Hoe de Rigid Body Regels Essentieel Zijn voor de Niet-lineaire Analyse van Structuren

In de wereld van de structurele mechanica zijn er veel verschillende soorten constructies die elk hun eigen specifieke kenmerken en analytische benaderingen vereisen. Bij het werken met frame- en truss-structuren, waar de verbindingen tussen de leden bepaalde aannames met zich meebrengen, is het cruciaal te begrijpen hoe de verschillende theorieën en benaderingen van de analyse de nauwkeurigheid en betrouwbaarheid van de uiteindelijke berekeningen beïnvloeden.

Daarom is het van essentieel belang om niet alleen de elastische stijfheid [ke] van de structuurelementen te overwegen, maar ook de geometrische stijfheid [kg], die een cruciale rol speelt bij de niet-lineaire analyse van structuren. Geometrische stijfheid kan worden afgeleid van de potentiële energie, die de niet-lineaire vervormingen en initiële spanningen in overweging neemt. In de context van een element dat initieel onder stress staat, kunnen deze initiële spanningen een belangrijke rol spelen in het veroorzaken van instabiliteit. Wanneer we naar de geometrische stijfheid van structuurelementen kijken, moet rekening worden gehouden met de mogelijkheid dat hoge-orde termen die voortvloeien uit de kinematische hypothese fysiek niet gerechtvaardigd kunnen worden, vooral in gevallen van rigide rotaties.

In de meeste gevallen kunnen de truss-structuren als de eenvoudigste worden beschouwd. Ze bestaan uit twee-ledenleden en hoeven geen kinematische hypothese te gebruiken om het gedrag van de doorsnede te beschrijven. Het ontbreken van deze hypothese maakt het mogelijk om de niet-lineaire termen op een fysiek verantwoorde manier te interpreteren, wat hen een ideale keuze maakt voor het demonstreren van de rigid body rule, een belangrijk concept bij de analyse van niet-lineaire structuren.

De rigid body rule is een fundamenteel principe dat stelt dat, wanneer een rigide rotatieveld wordt opgelegd aan een initieel gestrest en in evenwicht zijnd eindige element, dit element in evenwicht moet blijven, zonder dat er veranderingen optreden in de grootte van de werkende krachten. Deze regel vormt de basis voor het afleiden van de geometrische stijfheid van de structuurelementen en biedt de noodzakelijke voorwaarden om te bepalen welke elementen geschikt zijn voor een niet-lineaire analyse. Wanneer deze regel wordt nageleefd, kunnen de afgeleiden geometrische stijfheden daadwerkelijk fysiek worden geïnterpreteerd en toegepast.

Voor de meeste structuren, met name de truss-structuren, wordt de rigid body rule gebruikt om de kwaliteit van de afgeleide niet-lineaire elementen te verifiëren, vooral hun geometrische stijfheid. Het is ook belangrijk te begrijpen dat deze regel niet alleen als test voor de elementkwaliteit fungeert, maar ook als een hulpmiddel bij het bijwerken van nodale krachten na elke iteratie in het geval van rigide rotaties. Dit proces is van groot belang in de iteratieve benadering van niet-lineaire analyses, zoals post-buckling analyses, waarbij de deformaties en krachten van structuren bij meerdere kritieke punten moeten worden gevolgd.

Het is daarnaast van belang te realiseren dat, hoewel de truss-elementen zich bijzonder goed lenen voor het demonstreren van de rigid body rule, dit principe in bredere zin toepasbaar is op alle soorten structuren die een niet-lineaire benadering vereisen. De effectiviteit van de niet-lineaire analyse hangt dus niet alleen af van de keuze van de theorieën en hypothesen, maar ook van het vermogen om de fysische realiteit van het gedrag van de structuren te respecteren, vooral bij complexe vervormingen en hoge-orde effecten die voortvloeien uit geometrische niet-lineariteiten.

Wat zijn de belangrijkste kwaliteits- en stabiliteitstests voor eindige elementen in structurele analyses?

In de literatuur bestaan verschillende versies van de patchtest. Een alternatieve versie van de patchtest bestaat erin een set verplaatsingen {U} toe te wijzen aan alle knooppuntgraden van vrijheid, die consistent is met de toestand van constante vervorming, en vervolgens de bijbehorende knooppuntkrachten {P} te berekenen: {P} = [K]{U}. Als alle knooppuntkrachten binnen de grens van het patchgebied de overeenkomstige toestand van constante spanning kunnen vertegenwoordigen, wordt gezegd dat de patchtest is doorstaan. Aangezien een test van deze vorm alleen de voldoening aan de basale differentiaalvergelijkingen verifieert, maar niet de stabiliteitsvoorwaarden of de benadering in de randvoorwaarden, dient deze test slechts als een noodzakelijke voorwaarde voor convergentie.

Bij het testen van een eindig element controleren we eerst of de stijfheidsmatrix [k] zoveel nul-eigenwaarden bevat als verwacht. Te weinig nul-eigenwaarden geven aan dat het element kunstmatig vervormd zal zijn wanneer het wordt blootgesteld aan rigide bewegingen. Te veel nul-eigenwaarden suggereren dat er bepaalde mechanismen zijn geïntroduceerd in het element tijdens de formulering of in de programmeerstap, wat kan leiden tot inconsistenties in de theorie of verborgen programmeerfouten. Een eindig element met te veel nul-eigenwaarden kan zijn stabiliteit verliezen onder bepaalde netpatronen of belastingstoestanden.

De basisgedachte achter deze sectie is het verhelderen van de fysieke principes die ten grondslag liggen aan de verschillende testen die vaak in de literatuur worden gebruikt voor lineaire elementen. Omdat de lineaire elementen die in sectie 2.2 worden gepresenteerd geen schendingen vertonen van compatibiliteits-, volledigheids- en stabiliteitsvereisten, kan worden bevestigd dat ze allemaal de tests uit deze sectie doorstaan. In het volgende hoofdstuk zullen we demonstreren hoe de rigide lichaamseigenschappen die hier zijn gepresenteerd, kunnen worden uitgebreid naar het testen van niet-lineaire elementen in de incrementele vorm.

Wat belangrijk is voor de lezer om te begrijpen, is dat de tests die hier worden beschreven, zoals de patchtest en de eigenwaardetest, cruciaal zijn voor het verifiëren van de kwaliteit en stabiliteit van eindige elementen, vooral in lineaire analyses. Het is echter belangrijk om te beseffen dat dergelijke tests niet altijd voldoende zijn voor niet-lineaire elementen, omdat deze laatste vaak extra complexiteiten met zich meebrengen, zoals interne krachten en initiële spanningen die moeten worden meegenomen in de analyse. De rigide lichaamregel, zoals voorgesteld door Yang en Chiou (1987), is een belangrijke toevoeging aan de beschikbare tests voor niet-lineaire eindige elementen. Dit testprincipe houdt in dat de initiële krachten die op een element werken, meebewegen met de rigide lichaamsbeweging zonder de magnitudes van deze krachten te veranderen, wat zorgt voor een fysisch verantwoorde analyse van het gedrag van de elementen in niet-lineaire situaties.

Hoe het herstel van krachten en vernieuwing van elementen werkt in niet-lineaire analyse

In de context van niet-lineaire structurele analyse, vooral bij het werken met ruimte- en vlakconstructies, is het cruciaal om de juiste coördinaten en krachten van elk element bij te houden. De aanpak van de geüpdate coördinaten, zoals gedefinieerd door het concept van "convecterende coördinaten", biedt een effectieve manier om de rotaties en vervormingen van de elementen te beheren. Dit concept heeft vooral voordelen wanneer de verplaatsingen en rotaties bij elke incrementele stap klein zijn, wat typisch is voor de meeste structurele analyseproblemen.

Bij het gebruik van geüpdate coördinaten worden de nieuwe elementassen en lengtes bepaald door de coördinaten van de twee knooppunten aan de uiteinden van een element. Hierbij is het belangrijk te realiseren dat de as van het element, evenals de bijbehorende lengtes en oriëntaties, continu worden bijgewerkt om de veranderende geometrie van het systeem weer te geven. Dit proces zorgt ervoor dat, ondanks de interne rotaties en verschuivingen, de structuur als geheel op een coherente manier wordt geanalyseerd.

Voor vlakconstructies is het relatief eenvoudig om de hoeken te berekenen, aangezien de rotaties vaak als klein worden verondersteld. In deze gevallen kunnen de rotatie-incrementen eenvoudig worden opgeteld bij de cumulatieve rotaties van voorgaande stappen. Dit leidt tot een directere manier van het bijwerken van de elementoriëntaties. Ditzelfde principe kan echter niet zonder meer worden toegepast op ruimteconstructies, die complexer zijn door de drie rotatiegraden van vrijheid die elk element kan hebben.

In situaties waar de rotaties van de elementen niet klein zijn, is de procedure voor het bijwerken van de oriëntaties meer gecompliceerd. Hier wordt gebruik gemaakt van de theorie van eindige rotaties, die een ander wiskundig kader biedt voor het aanpassen van de elementen en het berekenen van de krachten. Dit vereist een grondige afstemming van de initiële krachten en de krachtenincrementele berekeningen, wat vervolgens leidt tot de herberekening van de interne krachten die door elk element van de structuur worden gedragen.

De berekening van krachtenincrementele verschuivingen wordt vaak uitgevoerd met behulp van een krachtherstelmatrix. De elementkrachten worden bepaald door de zogenaamde elementkrachtenvergelijking, waarin het elementkrachten- en verplaatsingsterugval wordt bepaald. Wanneer de verplaatsingsincrementele {Δu} bekend zijn, kunnen ze worden toegepast op de stijfheidsmatrix [k], die de elasticiteit en de interne momentontwikkeling van het element weergeeft. Dit maakt het mogelijk om de krachten voor elk element op elke stap bij te werken, een proces dat iteratief wordt uitgevoerd tot het gewenste resultaat is behaald.

Er zijn echter verschillende benaderingen mogelijk voor deze berekeningen, afhankelijk van de aard van de verplaatsingen. Wanneer deze als klein worden verondersteld, kan de eenvoudige elastische stijfheidsmatrix [ke] alleen worden gebruikt om de krachtenincrementele {Δf} te berekenen, wat een veel eenvoudiger methode is dan het werken met een meer gedetailleerde complete stijfheidsmatrix. Dit maakt de procedure eenvoudiger en sneller, maar het is belangrijk te begrijpen dat deze vereenvoudiging alleen geschikt is voor kleinere vervormingen en krachten.

Voor grotere vervormingen en meer complexe niet-lineaire systemen, kan het nodig zijn om meer gedetailleerde benaderingen te gebruiken, zoals de methode van algemene verplaatsingscontrole (GDC-methode). Deze benaderingen zijn ontworpen om grotere structurele vervormingen effectief te hanteren en de robuustheid van de niet-lineaire analyse te waarborgen. In sommige gevallen kan de stijfheidsmatrix zelfs worden gecombineerd met andere matrixen, zoals de momentmatrix van de knooppunten, om de integriteit van het hele systeem te waarborgen.

Met de kracht van iteratieve technieken en het gebruik van zowel elastische als inductieve stijfheidsmatrices, kunnen ingenieurs met succes een breed scala aan niet-lineaire structurele problemen aanpakken. De exacte keuze van de methode hangt sterk af van de specifieke kenmerken van het probleem, zoals de mate van vervorming, de aard van de krachten en de geometrie van de constructie. Daarom blijft het belangrijk om zowel de theorie als de praktische toepassing van de krachthersteltechnieken goed te begrijpen, vooral wanneer we werken met complexe ruimte- en vlakconstructies.