Hoe beïnvloedt de joint moment matrix de buiginstabiliteit van frameconstructies?

In de buiginganalyse van frameconstructies wordt de rol van verschillende matrices cruciaal om nauwkeurige voorspellingen van de kritieke belasting te maken. De joint moment matrix speelt hierbij een belangrijke rol die vaak over het hoofd wordt gezien in traditionele benaderingen. Deze matrix is essentieel voor het correct beschrijven van de momenten die op de knooppunten van de structuur werken, wat direct invloed heeft op de stabiliteit en de belastingscapaciteit van de constructie. Dit wordt met name duidelijk in de vergelijking van de traditionele en de geavanceerdere methoden, waarbij het effect van deze matrix aanzienlijk verschilt.

In het geval van een vrije of niet-beperkte uiteinde die een toegepast moment ondergaat, moet de toegepaste momentmatrix [km] worden opgenomen in de assemblage van de joint momentmatrix [Kj]. Dit moet op dezelfde manier worden behandeld als de assemblage van de joint momentmatrix voor alle verbonden elementen. Het is belangrijk om te vermelden dat deze stap verderop in het boek niet meer herhaald zal worden, maar essentieel blijft voor een nauwkeurige benadering van de structurele stabiliteit.

De structurele analyse kan worden verdeeld in twee hoofdfasen: de prebuckling-fase en de buckling-fase. In de prebuckling-fase wordt de structuur gekarakteriseerd door de toepassing van externe belastingen van nul in de C0-configuratie naar een belasting {1P} die kleiner is dan de kritieke waarde in de C1-configuratie. De vervormingen in deze fase zijn over het algemeen klein, wat betekent dat de geometrische veranderingen in de structuur verwaarloosbaar zijn. Hierdoor speelt het verschil tussen de configuraties C0 en C1 geen rol, wat typisch is voor lineaire analyses.

In de buckling-fase wordt de structuur van C1 naar C2 vervormd in een richting die verschilt van de belastingrichting, met een vervorming die doorgaans niet klein is, maar met weinig verandering in de grootte van de toegepaste belasting ({2P} = {1P}). De eigenwaardevergelijking voor buckling-analyse kan dan worden uitgedrukt als:

Bij het uitvoeren van een buckling-analyse is het belangrijk te begrijpen dat de meeste eerdere onderzoekers niet voldoende rekening hebben gehouden met de semi- en quasi-tangentiële eigenschappen van de knoopmomenten en torsiemomenten. Dit heeft geleid tot een foutieve benadering van de buckling-vergelijking, die gewoonlijk wordt aangeduid als de conventionele aanpak. In deze benadering wordt de joint momentmatrix [kj] niet meegenomen, wat resulteert in onjuiste voorspellingen van de kritieke belasting, zoals blijkt uit de vergelijking (6.93). In tegenstelling tot deze traditionele benaderingen wordt in de huidige benadering de joint momentmatrix wel meegenomen, wat leidt tot een nauwkeurigere voorspelling van het bucklinggedrag.

In een ander voorbeeld, waarbij een symmetrisch frame wordt beschouwd dat vast is aan de uiteinden in de richting van de buitenste vlakken, wordt het effect van de joint momentmatrix [kj] op de kritieke belastingen duidelijk aangetoond. De resultaten laten zien dat de weerstand van de balk tegen laterale of buitenvliegtuig-buckling even groot is voor zowel positieve als negatieve momenten. Dit benadrukt het belang van het correct modelleren van de rotatie-effecten van de toegepaste momenten en het opnemen van de joint momentmatrix in de analyse.

Bij het uitvoeren van een buckling-analyse van een frameconstructie is het essentieel dat de joint momentmatrix [kj] en de toegepaste momentmatrix [km] correct worden opgenomen. Dit zorgt voor een meer nauwkeurige en realistische voorspelling van de kritieke belastingen en voorkomt fouten die anders kunnen optreden door het negeren van de rotatie-effecten op de knooppunten van de structuur. Het is belangrijk om de methoden die de joint momentmatrix negeren, zoals de conventionele benadering, te vermijden, omdat ze onnauwkeurige resultaten kunnen opleveren, vooral in gevallen waarbij de rotatie-effecten significant zijn.

Hoe werkt incrementeel-iteratieve niet-lineaire analyse in de structuuranalyse?

In de context van de incrementeel-iteratieve niet-lineaire analyse, worden drie configuraties gebruikt om de incrementele beweging van een niet-lineaire structuur te beschrijven: de initiële, ongevormde configuratie $C_0$, de laatst bekende configuratie $C_{i-1}$, en de huidige onbekende configuratie $C_i$. Bij het analyseren van de structuur op de $i$-de incrementele stap, wordt aangenomen dat alle informatie van de structuur van $C_0$ tot $C_{i-1}$ bekend is, inclusief de belastinggeschiedenis, structurele vervormingen en krachten in de elementen. De focus ligt op het gedrag van de structuur tijdens de $i$-de incrementele stap van $C_{i-1}$ naar $C_i$, als reactie op een kleine toename van externe belastingen.

Op basis van de bijgewerkte Lagrangiaanse formulering wordt de laatst berekende configuratie $C_{i-1}$ geselecteerd als referentie om de beweging van de structuur tijdens de incrementele stap van $C_{i-1}$ naar $C_i$ te beschrijven. In de voorgaande hoofdstukken hebben we de meeste inspanning besteed aan het afleiden van de incrementele elementvergelijkingen voor de truss- en balkelementen, zowel in 2D als 3D, om het gedrag van de elementen van $C_{i-1}$ naar $C_i$ te karakteriseren.

De structuurvergelijking die is afgeleid voor het discrete element wordt gegeven door de vergelijkingen (6.37) en kan in een algemene vorm worden herschreven als:

waar de elastische stijfheidsmatrix $[k_e]$, de geometrische stijfheidsmatrix $[k_g]$ en de geïnduceerde momentmatrix $[k_i]$ de waarden zijn die beschikbaar zijn voor het element bij $C_{i-1}$. Hieruit kunnen de incrementele verplaatsingen $\Delta u$ worden afgeleid, waarbij de krachten op de knopen bij $C_i$ en $C_{i-1}$ als respectievelijk $f^i$ en $f^{i-1}$ worden aangeduid.

Om de gezamenlijke compatibiliteit van verbonden elementen binnen de structuur weer te geven, wordt vergelijking (7.1) aangepast als volgt:

De vergelijkingen in (7.3) zijn niet-lineair, aangezien de stijfheidsmatrices $[K_g] + [K_j]$ functies zijn van de initieel toegepaste belastingen $P^{i-1}$ van de structuur of de interne krachten $f^{i-1}$ van elk element in de structuur. Een dergelijk probleem kan niet direct worden opgelost, maar vereist een incrementeel-iteratieve benadering, wat betekent dat het opgelost moet worden door het toepassen van iteraties bij elke incrementele stap van de analyse. In de meeste gevallen wordt de niet-lineaire oplossing van een structuur gepresenteerd in de vorm van belasting-deformatiecurves voor de mate(n) van vrijheid die van belang zijn.

Het incrementeel-iteratieve proces is een gecombineerde en repetitieve toepassing van de structurele vergelijking (7.3) en de elementvergelijking (7.2) in een iteratieve lus op zoek naar oplossingen, zoals in de volgende secties in detail wordt besproken.

Het mechanisme van iteraties voor elke incrementele stap is van essentieel belang voor de niet-lineaire analyse. In de iteraties worden zowel een voorspeller als een corrector gebruikt, waarbij de rigiditeitsmatrix wordt aangepast volgens het rigid-body regel, wat centraal staat in de incrementeel-iteratieve aanpak. De procedure van de iteraties wordt in een diagram gepresenteerd (Figuur 7.1), waarbij de notatie voor vectoren en matrices is vereenvoudigd voor duidelijkheid.

1. Structuur op de initiële configuratie $C_{i-1}$: Start bij punt $a$, wat de configuratie $C_{i-1}$ van de structuur representeert, gekarakteriseerd door de verplaatsing $U^{i-1}$ en de belasting $P^{i-1}$.

2. Incrementele stap in de belasting: Verhoog de belasting $P^{i-1}$ met een kleine hoeveelheid $\Delta P$ naar $P^i$.

3. Voorspellerfase: Gebruik de tangentiële stijfheid $K_{i-1}$ om de incrementele verplaatsing $\Delta U$ op te lossen op basis van vergelijking (7.3), waardoor een proefoplossing wordt verkregen bij punt $b$. De tangentiële stijfheid beïnvloedt de snelheid van de convergentie van punt $b$ naar de uiteindelijke oplossing, maar kan nooit exact zijn.

4. Correctorfase: Deze fase omvat de berekening van de krachten in de elementen, weergegeven door punt $e$ in het diagram. Dit bestaat uit het bijwerken van de geometriën van de elementen en het berekenen van de nieuwe krachten.

Het correct uitvoeren van deze fasen is cruciaal voor de nauwkeurigheid en efficiëntie van de incrementeel-iteratieve niet-lineaire analyse.

Hoe de Kracht- en Momentenbalans wordt Gebruikt om de Geometrische Stijfheidsmatrix voor een Rigid TPE te Berekenen

Er zijn drie krachten en drie momenten die op elke knoop van het TPE werken, wat resulteert in zes evenwichtsvergelijkingen: drie voor krachten en drie voor momenten. Voor knoop 1, bijvoorbeeld, kunnen de krachten in de x-, y- en z-richting als volgt worden beschreven:

• $1F_{12} \, \text{xa} + 1F_{31} \, \text{xb} = 1F_{x1}$

• $1F_{12} \, \text{ya} + 1F_{31} \, \text{yb} = 1F_{y1}$

• $1F_{12} \, \text{za} + 1F_{31} \, \text{zb} = 1F_{z1}$

De momenten kunnen eveneens op een vergelijkbare manier worden geformuleerd:

• $1M_{12} \, \text{xa} + 1M_{31} \, \text{xb} = 1M_{x1}$

• $1M_{12} \, \text{ya} + 1M_{31} \, \text{yb} = 1M_{y1}$

• $1M_{12} \, \text{za} + 1M_{31} \, \text{zb} = 1M_{z1}$

Deze vergelijkingen moeten voor elke knoop herhaald worden (knoop 2 en knoop 3), waarbij de krachten en momenten worden bepaald voor de verschillende richtingen. Bij het opstellen van de evenwichten moet men steeds rekening houden met de coördinaten van de knopen van de balken en de relatieve posities van de krachten en momenten.

Voor elk balkelement moeten we de evenwichten van krachten en momenten berekenen. De som van de krachten en momenten aan het begin en het einde van een balk moeten nul zijn om het evenwicht van de balk te waarborgen. De vergelijkingen voor evenwicht zijn als volgt:

• Krachten:

  • $1F_{ij} \, \text{xa} + 1F_{ij} \, \text{xb} = 0$

  • $1F_{ij} \, \text{ya} + 1F_{ij} \, \text{yb} = 0$

  • $1F_{ij} \, \text{za} + 1F_{ij} \, \text{zb} = 0$

• Momenten:

  • $(Y_ij F_{zj}) + M_{xa} + M_{ij} \, \text{xb} = 0$

  • $-(X_ij F_{za}) + M_{ij} \, \text{ya} + M_{yb} = 0$

  • $-(Y_ij F_{xa}) + X_ij F_{yb} + M_{ij} \, \text{za} = 0$

• $\sum_1^3 F_{xk} = 0$

• $\sum_1^3 F_{yk} = 0$

• $\sum_1^3 F_{zk} = 0$

• $\sum_1^3 (Y_1 k F_{zk} + M_{xk}) = 0$

• $\sum_1^3 (-X_1 k F_{zk} + M_{yk}) = 0$

• $\sum_1^3 (-Y_1 1 k F_{xk} + X_1 k F_{yk} + M_{zk}) = 0$

Na het verkrijgen van de krachten en momenten bij elke knoop kunnen we deze waarden gebruiken om de nodale krachten en momenten voor elk balkelement te berekenen, zoals bijvoorbeeld:

• $1F_{ij} \, \text{xa} = 1F_{xij} + f_x$

• $1F_{ij} \, \text{ya} = 1F_{yij} + f_y$

• $1F_{ij} \, \text{za} = 1F_{zij} + f_z$

Deze waarden zijn essentieel voor het opstellen van de geometrische stijfheidsmatrix van het TPE. De nodale krachten moeten vervolgens worden omgezet van het globale coördinatensysteem naar de lokale coördinaten van elk element. Dit kan worden gedaan met behulp van een transformatie-matrix, die de krachten en momenten in het lokale coördinatensysteem van elk element plaatst. De transformatie-matrix heeft de volgende structuur: