Hoe wordt het evenwichtsysteem van een vlak element afgeleid in de eindige-elementenmethode?

Het evenwichtsysteem voor een vlak element kan worden afgeleid aan de hand van de Euler-Lagrange-vergelijkingen van de functionele, waarbij de vergelijkingen voor de axiale verplaatsing $u$ en de dwarsverplaatsing $v$ als volgt worden gepresenteerd:

$$EAu'' = 0 \quad \text{(2.32)}$$

$$EIzv'''' = 0 \quad \text{(2.33)}$$

Met de randvoorwaarden voor de twee uiteinden van de balk:

$$\delta u = 0 \quad \text{of} \quad F_x = EAu' \quad \text{(2.34)}$$

$$\delta v' = 0 \quad \text{of} \quad M_z = EIzv'' \quad \text{(2.35)}$$

$$\delta v = 0 \quad \text{of} \quad F_y = -EIzv''' \quad \text{(2.36)}$$

De eerste set randvoorwaarden, zoals $\delta u = 0$, $\delta v' = 0$, en $\delta v = 0$, worden de geometrische randvoorwaarden genoemd. De tweede set wordt de natuurlijke randvoorwaarden genoemd. De afgeleide differentiaalvergelijkingen voor evenwicht, zoals gepresenteerd in (2.32) en (2.33), zijn exact geldig voor vlakke frame-elementen zonder verdeelde belastingen. In dit geval kan de exacte oplossing voor de axiale verplaatsing $u$ worden weergegeven door een lineaire functie van $x$, terwijl de oplossing voor de dwarsverplaatsing $v$ kan worden weergegeven door een kubieke polynoomfunctie.

In de bovenstaande afleiding hebben we aangetoond dat de virtuele arbeidvergelijking, zoals gepresenteerd in (2.25), gelijkwaardig is aan de heersende differentiaalvergelijkingen en randvoorwaarden die in de klassieke analyse worden gebruikt. Daarom blijft de vergelijking (2.25) een geldige verklaring van het evenwicht voor het vlakke frame-element onder de invloed van axiale krachten, schuifkrachten en buigmomenten. Deze kan dus als een geldige basis dienen voor het afleiden van het vlakke frame-element, zoals hieronder zal worden gepresenteerd.

In de op verplaatsing gebaseerde eindige-elementenformulering kunnen de verplaatsingen op elk punt binnen een eindig element worden gerelateerd aan die op de knooppunten van het element door juiste interpolatie- of vormfuncties. Fouten kunnen optreden als de interpolatiefuncties de heersende differentiaalvergelijkingen van het betreffende element niet exact voldoen. Voor het vlakke frame-element kunnen we de axiale verplaatsing $u$ en de dwarsverplaatsing $v$ interpoleren door respectievelijk lineaire en kubieke polynoomfuncties:

$$u = \{n_1\}^T \{u\} \quad \text{(2.37)}$$

$$v = \{n_3\}^T \{v\} \quad \text{(2.38)}$$

Hierbij kunnen de interpolatiefuncties $\{n_1\}$ en $\{n_3\}$ worden uitgedrukt als volgt, door $i = x/L$:

$$\{n_1\}^T = \langle(1 - i), i \rangle \quad \text{(2.39)}$$

$$\{n_3\}^T = \langle (1 - 3i^2 + 2i^3), (i - 2i^2 + i^3), (3i^2 - 2i^3), (i^3 - i^2) \rangle \quad \text{(2.40)}$$

De verplaatsingsvectoren $\{u\}$ en $\{v\}$ worden gedefinieerd als:

$$\{u\}^T = \langle u_a, u_b \rangle \quad \text{(2.41)}$$

$$\{v\}^T = \langle v_a, L\theta_a, v_b, L\theta_b \rangle \quad \text{(2.42)}$$

Zoals eerder gesteld, zijn de bovenstaande interpolatiefuncties exact voor het vlakke frame-element zonder verdeelde belastingen. Door de vergelijkingen (2.37) en (2.38) voor de verplaatsingen $u$ en $v$ in vergelijking (2.25) in te vullen, verkrijgen we de volgende uitdrukking:

$$\{ \delta u \}^T EA \left[ \right] K_{110} \ Iz \ 11 \{u\} + \{ \delta v \}^T \left[ \right] K_{220} \{v\} = \{ \delta u \}^T \{f\} \quad \text{(2.43)}$$

Waarbij de integralnotatie handig wordt geïntroduceerd voor het werken met de vormfuncties, zoals gepresenteerd in (2.44). Deze notatie maakt het makkelijker om de stijfheidsmatrices te berekenen die later in het boek aan bod komen.

De hierboven beschreven afgeleide vergelijkingen kunnen in een compactere matrixvorm worden geschreven:

$$\{ \delta u \}^T \left[ \right] K_{110} \{u\} = \{f_x\} \quad \text{(2.46)}$$

$$EIz \left[ \right] K_{220} \{u\} = \{f_y\} \quad \text{(2.47)}$$

De krachtenvectoren $\{f_x\}$ en $\{f_y\}$ komen overeen met de verplaatsingsvectoren $\{u\}$ en $\{v\}$, respectievelijk:

$$\{f_x\} = \langle F_{xa}, F_{xb} \rangle \quad \text{(2.48)}$$

$$\{f_y\} = \langle M_{za}, M_{zb}, F_{ya}, F_{yb} \rangle \quad \text{(2.49)}$$

Met behulp van de submatrices $K_{110}$ en $K_{220}$ wordt de matrixvorm van de evenwichtvergelijkingen:

$$[k] \{u\} = \{f\} \quad \text{(2.50)}$$

De stijfheidsmatrix $[k]$ kan als volgt worden uitgedrukt:

$$[k] = \left[ \begin{array}{cccc}$$

EA / L & 0 & 0 & -EA / L \\ 0 & 12EI_z / L^3 & 0 & 6EI_z / L^2 \\ 0 & 0 & 12EI_z / L^3 & -6EI_z / L^2 \\ 0 & 6EI_z / L^2 & 0 & 4EI_z / L \\ \end{array} \right] \quad \text{(2.51)}

Deze stijfheidsmatrix laat zien dat de axiale en buigacties van het vlakke frame-element niet gekoppeld zijn. De elastische stijfheidsmatrix $[k]$ wordt ook wel de lineaire stijfheidsmatrix $[k_e]$ genoemd, om deze te onderscheiden van de geometrische stijfheidsmatrix $[k_g]$, die in latere hoofdstukken voor niet-lineaire eindige elementen zal worden gepresenteerd.

Het belang van de afgeleide stijfheidsmatrix is dat deze een belangrijke rol speelt in het bepalen van de vervormingen en krachten in een structureel systeem. De afgeleiden van de verplaatsingen zijn fundamenteel voor de klassieke en moderne benaderingen in de eindige-elementenmethode. De consistentie van de interpolatiefuncties met de heersende differentiaalvergelijkingen is cruciaal voor het verkrijgen van nauwkeurige oplossingen in structurele analyses.

Wat is de rol van de voorspeller en de corrector in niet-lineaire structurele analyse?

In niet-lineaire structurele analyses is het belangrijk om onderscheid te maken tussen de zogenaamde voorspeller- en correctorfasen. Deze fasen spelen een cruciale rol in het oplossen van de structurele vervormingen en krachten die optreden als gevolg van niet-lineaire effecten, zoals plastische vervorming of instabiliteit van de structuur. De voorspeller (predictor) is gericht op het genereren van een initiële benadering van de vervormingen en krachten, terwijl de corrector fase helpt om de uiteindelijke nauwkeurigheid van de oplossing te verbeteren door de uitkomst van de voorspeller te corrigeren.

De structuur kan worden geanalyseerd door gebruik te maken van zowel elastische als geclassificeerde geometrische stijfheidsmatrices. Deze matrices zijn essentieel voor het simuleren van het rigide gedrag van de elementen die door initiële spanningen zijn beïnvloed. Voor drie-dimensionale rigide balk- en TPE-elementen kunnen matrices zoals [kg]r.b. en [kg]TPE worden gebruikt, die helpen bij het vastleggen van rigide rotaties. Het gebruik van dergelijke matrices stelt de analyse in staat om de structurele rotatie- en vervormingsgedragingen correct te simuleren.

De correctorfase omvat het herberekenen van de krachten in de elementen {22f} op basis van de verdraaiingen van de structuur. Dit wordt gedaan door eerst de initiële krachten {11f} te roteren volgens de rigide rotatiewet, zonder de grootte van de krachten te veranderen. Vervolgens kunnen de krachtveranderingen {Δf} worden berekend door gebruik te maken van de elastische stijfheidsmatrix [ke], die gebaseerd is op de lineaire theorie van kleine vervormingen. Dit is de standaard benadering die wordt gebruikt bij de meest gangbare structurele analyses.

Een belangrijke overweging in de correctorfase is de manier waarop de krachten {Δf} worden berekend na de initiële rotatie. Wanneer de vervormingen klein genoeg zijn om aan de lineaire benadering te voldoen, wordt de krachtenverandering berekend met de elastische stijfheidsmatrix. Het resultaat hiervan wordt vervolgens opgeteld bij de initiële krachten om de totale krachten in het element {22f} op de nieuwe configuratie te verkrijgen.

Bij het omgaan met grotere vervormingen kan het nodig zijn om meer geavanceerde benaderingen te gebruiken, zoals de combinatie van elastische en geometrische stijfheidsmatrices. Dit kan de nauwkeurigheid van de oplossing verbeteren, maar verhoogt ook de rekentijd. Een goed voorbeeld hiervan is de combinatie van matrices zoals [ke] + [kg]r.b., waarbij de elastische stijfheidsmatrix wordt gecombineerd met een geometrische stijfheidsmatrix voor de rigide balk. Dit biedt een meer gedetailleerde benadering van de vervormingen die zich voordoen in de structuur.

De rol van de voorspeller en corrector in een incrementele niet-lineaire analyse is dus van fundamenteel belang voor het verkrijgen van een nauwkeurige oplossing. De voorspellingsfase zorgt voor een initiële benadering, terwijl de correctorfase de oplossing verfijnt. De juiste keuze van de matrices voor de voorspeller- en correctorfase is van cruciaal belang voor het verkrijgen van een realistische en nauwkeurige simulatie van de structurele gedragingen.

In de praktijk, bij het gebruik van methoden zoals de Generalized Displacement Control (GDC), kan de rekenbelasting van de voorspeller en corrector variëren afhankelijk van de specifieke keuze van de matrices. Het GDC-systeem past automatisch de stapgrootte van de belasting aan om de variaties in de stijfheid van de structuur te reflecteren en kan helpen bij het oplossen van problemen die zich voordoen tijdens de buiging of na-buiging van de structuren. Het gebruik van de juiste combinatie van voorspeller en corrector kan de efficiëntie van de berekeningen verbeteren en het proces versnellen zonder concessies te doen aan de nauwkeurigheid van de uiteindelijke oplossing.

Het is essentieel dat de gebruiker zich bewust is van de beperkingen en mogelijkheden van de gekozen voorspeller- en correctormethoden, omdat een verkeerde combinatie of een onnauwkeurige stijfheidsmatrix kan leiden tot onbetrouwbare resultaten. Bij het ontwerpen van structuren die onder complexe belastingstoestanden werken, zoals bij het buigen of het ondergaan van stabiliteitsverlies, moet er voldoende zorg worden besteed aan de keuze van de juiste benaderingen voor zowel de voorspeller als de corrector.