Hoe beïnvloedt creativiteit de modelleringcompetenties van leraren in opleiding?

In deze studie werd gekeken naar de prestaties van leraren in opleiding op het gebied van modellering en de ontwikkeling van creativiteit in wiskundige taken. De resultaten gaven aan dat de leraren in opleiding beter presteerden op het gebied van vloeiendheid, met 20% van de 71 onderzochte deelnemers die meer dan één benadering toepasten voor taak 2. Dit is een significant verschil vergeleken met een eerdere studie van Lu en Kaiser (2022b), waarin slechts twee of drie van de 187 deelnemers meerdere benaderingen voor elke taak toepasten. Ook vertoonden meer deelnemers in deze studie originele benaderingen, wat kan wijzen op verschillen in de aard van de modelleertaken of de opleiding die de deelnemers hadden ontvangen. Verdere studies zijn echter nodig om deze resultaten te bevestigen en meer inzicht te krijgen in de impact van creativiteit op modellering in de wiskunde.

De correlatieanalyse van deze studie vertoont zowel overeenkomsten als verschillen in vergelijking met het onderzoek van Lu en Kaiser (2022b). In beide studies werd geen significante correlatie gevonden tussen de adequaatheid van de benadering en de bruikbaarheid van de oplossing voor de drie taken. Er werd echter wel een correlatie gevonden tussen adequaatheid en vloeiendheid voor alle drie de taken. In tegenstelling tot de bevindingen van Lu en Kaiser (2022b), werd er in dit onderzoek geen significante correlatie gevonden tussen vloeiendheid en originaliteit voor de modelleringstaken. Deze verschillen kunnen te maken hebben met de specifieke setting van het onderzoek en de gebruikte modelleertaken.

Een ander belangrijk aspect van het onderzoek betreft de professionele competenties van leraren in opleiding op het gebied van het onderwijzen van modellering. Deze werden gemeten aan de hand van een instrument ontwikkeld door Wess et al. (2021a), dat drie componenten omvat: overtuigingen, zelfeffectiviteit en pedagogisch vakinhoudelijk kennis met betrekking tot modellering. De resultaten toonden aan dat de leraren in opleiding sterke overtuigingen hadden die zowel constructivistisch als transmissief georiënteerd waren, en goed presteerden op het gebied van zelfeffectiviteit. Echter, op het gebied van modellering-specifieke pedagogisch vakinhoudelijke kennis hadden de deelnemers minder goede resultaten, ondanks de opleiding die ze hadden ontvangen. Dit wijst mogelijk op een mismatch tussen de verworven kennis en de specifieke vereisten van het onderwijzen van modellering.

Bij de correlatie tussen de modelleringcompetenties en de professionele competenties voor het onderwijzen van modellering werd alleen een significante correlatie gevonden tussen vloeiendheid en kennis van interventies. Dit suggereert dat er weinig verband is tussen de creativiteit in de modelleringcompetenties en de professionele competenties zoals beschreven door Wess et al. (2021a). De bevindingen kunnen zorgen oproepen over de wijze waarop kennis van het eigen modelleerwerk van leraren in opleiding wordt opgenomen in het construct van professionele competenties voor modellering.

In vervolgonderzoek is het belangrijk om te verkennen hoe modelleringcompetenties die creativiteit integreren daadwerkelijk invloed hebben op het onderwijzen van modellering en het bevorderen van creativiteit in de klas. Het is nog niet duidelijk of de training die leraren in opleiding ontvangen, de ontwikkeling van zowel hun modelleringcompetenties als hun professionele competenties beïnvloedt. Verdere studies zijn nodig om de complexiteit van de professionele competenties van leraren voor het onderwijzen van modellering beter te begrijpen, vooral wat betreft creativiteit en de specifieke contexten waarin deze competenties tot uiting komen.

Bij de taakomschrijving die werd gebruikt in dit onderzoek, werden drie geometrische modelleringstaken gepresenteerd. Deze taken varieerden van praktische toepassingen, zoals het verpakken van spiegels met minimaal plasticfolie, tot meer theoretische taken zoals het berekenen van het volume van zand in een zanddrager en het analyseren van een zonsverduistering. Elke taak had als doel de creativiteit van de deelnemers in modelleren te testen, maar de complexiteit en de vereiste rekenvaardigheden varieerden. Het is essentieel om dergelijke taken zorgvuldig te kiezen om zowel de creatieve als technische aspecten van modelleren te kunnen evalueren.

In aanvulling op de bevindingen, is het belangrijk dat toekomstige onderzoeken meer inzicht bieden in de interactie tussen creativiteit en technische vaardigheden in de context van wiskundeonderwijs. Het ontwikkelen van een model dat creativiteit opneemt als een integraal onderdeel van de modelleringcompetenties voor leraren kan bijdragen aan effectievere onderwijspraktijken en een grotere nadruk op creatieve oplossingen in het klaslokaal.

Hoe biologische systemen wiskundige modellen creëren en gebruiken

Sommige wiskundedocenten zouden zich kunnen afvragen of het idee van biologische systemen die wiskundige modellen creëren niet te antropomorfisch is. Toch leggen Igamberdiev en Brenner (2021) gedetailleerd uit waarom deze niet-bewuste processen wiskundig kunnen worden beschouwd. Volgens hen ontstaan wiskundige relaties in levende systemen intern als een abstractievermogen tijdens de ontwikkeling en aanpassing aan de externe wereld. Wanneer een model niet het juiste resultaat oplevert, kunnen deze systemen zich ontwikkelen door nieuwe uitspraken in de ingebedde beschrijving te verwerven die de beperkingen van het bestaande model overwinnen. De nieuwe uitspraken krijgen betekenis in en door de veranderende omgeving. Vanuit dit perspectief zou men kunnen stellen dat niet-menselijke biologische entiteiten wiskundige modellen uitvoeren door zowel te modelleren als door wiskundig met dit model te werken. Dit kan zelfs een primitieve vorm van wiskundig modelleren worden genoemd.

Veel voorbeelden van biologisch wiskundig modelleren zijn bekend, zoals: (1) hoe gespecialiseerde neuronen in de hersenen van bepaalde dieren, inclusief mensen, elektrische signalen afgeven met specifieke hoeveelheden stimuli (Dehaene, 2002; Nieder, 2016), (2) hoe planten moleculair wiskundige berekeningen maken door aritmetische deling om zetmeelreserves te rekken tijdens lange periodes van duisternis (Ledford, 2013), (3) hoe dieren numerieke cognitie gebruiken om hun overleving te bevorderen (Nieder, 2021), en (4) hoe biologische systemen complexe bio-algoritmen uitvoeren om circadiane ritmes te handhaven (Kitano, 2002).

In een gedetailleerdere vergelijking van biologische voorbeelden met het model van Niss et al. (2007), zoals de Abstraction/Representation Theory van Horsman et al. (2017), wordt uitgelegd hoe bijvoorbeeld DNA intrinsieke berekeningen uitvoert, wat als een vorm van wiskundig modelleren kan worden beschouwd. Horsman et al. (2017) gebruiken hun theorie om te illustreren hoe DNA functioneert als een wiskundig model. Een cel moet eerst een specifiek molecuul (zoals een eiwit) creëren voor de cellulaire werking. Tijdens de transcriptie wordt een kopie van het gewenste DNA gemaakt in RNA, waarvan het messenger RNA (mRNA) de DNA-sequentie base voor base vertegenwoordigt. Dit mRNA komt terecht in het ribosoom van de cel, waar verschillende moleculen samenkomen om de gewenste eiwitstructuur te creëren. Gedurende het vertaalproces koppelen de codons in het mRNA zich aan aminozuren, wat leidt tot de productie van het gewenste eiwit. Dit proces illustreert hoe de cel een vorm van wiskundig modelleren uitvoert door digitale informatie in de genetische code te verwerken.

Bovendien wordt door Igamberdiev en Brenner (2021) bevestigd dat leven volgens het programma dat op DNA is geschreven, wiskundige bewerkingen uitvoert die essentieel zijn voor ontogenetische en evolutionaire aanpassingen. Deze interne processen kunnen worden gezien als wiskundige berekeningen die worden uitgevoerd door de moleculaire computer van de cel, wat al uitgebreid beschreven is in de wetenschappelijke literatuur (Adamatzky, 2018; Dodig-Crnkovic, 2020).

Een ander voorbeeld van wiskundig modelleren in een biologisch systeem is de controle van de bacteriële motor. Stepney en Kendon (2021), mede-auteurs van Horsman et al., breiden de AR-theorie uit door expliciet het representerende element van de berekening in te voeren en te laten zien hoe de motorcontrole van bacteriën kan worden beschouwd als wiskundig modelleren. Wanneer een bacterie een extern nutriëntenverschil detecteert via een gespecialiseerde moleculaire receptor, vindt er een chemische cascade plaats die de externe informatie omzet in een abstracte representatie binnen de cel. Deze interne abstractie wordt vervolgens door de cel gemanipuleerd, waarbij de informatie op een logische manier wordt verwerkt en geëvalueerd. Het resultaat van dit proces is de beweging van de flagellum van de bacterie, wat bijdraagt aan de navigatie in de voedingsgradient. Deze voortdurende, iteratieve en verfijnde manipulatie van interne toestanden kan worden gezien als een vorm van eenvoudige wiskunde.

De manier waarop bacteriën informatie opslaan en manipuleren is in wezen vergelijkbaar met hoe mensen wiskunde gebruiken. Hoewel mensen traditionele wiskundige handelingen uitvoeren met pen en papier, gebruiken bacteriën abstracties binnen hun cellulaire processen om fysieke veranderingen te berekenen en toe te passen. Dit wiskundig modelleren gebeurt op een niveau van interne staten die zich voortdurend aanpassen en verfijnen, wat belangrijk is voor hun overleving en interactie met de omgeving.

Er zijn ook andere biologische systemen die wiskundige principes gebruiken, zoals de hersenen van dieren die numerieke gegevens verwerken, of de moleculaire processen in planten die wiskundige berekeningen maken tijdens fotosynthese. Deze voorbeelden versterken het idee dat wiskundig denken niet exclusief is voor mensen, maar dat het diep geworteld is in de biologische processen die het leven zelf aandrijven.

Bij het begrijpen van deze concepten is het belangrijk te beseffen dat het idee van wiskunde bij biologische systemen niet noodzakelijk een direct verband heeft met getallen of algebra zoals we die kennen, maar veeleer met processen van abstractie, representatie en manipulatie van informatie. Dit opent nieuwe perspectieven op hoe wiskunde kan worden gezien als een fundamenteel onderdeel van het leven, ingebed in de structuren en processen van de natuur, zelfs op moleculair niveau.

Hoe kan wiskundig modelleren bijdragen aan de ontwikkeling van onderwijscompetenties?

Er bestaan verschillende definities voor het construct van modelleren als competentie, afhankelijk van de benadering die men hanteert, of het nu top-down of bottom-up is (Niss & Blum, 2020). In verscheidene empirische studies worden subcompetenties van wiskundig modelleren onderscheiden, afhankelijk van de verschillende fasen van de modelleringcyclus (bijv. Gerber et al., 2024; Siller et al., 2023c). Tegelijkertijd hebben andere onderzoeken een bredere focus, zoals metacognitieve en sociale vaardigheden (voor een overzicht zie Cevikbas et al., 2022). Het hoofdstuk van Lu en Ma (2024) over de mogelijkheid van modelleren als een activiteit die creativiteit vereist, vanuit het perspectief van de professionele ontwikkeling van docenten, biedt inzicht in dit onderzoeksgebied.

Leraren in opleiding hebben bijgedragen aan verschillende hoofdstukken waarin de samenwerking tussen praktijkmensen en onderzoekers nieuwe inzichten biedt in de bestaande theorie-praktijkkloof op het gebied van modelleren. Deze bijdragen zijn te vinden in verschillende publicaties: Blum, W.; Niss, M. – Oorsprong en ontwikkeling van het begrip wiskundige modelleercompetentie, en Durandt, R.; Blum, W.; Lindl, A. – De effecten van een zelfstandigheid-georiënteerd onderwijsontwerp op de ontwikkeling van de modelleercompetentie van studenten in het hoger onderwijs.

Deze bijdragen worden aangevuld door hoofdstukken die zich richten op de verschillende benaderingen van het onderwijs aan toekomstige leraren en diegenen die al in dienst zijn, binnen de context van wiskundig modelleren. Barquero, B.; Bosch, M.; Wozniak, F. – Het oversteken van stille modellering in het onderwijs van leraren in opleiding voor het basisonderwijs, en Cevikbas, M. – Het gebruik van verklarende video’s in flipped classrooms voor wiskundig modelleren, zijn enkele voorbeelden van zulke benaderingen.

De kennis van en de houding ten opzichte van wiskundig modelleren bij toekomstige en al werkende leraren heeft een aanzienlijke invloed op de effectiviteit van het onderwijs. De impact van attitudes en overtuigingen wordt verder belicht in hoofdstukken zoals die van Buchholtz, N. – Fouten diagnostische competenties van leraren in opleiding met betrekking tot de activiteiten van studenten bij Mathtrails, en Ekol, G. – Het onderzoeken van overtuigingen over wiskundig modelleren in het wiskunde-onderwijs van leraren in opleiding.

Onderzoek in deze bijdragen en hun bijbehorende bevindingen wijzen op de noodzaak van verdere professionele leermogelijkheden in modelleren. De ontwikkeling van modellen en het begrip ervan vereist dat de principes van effectief onderwijs en taakontwerp goed begrepen worden. Het ontwikkelen van een systematisch begrip van wiskundig modelleren is essentieel voor de effectiviteit van onderwijsactiviteiten.

Er is toenemende aandacht voor de interdisciplinaire capaciteiten die via modellering ontwikkeld kunnen worden, die van groot belang zijn in het dagelijks leven. Maaß (2006) stelde dat motiverende en attitudinale factoren zich manifesteren in “bereidheid, vaardigheden en acties” (p. 24). Redeneren (Roan & Czocher, 2024) wordt ook beschouwd als een sleutelcompetentie in wiskundig modelleren, vereist om claims en argumenten te rechtvaardigen en alternatieve meningen te begrijpen en kritisch te evalueren.

De interdisciplinaire benadering van wiskundig modelleren in het kader van STEM-onderwijs, dat wetenschap, technologie, engineering en wiskunde combineert, benadrukt de rol van wiskunde als fundament voor de andere disciplines. De verbinding tussen STEM en wiskundig modelleren ligt in de interdisciplinariteit en de interactie tussen wiskundige en niet-wiskundige kennis binnen modellering. Dit vereist het ontwikkelen van zowel kritische als creatieve denkvaardigheden bij het toepassen van interdisciplinaire kennis op real-world vraagstukken.

Het is belangrijk om te begrijpen dat modelleren niet enkel de technische vaardigheid betreft om wiskundige concepten toe te passen op praktische problemen. Het is ook een middel om kritisch en creatief denken te bevorderen, wat onmiskenbaar van invloed is op het onderwijs van toekomstige generaties. Hoewel STEM vaak wordt gezien als een verzameling van disciplines die samen nationale welvaart ondersteunen, is de ondervertegenwoordiging van wiskunde binnen schoolcurricula een probleem dat aangepakt moet worden. Wiskundig modelleren biedt een effectieve manier om dit probleem te verhelpen, doordat het de complexiteit van interdisciplinaire benaderingen binnen het wiskundeonderwijs verkenbaar maakt.

Verder is het van belang te realiseren dat wiskundig modelleren in het onderwijs niet alleen technische vaardigheden vereist, maar ook sociale en communicatieve vaardigheden. Het ontwerpen van taken die studenten uitdagen om buiten hun comfortzone te denken, is cruciaal voor de ontwikkeling van zowel hun wiskundige als interdisciplinaire competenties. Studenten moeten niet alleen in staat zijn om wiskundige concepten toe te passen, maar ook om hun bevindingen effectief te communiceren, argumenten te onderbouwen en samen te werken met anderen in de context van echte maatschappelijke vraagstukken.

Hoe kan de ontwikkeling van modellerencompetentie bijdragen aan het wiskundig onderwijs?

In wiskundig modelleren verstaan we, kort gezegd, het gehele proces van het construeren, werken met en gebruiken van wiskundige modellen om vragen te beantwoorden die voortkomen uit de omgang met niet-wiskundige contexten, situaties en problemen. Al vanaf het begin van het onderzoek naar wiskundige modellen en modelleren in wiskundeonderwijs was het duidelijk dat de vaardigheid om te modelleren in diverse contexten en situaties niet automatisch voortkomt uit het bezitten van solide wiskundige kennis en vaardigheden. Er is iets (veel) meer voor nodig. Met andere woorden, het leren wiskundig modelleren moet verder gaan dan enkel het leren van wiskunde als een discipline. Het ontwikkelen van de vaardigheid om te modelleren is inderdaad een moeilijke en veeleisende taak voor leerlingen. Tegenwoordig is het gebruik van de term(en) "modellerencompetentie(s)" gemeengoed geworden om deze vaardigheid aan te duiden.

Deze tekst heeft tot doel (1) het oorsprongs- en historische ontwikkelingspad van deze begrippen in kaart te brengen als onderdeel van onderzoek en ontwikkeling rondom toepassingen en modelleren in wiskundeonderwijs, (2) de huidige stand van zaken met betrekking tot deze begrippen te analyseren, met name in relatie tot het onderwijs en leren van wiskundig modelleren, en (3) overwegingen te bieden over de relatie tussen modellerencompetentie(s) en andere wiskundige competenties. Deze benadering is dus ingebed in een stroom van wiskundeonderzoeksgebieden die bijdragen aan het begrijpen van de ontwikkeling van een sleutelbegrip in het veld van het onderwijzen en leren van wiskundig modelleren, en daarmee aan de ontwikkeling van dit vakgebied zelf.

Het is van belang te benadrukken dat het ontwikkelen van modellerencompetenties niet enkel gaat om het beheersen van de technische wiskundige vaardigheden. Bij modelleren komt het vaak aan op het kunnen begrijpen van de realiteit van het probleem en het vertalen daarvan naar een wiskundig model. Dit vereist een dieper begrip van zowel de context als de wiskundige methoden. Er is bijvoorbeeld niet altijd een ‘lineair’ pad van probleem tot oplossing. Het is eerder gebruikelijk dat modellers verschillende routes volgen en het proces van modelleren iteratief is. Dit betekent dat het belangrijk is dat leerlingen leren om flexibel en adaptief om te gaan met onvolledige of onzekere informatie.

De belangrijkste fasen van het modellerenproces kunnen visueel worden weergegeven door zogenaamde modellaringscycli. Deze cycli zijn analytische reconstructies van de belangrijkste stadia die expliciet of impliciet noodzakelijk aanwezig zijn in modellerenprocessen. Ze zijn geen beschrijvingen van het werk van modellers in de praktijk, aangezien de meeste modelleeractiviteiten geen ‘lineaire’ paden volgen, maar veeleer individuele modelleringroutes.

Het idee van modellerencompetentie werd voor het eerst actief onderzocht in de late jaren 1970, toen onderzoekers begonnen met het evalueren van de zogenaamde "modelleringsvaardigheden" van studenten. Dit leidde tot pogingen om modelleren te evalueren door deze vaardigheden op te splitsen in verschillende componenten. Zo ontstaat de eerste belangrijke bron van de ontwikkeling van wat uiteindelijk bekend werd als modellerencompetentie. Een van de eerste belangrijke publicaties hierover was het artikel van Berry en O'Shea (1982), waarin ze een beoordelingssysteem voor modelleren introduceerden. Het systeem was niet gericht op de wiskundige kwaliteit van het model, maar eerder op het proces van modelleren zelf, bestaande uit drie fasen: formuleren (de belangrijke factoren identificeren, aannames maken, variabelen kiezen en verbanden leggen), oplossen (het wiskundige probleem oplossen) en interpreteren (de oplossing interpreteren en voorspellingen doen over de echte situatie).

Dit idee van evaluatie was niet alleen bedoeld om studenten te begeleiden bij hun werk, maar ook als beoordelingsinstrument voor hun eindrapporten over modelleeractiviteiten. De beoordeling richtte zich dus niet alleen op de uiteindelijke oplossing van het probleem, maar ook op het proces en de keuzes die studenten tijdens het modelleren maakten. Dit benadrukt de meer holistische benadering van modelleren, waarbij niet alleen de technische kennis van de studenten wordt getest, maar ook hun vermogen om wiskunde toe te passen in verschillende contexten.

In de jaren 90 werden er steeds meer beoordelingscriteria ontwikkeld om de modellerencompetenties van studenten te evalueren. Zo stelden Galbraith en Clatworthy (1990) vier beoordelingscriteria voor: het duidelijk formuleren van het probleem, het opstellen van een geschikt model, het oplossen van het wiskundige probleem en het communiceren van de resultaten. Deze criteria waren nauw verbonden met de verschillende stadia van de modellaringscyclus en benadrukten het belang van het proces, niet alleen de uitkomst.

Het evalueren van modellerencompetenties is echter niet altijd eenvoudig. Het gaat niet alleen om het afnemen van testen, maar ook om het begrijpen van hoe studenten in staat zijn om wiskundige concepten en technieken effectief toe te passen in verschillende situaties. In plaats van enkel te kijken naar de technische vaardigheden van studenten, moet er ook aandacht zijn voor hun vermogen om creatief en kritisch na te denken tijdens het modelleren, en voor hun vermogen om hun oplossingen op een duidelijke en verantwoorde manier te communiceren.

Bij de beoordeling van modellerencompetenties wordt vaak een onderscheid gemaakt tussen twee benaderingen: de "holistische" benadering, die gericht is op het gehele proces van modelleren, en de "atomistische" benadering, die zich richt op de specifieke vaardigheden of fasen binnen het proces. De holistische benadering benadrukt het belang van het begrijpen van de onderlinge samenhang van verschillende fasen van het modelleren, terwijl de atomistische benadering zich meer richt op de technische uitvoering van individuele stappen in het proces.

In dit licht is het belangrijk om te begrijpen dat modellerencompetentie veel verder gaat dan enkel de technische beheersing van wiskundige concepten. Het vereist een diep begrip van de context en de mogelijkheid om wiskundige ideeën effectief toe te passen om echte, complexe problemen op te lossen. Het gaat erom studenten te helpen niet alleen te begrijpen hoe ze een model moeten bouwen, maar ook wanneer en waarom bepaalde benaderingen het beste werken, en hoe ze hun modellerenactiviteiten kunnen verbeteren door middel van reflectie en herziening.