcyclus, waarvan sommige elementen toevoegen die het cognitieve proces voor studenten bemoeilijken. Het is belangrijk te begrijpen dat de modelcyclus niet bedoeld is als een statische of voorgeprogrammeerde reeks activiteiten, maar eerder als een algemeen raamwerk voor probleemoplossing.

In de praktijk zien we vaak dat modellen niet altijd in een strikte cyclus worden gevolgd. Modellers volgen hun eigen unieke routes, waarbij ze verschillende fasen van de modelcyclus doorlopen, soms meerdere keren. Deze routes kunnen heen en weer gaan tussen fasen, afhankelijk van de voortgang van het probleemoplossingsproces. Dit weerspiegelt de complexiteit van het modelleren zelf, dat niet altijd een lineaire voortgang kent.

Wat essentieel is voor het leerproces, is dat de modelcyclus een conceptueel anker vormt voor probleemoplossing. Het gaat er niet om dat studenten de cyclus strikt volgen, maar dat ze begrijpen hoe ze het denkproces kunnen toepassen op verschillende soorten problemen. Dit proces vereist dat studenten actief reflecteren, hun aannames controleren en hun benaderingen herzien.

De ontwikkeling van modelleringcompetenties is altijd een belangrijk aandachtspunt geweest binnen de internationale onderwijsgemeenschap. Het is niet voldoende om simpelweg naar anderen te kijken of andermans werk te herhalen; studenten moeten zelf modelleren ervaren. Dit werd al duidelijk in 1984, toen Burghes (p. xiii) stelde dat de enige manier om bekwaam te worden in modelleren is door het proces zelf te ondergaan. Dit idee wordt vandaag de dag nog steeds ondersteund in het onderwijs, bijvoorbeeld in publicaties zoals het ICTMA-speciale nummer over modelleren in 2021.

Voor studenten die modelleren leren, is het belangrijk dat ze de verschillende competenties ontwikkelen die hen in staat stellen om wiskundige modellen effectief toe te passen. Deze competenties kunnen variëren, maar over het algemeen omvatten ze het vermogen om relevante variabelen te identificeren, aannames te maken, wiskundige gereedschappen te gebruiken om relaties tussen variabelen te modelleren en de resultaten te interpreteren in de context van het oorspronkelijke probleem.

Er zijn verschillende manieren waarop modelleren kan worden onderwezen, maar het kernidee blijft hetzelfde: modelleren moet een proces zijn waarbij de nadruk ligt op het denken, analyseren en reflecteren, in plaats van op het eenvoudigweg volgen van stappen in een cyclus. Het is deze ervaring van het wiskundig denken die studenten moet worden bijgebracht.

Hoe invloedrijk is het klimaat voor de integratie van fotovoltaïsche systemen in Braziliaanse gebouwen?
Hoe worden MOFs gesynthetiseerd en toegepast in fotokatalyse?
Hoe Beïnvloedt de Viscositeit van Magnetische Smeermiddelen de Prestaties en Stroomeigenschappen?
Hoe kies je de juiste bedrijfsstructuur voor je onderneming?
Hoe Het Evangelicale-Kraken de Toekomst van de Evangelisch-Republicaanse Coalitie Beïnvloedt
Wat is de exacte virtuele arbeidsovereenkomst in niet-lineaire analyse van structuren?