In veel gevallen binnen de lineaire algebra zijn we geïnteresseerd in het vinden van een minimale set van vectoren die de gehele vectorruimte kunnen genereren. Deze set van vectoren wordt een basis genoemd. Een basis voor een vectorruimte is een verzameling van lineair onafhankelijke vectoren die de ruimte op een unieke manier spannen. Dit concept is van fundamenteel belang bij het begrijpen van de structuur van vectorruimten en wordt in veel toepassingen in de wiskunde en natuurwetenschappen gebruikt.

Het begrip 'basis' kan geformaliseerd worden als volgt: een verzameling B={b1,b2,…,bk}B = \{b_1, b_2, \dots, b_k\} is een basis van een vectorruimte XX als en slechts als twee voorwaarden vervuld zijn: ten eerste, de verzameling BB moet de ruimte XX spannen, dat wil zeggen, elke vector in XX moet geschreven kunnen worden als een lineaire combinatie van de vectoren in BB; ten tweede, de vectoren in BB moeten lineair onafhankelijk zijn, wat betekent dat geen enkele vector in BB geschreven kan worden als een lineaire combinatie van de andere vectoren in BB.

Een belangrijk begrip hierbij is lineaire onafhankelijkheid. Drie vectoren v1,v2,v3v_1, v_2, v_3 zijn lineair onafhankelijk als de enige oplossing van de lineaire combinatie s1v1+s2v2+s3v3=0s_1v_1 + s_2v_2 + s_3v_3 = 0 de triviale oplossing is, namelijk s1=s2=s3=0s_1 = s_2 = s_3 = 0. In veel gevallen helpt het gebruik van matrices bij het vaststellen van lineaire onafhankelijkheid of afhankelijkheid van een set vectoren. Als de matrix, die deze vectoren als kolommen heeft, van rang gelijk aan het aantal vectoren is, dan zijn de vectoren lineair onafhankelijk.

Een praktische toepassing van het vinden van een basis is het berekenen van de kolomruimte van een matrix. De kolomruimte van een matrix is de ruimte die wordt gespannen door de kolommen van die matrix. Als we een basis voor de kolomruimte willen vinden, moeten we de matrix reduceren naar haar echelonvorm en vervolgens de kolommen van de gereduceerde matrix identificeren die lineair onafhankelijk zijn. Deze kolommen vormen dan een basis voor de kolomruimte van de oorspronkelijke matrix. Dit proces maakt gebruik van rijoperaties en de theorie van lineaire systemen om de afhankelijke en onafhankelijke vectoren te onderscheiden.

Stel bijvoorbeeld de matrix AA voor:

A=(1312620−11)A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 & 6 & 2 \\ 0 & -1 & 1
\end{pmatrix}

Door de matrix AA te reduceren naar de echelonvorm, krijgen we:

U=(13100001−1)U = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1
\end{pmatrix}

In dit geval zijn de eerste twee kolommen van UU lineair onafhankelijk en vormen ze een basis voor de kolomruimte van AA. We kunnen de laatste kolom van AA uitdrukken als een lineaire combinatie van de eerste twee kolommen, wat ons bevestigt dat deze kolom afhangt van de andere twee.

Het belang van dit proces komt naar voren in het bewijs van de stelling van de basis voor de kolomruimte. Als we een matrix AA hebben, kunnen we door deze te reduceren naar echelonvorm de lineair onafhankelijke kolommen identificeren, die vervolgens een basis voor de kolomruimte van AA vormen. Deze methode stelt ons in staat om de structuur van een matrix beter te begrijpen, vooral wanneer we geïnteresseerd zijn in de oplossingen van lineaire systemen die met die matrix geassocieerd zijn.

In de praktijk is dit proces van het vinden van een basis cruciaal voor het begrijpen van de eigenschappen van vectorruimten en voor het oplossen van systemen van lineaire vergelijkingen. De concepten van onafhankelijkheid, afhankelijkheid, en het vinden van een basis zijn niet alleen theoretisch van belang, maar hebben ook directe toepassingen in computerwetenschappen, natuurkunde en economie, waar ze gebruikt worden voor het optimaliseren van systemen, het modelleren van data, en het analyseren van structuren binnen netwerken.

Naast de basis en de kolomruimte kunnen we ook de rijruimte van een matrix onderzoeken, die op vergelijkbare wijze kan worden geanalyseerd. De rijruimte bestaat uit de lineaire combinaties van de rijen van de matrix, en hoewel de rijruimte en de kolomruimte vaak verschillende structuren hebben, delen ze belangrijke eigenschappen zoals de rang van de matrix. De rang van een matrix is het aantal lineair onafhankelijke rijen of kolommen en speelt een sleutelrol in het bepalen van de oplossingen van een lineair systeem.

Het is belangrijk om te begrijpen dat, hoewel een basis altijd een minimale set van vectoren is die een ruimte spannen, het aantal vectoren in een basis voor een vectorruimte altijd gelijk is aan de dimensie van de ruimte. Dit betekent dat voor Rn\mathbb{R}^n, de dimensie van de ruimte gelijk is aan nn, en elke basis van Rn\mathbb{R}^n zal nn vectoren bevatten. Het kennen van de dimensie van een vectorruimte is een belangrijke eigenschap die helpt bij het classificeren en begrijpen van de ruimten.

Wat zijn de determinanten en hoe worden ze geëvalueerd?

Het resultaat dat de waarde gelijk is aan nul, komt voort uit de lineaire afhankelijkheid van de drie kolomvectoren, zoals we kort zullen uitleggen. Later zullen we ook effectievere methoden bespreken om determinanten te evalueren.

In het algemene geval gaat men te werk zoals hierboven beschreven. Men gebruikt lineariteit om elke determinant van de n-de orde te schrijven als een lineaire combinatie van determinanten van standaardvectoren, op dezelfde manier als in Vergelijking 6.17, en reduceert de niet-nul determinanten onder deze vectoren tot ±1 door het wisselen van aangrenzende eie_i-vectoren. Voor elke determinant van de n standaardvectoren van RnR^n, verandert elke uitwisseling van aangrenzende eie_i-vectoren, ook wel een transpositie genoemd, het teken. Daarom, als in zo’n determinant het aantal transposities dat we gebruiken om de standaardvectoren in hun natuurlijke volgorde te brengen oneven is, dan is de determinant -1, en als het aantal transposities even is, dan is het +1. De natuurlijke volgorde kan verkregen worden uit een gegeven arrangement door verschillende volgordes van transposities; zoals later zal blijken, maakt het echter niet uit welke van deze volgordes gekozen wordt.

Laten we de set van alle mogelijke arrangementen van de gehele getallen 1,2,…,n1, 2, \dots, n in een rij beschouwen. Elk zo’n arrangement wordt een permutatie van de natuurlijke volgorde genoemd, of de natuurlijke permutatie, (1,2,…,n)(1, 2, \dots, n).

Lemma 6.1.1. (Aantal Permutaties). Het aantal permutaties van nn elementen is n!n!. Bewijs: Voor n=1n = 1 is de enige permutatie (1)(1), en dus is het aantal gelijk aan 1!=11! = 1. Voor n=2n = 2 hebben we de twee permutaties (1,2)(1, 2) en (2,1)(2, 1). Deze kunnen worden gezien als ontstaan uit de vorige (1)(1) door het getal 2 aan beide kanten van de 1 te plaatsen, en dus is het aantal gelijk aan 2⋅1!=2⋅1=2!2 \cdot 1! = 2 \cdot 1 = 2!. Voor n=3n = 3 kunnen we alle permutaties verkrijgen door het getal 3 op alle mogelijke plaatsen in de vorige permutaties van twee cijfers te plaatsen, dat wil zeggen, voor de eerste cijfer, tussen de twee cijfers, of erna. Zo is het aantal 3⋅2!=3⋅2⋅1=3!3 \cdot 2! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 3!. Dit proces kan voortgezet worden naar willekeurig nn, met behulp van wiskundige inductie.

We definiëren een inversie in een permutatie als een geordend paar cijfers zodat het grotere getal het kleinere getal voorafgaat in de permutatie. Dus bijvoorbeeld, de permutatie (3,2,4,5,1)(3, 2, 4, 5, 1) heeft de vijf inversies (3,2),(3,1),(2,1),(4,1),(5,1)(3, 2), (3, 1), (2, 1), (4, 1), (5, 1). Een permutatie wordt als even beschouwd als het een even aantal inversies heeft en oneven als het andersom is. In het bijzonder is de natuurlijke permutatie even omdat het nul inversies heeft.

Elke transpositie verandert het aantal inversies met 1, aangezien het alleen de relatieve volgorde van de twee getransponeerde cijfers beïnvloedt. Daardoor verandert elke even permutatie in een oneven permutatie en vice versa. Het aantal even permutaties moet dus gelijk zijn aan het aantal oneven permutaties, aangezien als we alle even permutaties beschouwen en de eerste twee cijfers transponeren, we oneven permutaties krijgen, wat laat zien dat het aantal even permutaties minder dan of gelijk is aan het aantal oneven permutaties. Evenzo, door de eerste twee cijfers van alle oneven permutaties te transponeren, vinden we dat het aantal oneven permutaties minder dan of gelijk is aan het aantal even permutaties. Daarom is het aantal even en oneven permutaties beide gelijk aan n!2\frac{n!}{2}.

Elke permutatie kan worden omgezet in de natuurlijke permutatie door een reeks van transposities, en elke transpositie verandert het aantal inversies met één. Daarom vereist elke oneven permutatie een oneven aantal transposities om de natuurlijke permutatie te bereiken (die even is), en elke even permutatie vereist een even aantal transposities om de natuurlijke permutatie te bereiken, ongeacht welke specifieke transposities worden gebruikt.

Laat PP een permutatie zijn van de gehele getallen 1,2,…,n1, 2, \dots, n; dat wil zeggen, laat P=(p1,p2,…,pn)P = (p_1, p_2, \dots, p_n), waarbij de pip_i de getallen 1,2,…,n1, 2, \dots, n permuteren. Definieer een functie ε\varepsilon op de set van alle permutaties als volgt:

ε(P)={1,als P even is−1,als P oneven is\varepsilon(P) =
\begin{cases} 1, & \text{als } P \text{ even is} \\ -1, & \text{als } P \text{ oneven is} \end{cases}

Met deze notatie komen we tot de volgende stelling.

Theorema 6.1.4. (Determinant van een n×nn \times n matrix). De determinant van een willekeurige n×nn \times n-matrix AA wordt gegeven door

det(A)=∑Pε(P)⋅ap1,1⋅ap2,2⋅⋯⋅apn,n,\text{det}(A) = \sum_{P} \varepsilon(P) \cdot a_{p_1, 1} \cdot a_{p_2, 2} \cdot \cdots \cdot a_{p_n, n},

waar de som over alle permutaties van 1,2,…,n1, 2, \dots, n loopt.

De discussie hierboven heeft al bewezen dat, als det(A)\text{det}(A) bestaat, het deze vorm moet hebben. Om het bestaan ervan te bewijzen, moeten we alleen nog aantonen dat de som in de stelling voldoet aan de drie bepalende axioma’s. Als A=IA = I, dan reduceert de som in de bovenstaande vergelijking tot de enkele term ε(P0)⋅a11⋅a22⋅⋯⋅ann=1\varepsilon(P_0) \cdot a_{11} \cdot a_{22} \cdot \cdots \cdot a_{nn} = 1, waarbij P0P_0 de natuurlijke permutatie is, die even is, en elke aii=1a_{ii} = 1.

Deze formule is echter uiterst inefficiënt voor het berekenen van determinanten voor grote nn, aangezien het aantal termen gelijk is aan n!n!, wat zeer snel groeit. Al voor n=5n = 5 of 66 hebben we 5!=1205! = 120 en 6!=7206! = 720. We zullen echter deze formule gebruiken om enkele andere eigenschappen te bewijzen die leiden tot betere evaluatiemethoden.

De volgende stellingen zullen laten zien hoe determinanten geëvalueerd kunnen worden door elementaire bewerkingen op de rijen of kolommen van de matrix.

Theorema 6.1.5. (Kolommen combineren in een determinant).

  1. Als de matrix A′A' verkregen is uit AA door een willekeurige scalaire cc keer een kolom bij een andere op te tellen, dan is ∣A′∣=∣A∣|A'| = |A|.

  2. Als een matrix AA een nulkolom heeft, dan is ∣A∣=0|A| = 0.

Theorema 6.1.6. (Determinant van een getransponeerde matrix). Voor elke vierkante matrix AA, geldt det(AT)=det(A)\text{det}(A^T) = \text{det}(A).

Het is cruciaal voor de lezer om te begrijpen dat de determinant in wezen een maat is voor de lineariteit en het volume van een matrix, en hoewel de bovenstaande formules krachtig zijn, zijn er meer praktische methoden voor het berekenen van determinanten in de praktijk, zoals de rijreductie en de cofactoruitbreiding. Het begrijpen van de onderliggende theorie is essentieel om te weten waarom en hoe deze technieken werken, en hoe ze verschillende matrixoperaties en hun gevolgen op de determinant beïnvloeden.

Hoe Thermische Beweging van DNA Moleculen de Dynamiek en Denaturatie Beïnvloedt
Hoe draagt de herhaling in Trump’s toespraken bij aan de inclusie en het politieke discours?
Hoe de Ontwikkeling van Waterstofopslagsystemen de Toekomst van Duurzame Energie Vormgeeft
Hoe Evangelische Opvattingen over Seksualiteit en Geslacht Sociale Normen Beïnvloeden