Wiskundige probleemoplossing: Mengsels, oplossingen en legeringen – methoden, vaardigheden en samenwerking in de klas

Waarheid wordt niet in het hoofd van één persoon geboren, maar tussen mensen die gezamenlijk zoeken, in het proces van hun dialogische communicatie.
M. M. Bakhtin

Doelen van de les: het creëren van voorwaarden voor het ontwikkelen van een algoritme voor het oplossen van problemen over mengsels, oplossingen en legeringen, en het vinden van verschillende manieren om dergelijke problemen op te lossen.
Doelen:

• Het generaliseren van methoden en technieken voor het oplossen van problemen over dit onderwerp;

• Het ontwikkelen van vaardigheden om eerder bestudeerde onconventionele methoden toe te passen voor het oplossen van dit soort problemen;

• Het bevorderen van zelfvertrouwen, activiteit, samenwerking, en de wens om het doel te bereiken, het verbeteren van de informatie- en communicatieve competenties van de studenten.

Benodigdheden: computers voor het oplossen van toetsen; multimedia-installatie voor het bekijken van presentaties.
Methoden: testen, gesprek.
Vormen van onderwijs: individueel, samenwerken in paren, groepswerk, collectief werk.

Voorbereiding voor de les: herhaling van het percentagebegrip, het oplossen van eenvoudige procentproblemen, historische achtergrond over L.F. Magnitski en zijn manier van het oplossen van problemen met het mengen van drie stoffen.

Opmerking over de les: gebruik van Microsoft PowerPoint-presentatie en het computerprogramma "Diagnostische controle van het leerproces".

Lesplan:
Organisatorisch moment
De problemen die we gaan oplossen, behoren tot de traditionele wiskundige problemen. Ze dekken een breed scala aan situaties: het mengen van goederen met verschillende prijzen, vloeistoffen met verschillende hoeveelheden zout, zuren met verschillende concentraties, en het smelten van metalen met verschillende hoeveelheden van een bepaald metaal. Ooit hadden deze problemen uitsluitend praktische waarde. Tegenwoordig komen dergelijke problemen vaak voor in tests voor eindexamens en toelatingsexamens voor universiteiten.

Actualisering van de basiskennis (herhaling van de definitie van percentage en het oplossen van elementaire problemen).
Toets 1 (opgelost met behulp van het computerprogramma)

1. Geef de onjuiste bewering aan.
   a) de oogst is minder dan 20% van de oogst
   b) de oogst is minder dan 17% van de oogst
   c) de oogst is minder dan 33% van de oogst
   d) de oogst is minder dan 40% van de oogst

2. De lengte van een auto is 520 cm. Op de reclameposter is een kopie van de auto afgebeeld. De werkelijke maten van de auto staan in verhouding tot de maten van de kopie als 10:3. Wat is de lengte van de auto op de poster?
   a) 16 cm
   b) 120 cm
   c) 156 cm
   d) 400 cm

3. Koppel de breuken die de delen van een hoeveelheid uitdrukken en de bijbehorende percentages:
   a) b) c) 0,4 d) 0,04

1. 40% 2) 25% 3) 80% 4) 4%

4. Een reis per trein in de nieuwe express heeft de reistijd verkort van 10 uur naar 6 uur. Hoeveel procent is de reistijd verminderd?
   a) met 60%
   b) met 40%
   c) ongeveer met 66%
   d) ongeveer met 34%

5. Voor het mengsel van gedroogde kruiden werd oregano en heilige basilicum in de verhouding 13:7 genomen. Wat is het percentage van het mengsel dat bestaat uit heilige basilicum?
   a) 7%
   b) 70%
   c) 65%
   d) 35%

Na het oplossen van de toets kunnen de studenten zien welke taak onjuist is opgelost.

In deze les zullen we de methoden voor het oplossen van mengsel-, oplossing- en legeringsproblemen bekijken. Om succesvol te zijn, moeten we de basisbegrippen van dit onderwerp herhalen.
Hoofdgedeelte
Inleidend gesprek – Slide 4-6
In de industrie worden vaak geen pure metalen gebruikt, maar mengsels ervan - legeringen. In een legering vullen de eigenschappen van de verschillende componenten elkaar gunstig aan. Bij het vormen van de ene legering uit de andere wordt meestal (tenzij anders aangegeven in de opdracht) de wet van behoud van massa aangenomen: de totale massa van de legering is gelijk aan de som van de massa's van de delen (legeringen) en de totale massa van elke stof in de legering is gelijk aan de som van de massa's van die stof in alle delen.

Terminologie:

• Percentagegehalte van een stof

• Concentratie of vetgehalte van een stof

• Massafractie van een stof
  De concentratie van een oplossing is het percentage dat de massa van een stof in de oplossing vertegenwoordigt ten opzichte van de massa van de oplossing.
  Het vetgehalte van een product is het percentage van die stof in de oplossing.

Deze verhouding kan worden uitgedrukt in breuken of percentages.
De som van de massafractie van alle componenten in het mengsel is uiteraard gelijk aan 1.

A – stof in de legering (oplossing, mengsel)
M – massa van de legering (oplossing, mengsel)
MA – massa van stof A in de legering
CA – concentratie van stof A in de legering (%)

Er zijn verschillende manieren en benaderingen voor het oplossen van mengsel-, oplossing- en legeringsproblemen. We zullen de volgende benaderingen bespreken:

• Oplossing met behulp van tabellen

• Oplossing met de "methode van de schaal"

• "Het kruisregel" of Pearson's vierkant

Oplossing van problemen met behulp van tabellen
De docent: Bij de oplossing van de meeste problemen van dit soort, is het handiger om een tabel te gebruiken, die visueel duidelijker is en korter dan een gewone beschrijving met verklaringen. Visuele waarneming van de specifieke plaatsing van grootheden in de tabel biedt aanvullende informatie die het proces van het oplossen van het probleem en de controle vergemakkelijkt. Het meest voorkomende type probleem is het mengen van twee mengsels (legeringen, oplossingen) om een nieuw mengsel (legering, oplossing) te maken. Deze problemen worden opgelost met behulp van een tabel.
Slide 8
De verdere oplossingen worden gepresenteerd via de presentatie. Slide 9-12

Opmerking: voor verdere vertaling van de tekst wordt het proces van uitleggen van formules en methoden voor specifieke problemen voor de gebruiker voortgezet.