In de studie van elastische ferromagneten is het belangrijk om de interacties tussen de mechanische, magnetische en spin-systemen van het materiaal te begrijpen. Ferromagnetoelastische materialen vertonen een complexe koppeling tussen de mechanische vervormingen van het rooster en de magnetisatie, wat leidt tot unieke eigenschappen die zowel in de industrie als in fundamenteel onderzoek van belang zijn. In dit hoofdstuk worden de integrale en differentiële balanswetten en de constitutieve relaties van dergelijke materialen gepresenteerd, met een focus op de magneto-elastische koppeling en de invloed van spin op de mechanische eigenschappen van het materiaal.

De verhoudingen die we in dit deel bespreken, zijn cruciaal voor het begrijpen van de dynamiek van ferromagnetoelastische structuren. De kracht fMf_M die ontstaat uit de magnetisatie MM en de magnetische veldsterkte BMB_M, kan worden beschreven door de relatie:

fM=M⋅(BM∇),f_M = M \cdot (B_M \nabla),

waarbij het de kracht is die wordt gegenereerd door de magnetisatie in een magnetisch veld. De componenten van deze kracht kunnen verder worden uitgedrukt als fMi=MkBMk,if_M^i = M_k B_M^{k,i} en fMl=TMml,mf_M^l = T_M^{ml,m}, wat een uitgebreidere benadering van de interacties tussen de magnetische momenten in het materiaal biedt. Deze vergelijkingen helpen ons te begrijpen hoe de magnetisatie de mechanische eigenschappen van het materiaal beïnvloedt, zoals de elastische deformaties die optreden onder externe belasting.

In ferromagnetische materialen wordt vaak de magnetisatie per eenheid massa μ\mu gebruikt, omdat dit een handiger maatstaf is dan de magnetisatie per eenheid volume MM. De conditionering van verzadiging in magnetisatie wordt uitgedrukt door:

μ⋅μ=μs2,\mu \cdot \mu = \mu_s^2,

wat aangeeft dat de magnetisatie een specifieke, verzadigde waarde heeft die de eigenschappen van het materiaal bepaalt. Deze conditionering van verzadiging heeft directe gevolgen voor de dynamica van het materiaal, zoals de snelheid waarmee de magnetisatie zich aanpast aan externe invloeden.

In de dynamica van elastische ferromagneten, de wetten van behoud van lineair momentum en energie zijn van groot belang. De lineaire momentumvergelijking wordt gegeven door:

τij,i+ρfj+fMj=ρu¨j,\tau_{ij,i} + \rho f_j + f_M^j = \rho \ddot{u}_j,

waarbij τ\tau de Cauchy-spanningstensor is en fMjf_M^j de magnetische kracht die samenwerkt met de mechanische krachten die het materiaal ondergaan. Het gebruik van deze vergelijkingen helpt bij het modelleren van het gedrag van ferromagnetoelastische materialen onder belasting, waarbij de koppeling tussen de mechanische krachten en magnetische momenten expliciet wordt gemaakt.

Verder wordt de energievergelijking voor dergelijke materialen uitgedrukt als:

dϵdt+dμjdt=τijvj,i−Aijρ−dμjdtAijρ+ρfMj.\frac{d\epsilon}{dt} + \frac{d\mu_j}{dt} = \tau_{ij} v_{j,i} - A_{ij} \rho - \frac{d\mu_j}{dt} A_{ij} \rho + \rho f_M^j.

Deze vergelijking benadrukt de rol van de magnetische kracht fMjf_M^j in de energiebalans, die samenwerkt met de mechanische spanningen en de spin-bewegingen van het materiaal. De magnetische energie moet rekening houden met zowel de interacties tussen het magnetisch veld en de spinstructuur als met de elastische deformaties van het materiaal zelf.

De constitutieve relaties van deze materialen kunnen worden afgeleid door de enthalpie dichtheidsfunctie χ\chi te introduceren. Dit maakt het mogelijk om de veranderingen in energie in termen van de verplaatsing yjy_j en de magnetisatie μi\mu_i uit te drukken:

χ=ϵ+BMiμi.\chi = \epsilon + B_M^i \mu_i.

Door de Legendre-transformatie toe te passen, kunnen we de tijdsafgeleiden van de energie-inhoud en de magnetisatie-inhoud koppelen aan de mechanische spanningen en krachten in het systeem. De constitutieve vergelijkingen die hieruit voortvloeien, geven een gedetailleerd beeld van hoe de materiaalparameters reageren op veranderingen in de externe belasting en magnetische velden.

De kern van het begrijpen van de elastische ferromagnetoelektrische materialen ligt in het inzicht in de kruisinteracties tussen het spin-systeem en het mechanische rooster. Bij de overgang van de spin- en roostercontinuüm naar een gecombineerd continuüm, moeten de totale krachten, momenten en energieveranderingen binnen het materiaal systematisch worden onderzocht om de respons op externe invloeden te voorspellen. Het gebruik van de bovenstaande formuleringen biedt een krachtig raamwerk voor het modelleren van de gedrag van ferromagnetoelastische materialen onder verschillende belasting- en magnetische veldomstandigheden.

Naast de wiskundige vergelijkingen en theoretische modellen die hier zijn gepresenteerd, is het belangrijk te beseffen dat de realiteit van ferromagnetoelastische materialen vaak complexer is door de invloed van microstructuren en de heterogeniteit van materialen. In de praktijk kunnen onvolkomenheden zoals defecten, kristalroosterfouten en zelfs temperatuurvariaties invloed hebben op de magnetoelastische koppeling. Deze factoren moeten worden opgenomen in geavanceerdere modellen om een meer complete benadering van het gedrag van ferromagnetoelastische structuren te krijgen.

Hoe Magnetoelastische Velden de Golven in Ferromagneten Beïnvloeden

In ferromagnetoelastische materialen, zoals Yttrium-Iron-Garnet (YIG), heeft de koppeling tussen magnetische en elastische golven belangrijke invloed op hun propagatie. Dit effect is vooral merkbaar wanneer de magnetische en mechanische velden interactie vertonen, zoals in de geval van ferromagneten onder een statische belasting of een extern magnetisch veld. Wanneer de magnetoelastische koppeling aanwezig is, beïnvloedt deze zowel de frequentie als de karakteristieken van de golven in dergelijke materialen.

De disperentie relaties die worden afgeleid uit de gekoppelde vergelijkingen voor elastische en spin golven kunnen worden gebruikt om de interactie tussen deze golven te analyseren. De interactie manifesteert zich in de vorm van een afwijking van de klassieke elastische golven, die normaal gesproken worden beschreven door de klassieke elastische constanten. In de aanwezigheid van magnetische velden ontstaat er een verschuiving in de frequenties van de golven, wat resulteert in een complexere dynamica. Dit kan worden beschreven door de gelijkheden die de koppeling tussen de spin golven en de elastische golven bevatten.

Bijvoorbeeld, de magnetoelastische koppeling wordt duidelijk zichtbaar in de vergelijking voor de dispersie van de golven, zoals weergegeven in de vergelijkingen (6.3.16) en (6.3.20), waar de invloed van de magnetische anisotropie, de elasticiteitsmodulen en de spin-golf interacties worden geïntegreerd. Voor lange golven met een kleine amplitude van de verplaatsing ζ, kan de frequentie van de golven worden benaderd door de termen die het effect van de magnetoelastische koppeling beschrijven. Dit effect kan leiden tot een aanpassing van de golfsnelheid, afhankelijk van de sterkte van het magnetische veld en de elasticiteit van het materiaal.

In het geval van YIG-platen, zoals beschreven in de sectie over golven in platen, leidt de aanwezigheid van magnetische wanden aan de oppervlakte van de plaat tot het ontstaan van specifieke dispersiecurven voor verschillende types van golven. De plaat kan verschillende golftypes ondersteunen, zoals buiggolven, schuifgolven of extensiegolven, afhankelijk van de symmetrie van de verplaatsingen en de magnetische moment vectoren. Dit kan worden geanalyseerd met behulp van de semi-analytische eindige-elementenmethode, die helpt om de dispersiecurven te bepalen voor verschillende plaatdikte en magnetische veldsterktes.

Wanneer de plaat onder een mechanische belasting wordt geplaatst, zoals beschreven in de sectie over de statische buiging van een rechthoekige plaat, wordt de interactie tussen de mechanische vervorming en de magnetische veldverdeling nog ingewikkelder. In dit geval wordt de belasting op de plaat vertaald naar specifieke randvoorwaarden die zowel de mechanische als magnetische velden beïnvloeden. De resulterende golven kunnen niet alleen worden beschreven door de klassieke elastische theorie, maar vereisen ook de integratie van de magnetoelastische eigenschappen van het materiaal.

Bij het oplossen van de vergelijkingen voor deze systemen worden de randvoorwaarden van de plaat, zoals perfect magnetische wanden en de afwezigheid van externe krachten buiten de toegepaste belasting, meegenomen. Dit stelt ons in staat om een numerieke oplossing te verkrijgen die de dynamica van de golven in de plaat beschrijft, inclusief de interactie tussen de verschillende soorten golven, de magnetische momenten en de elastische vervormingen.

Voor een lezer die geïnteresseerd is in dit onderwerp, is het belangrijk om te begrijpen dat de magnetoelastische koppeling niet alleen invloed heeft op de frequentie van de golven, maar ook op hun karakteristieken, zoals de snelheid en de amplitude. De complexiteit van het systeem neemt toe met de sterkte van het magnetische veld en de mate van koppeling tussen de elastische en magnetische eigenschappen van het materiaal. Dit heeft implicaties voor het ontwerp van apparaten die gebruik maken van ferromagnetoelastische materialen, zoals sensoren, actuators en opslagmedia.

Het is ook cruciaal te beseffen dat de klassieke elastische theorie niet voldoende is om deze complexe systemen volledig te begrijpen. Het integreren van magnetische eigenschappen in de beschrijving van de elastische golven biedt diepere inzichten in de dynamica van deze materialen. Dit maakt het noodzakelijk om zowel de mechanische als de magnetische componenten van een systeem samen te beschouwen, vooral wanneer we werken met materialen die een sterke magnetoelastische koppeling vertonen.

Hoe konden vrouwelijke piraten hun identiteit verborgen houden?
Wat is de relatie tussen politici en de pers: Van verdediging tot kritiek?
Hoe beïnvloedt de rotatie van een verzadigd ferromagnetisch materiaal de magnetische eigenschappen?
Hoe Begrijpen We Informatie? Drie Aspecten van Informatie en Hun Betekenis