In deze tekst beschrijven we hoe een groep aanstaande en werkende docenten leerde over en nieuwe model-oplossende activiteiten (MEA's) opstelden, met als doel wiskundige ideeën toegankelijk en relevant te maken voor hun studenten. In de context van een acht weken durende modelleringcursus kregen de docenten aanwijzingen om MEA’s te stellen rond wiskundige structuren en concepten die vergelijkbaar waren met die welke ze eerder als leerlingen hadden ervaren. Bij het stellen van MEA's in deze context, identificeerden de docenten verschillende manieren om hun studenten te betrekken, met nadruk op zowel de wiskundige kenmerken als de maatschappelijke relevantie van de onderwerpen. In het bijzonder uitten de docenten de wens dat hun studenten zouden begrijpen hoe wiskunde kan worden gebruikt voor sociale rechtvaardigheid en de rol die wiskunde speelt in dergelijke gebeurtenissen.

Deze bevindingen suggereren dat MEA’s in probleemstelling docenten een conceptueel kader bieden waarmee ze wiskundig rijke situaties kunnen creëren die belangrijk zijn voor het leven van hun studenten, de wiskundige vertaling van de echte wereld kunnen oproepen en het begrip van maatschappelijke vraagstukken kunnen bevorderen.

Docenten, vaak niet vertrouwd met het concept van wiskundige modellering, voelen de behoefte aan duidelijke instructies over hoe ze leerlingen kunnen ondersteunen bij modelleren. Ze doen veel werk bij het selecteren, aanpassen en kaderen van modelleeropdrachten, maar zonder zelf ervaring te hebben met modelleren, vinden ze het moeilijk om modellering in hun klaslokaal te integreren. Om deze uitdagingen aan te pakken, werd gesuggereerd dat MEA’s een rijke gelegenheid zouden kunnen bieden voor docenten om niet alleen relevante ideeën door middel van wiskundige modellering te onderzoeken, maar ook om hun eigen modelleerproblemen te formuleren.

MEA’s zijn realistisch complexe modelleeropdrachten die zijn ontworpen om leerlingen in staat te stellen een situatie die de "klant" van het probleem ondervindt, wiskundig te interpreteren. MEA’s worden zowel als theoretisch als instructief instrument gebruikt om docenten te helpen bij het stellen van problemen en breiden het begrip van probleemoplossen en het stellen van problemen uit in de literatuur en de praktijk. MEA’s hebben wereldwijd aandacht gekregen, maar tot nu toe is er geen specifiek raamwerk dat docenten helpt om MEA's te formuleren die gericht zijn op wiskundige ideeën die verbonden zijn met hun curriculum of die zij belangrijk vinden voor anderen en de samenleving. Het onderzoek richtte zich dan ook op de vraag: “Gezien de eerdere ervaring van een cluster van MEA’s met gerelateerde wiskundige ideeën als leerlingen, welke soorten MEA’s creëren docenten?” Het beantwoorden van deze vraag maakt inzichtelijk op welke manieren docenten MEA's als leeromgevingen begrijpen en hoe zij leerlingen zien verbindingen leggen door middel van modelleren.

Probleemstelling in modellering stelt leerlingen in staat hun eigen vragen te bedenken die relevant zijn voor situaties in de echte wereld. Ze itereren, monitoren, passen aan en herformuleren het oorspronkelijke probleem terwijl ze de waarschijnlijke reacties en conjecturen van leerlingen bedenken en zelf als klanten optreden. Het opstellen van modelleerproblemen biedt docenten de mogelijkheid om dit iteratieve proces van probleemcreatie te doorlopen en helpt hen de theoretische doelstellingen van modelleren te begrijpen. Het stelt hen ook in staat om meerdere toegangspunten te overwegen die studenten kunnen vinden bij het oplossen van problemen.

In onderzoek naar modelleeropdrachten wordt het concept van wiskundige agency benadrukt, waarbij het belangrijk is dat studenten de mogelijkheid hebben om nieuwe wiskundige ideeën te ontwikkelen en die ideeën op hun eigen manier te verfijnen. Dit komt overeen met de filosofieën van probleemopstelling, waarin wordt benadrukt dat wiskunde niet alleen abstract en theoretisch is, maar juist ook in verband moet worden gebracht met de werkelijke samenleving. Docenten, die hun ervaringen als leerlingen meenemen, kunnen de waarde van modellering begrijpen en het integreren van maatschappelijke en sociale rechtvaardigheid in hun taken zien als een manier om studenten zowel wiskundige als maatschappelijke inzichten bij te brengen.

Wanneer docenten werken aan het opstellen van MEA's die gekoppeld zijn aan de maatschappelijke en sociale contexten die relevant zijn voor hun leerlingen, krijgen ze de kans om modellen te ontwikkelen die het potentieel hebben om studenten te betrekken bij wiskundige concepten die van betekenis zijn in hun dagelijkse leven en in de wereld om hen heen. Dit proces stelt de docenten in staat om niet alleen de technische aspecten van wiskunde te onderwijzen, maar ook het bredere, maatschappelijke belang van wiskundige kennis aan te tonen.

Docenten moeten verder begrijpen dat het formuleren van dergelijke MEA's niet alleen over technische vaardigheden gaat, maar ook over het vermogen om studenten te motiveren en aan te moedigen tot diepgaande reflectie over de maatschappelijke vraagstukken die zij behandelen. Het ontwerpen van MEA’s die zowel uitdagend als maatschappelijk relevant zijn, biedt de kans om een bredere visie van wiskunde als een instrument voor verandering en begrip te integreren in het onderwijs.

Hoe kun je wiskundemodellering buiten het klaslokaal toepassen met behulp van mobiele apps?

Wiskundemodellering wordt vaak gezien als een activiteit die beperkt is tot de klas, maar er zijn steeds meer benaderingen die leerlingen in staat stellen deze vaardigheden buiten het traditionele leslokaal te ontwikkelen. Een van deze benaderingen is de zogenaamde "math trail", waarbij leerlingen wiskundige taken uitvoeren aan echte objecten in hun omgeving. Deze taken bevorderen de toepassing van wiskundige kennis op een praktische manier, waarbij leerlingen gegevens verzamelen door te meten, schatten en tellen. In dit proces speelt technologie een steeds grotere rol, bijvoorbeeld via mobiele apps zoals MathCityMap, die ondersteuning biedt bij het oplossen van wiskundige problemen buiten de klas.

MathCityMap is een app die specifiek ontworpen is om leerlingen te helpen bij het uitvoeren van dergelijke wiskundige modelleringstaken tijdens een math trail. De app biedt hints, feedback en voorbeeldoplossingen, wat niet alleen de motivatie van de leerlingen verhoogt, maar hen ook helpt om een adequaat wiskundig model te vinden voor de geschetste problemen. Onderzoek toont aan dat hints in de app de leerlingen effectief ondersteunen bij het vinden van een oplossing, terwijl de feedback hen aanmoedigt om het probleem opnieuw te benaderen en zo een nieuwe cyclus van modellering te doorlopen.

Toch blijkt uit studies dat de voorbeeldoplossingen in de app niet de beoogde rol als verklarende feedback vervullen, aangezien leerlingen deze vaak niet raadplegen. Dit roept vragen op over hoe we het ontwerp van dergelijke apps verder kunnen verbeteren om de effectiviteit van de feedback te vergroten. Terwijl de leerlingen zich in eerste instantie geconcentreerd bezighouden met het vinden van een oplossing voor een bepaald probleem, zou het optimaal zijn als zij de voorbeeldoplossingen meer als een hulpmiddel gebruiken om hun denkproces verder te ontwikkelen.

Naast de technologische aspecten zijn er ook pedagogische voordelen aan outdoor modellering. Het leren buiten het klaslokaal biedt een dynamische en hands-on leerervaring. Door wiskundige taken in de echte wereld uit te voeren, ontwikkelen leerlingen niet alleen hun wiskundige vaardigheden, maar ook hun vermogen om in teamverband samen te werken, te communiceren en te problematiseren. Deze interactie bevordert niet alleen het leren van wiskundige concepten, maar draagt ook bij aan de ontwikkeling van sociale en samenwerkingsvaardigheden.

Bij het uitvoeren van math trail-taken wordt de wiskunde contextueel en toegepast, wat een belangrijke meerwaarde heeft ten opzichte van het traditionele wiskundige onderwijs. Het idee is dat door met wiskundige modellen te werken die daadwerkelijk betrekking hebben op de wereld om hen heen, leerlingen een beter begrip ontwikkelen van de praktische toepassingen van wiskunde. In plaats van abstracte formules en theorieën krijgen ze een kans om wiskunde te ervaren als een krachtig hulpmiddel voor het oplossen van echte problemen. Dit versterkt niet alleen hun betrokkenheid bij de leerstof, maar helpt hen ook om de relevantie van wiskunde in hun dagelijks leven in te zien.

Het modelleren zelf kan worden gezien als een cyclus van iteraties: eerst wordt een probleem geanalyseerd, waarna een model wordt ontwikkeld, getest en mogelijk bijgesteld. Dit proces wordt versterkt door het gebruik van technologie, die een brug slaat tussen de traditionele wiskundige technieken en de noodzaak om problemen in de echte wereld op te lossen. Het gebruik van apps zoals MathCityMap maakt de overgang van de theorie naar de praktijk gemakkelijker en zorgt ervoor dat leerlingen niet alleen leren door theorie, maar door actief hun kennis toe te passen in verschillende contexten.

Een ander belangrijk aspect is de mate van "openheid" van de taken die worden gepresenteerd. Terwijl sommige wiskundige problemen goed gedefinieerd zijn met een eenduidige oplossing, bevatten veel van de taken in een math trail open eindes die meerdere oplossingsstrategieën mogelijk maken. Dit draagt bij aan de ontwikkeling van kritisch denkvermogen en probleemoplossende vaardigheden, wat essentieel is voor de hedendaagse samenleving. Het leren omgaan met onzekerheid, het maken van veronderstellingen en het aanpassen van modellen op basis van nieuwe gegevens zijn cruciale vaardigheden die door outdoor modellering worden versterkt.

Hoewel het gebruik van mobiele apps zoals MathCityMap ongetwijfeld voordelen biedt, is het belangrijk dat leerlingen ook begrijpen wanneer en waarom ze technologie moeten inzetten, en wanneer het beter is om een meer handmatige benadering te volgen. Het juiste evenwicht tussen technologie en zelfontdekt leren is essentieel voor het succes van dergelijke onderwijsmethoden.

Het is van belang dat wiskundemodellering niet alleen wordt gezien als een technische vaardigheid, maar ook als een cognitief proces waarbij creatief denken en samenwerking centraal staan. De uitdaging voor leraren is om een leeromgeving te creëren waarin leerlingen niet alleen de juiste antwoorden vinden, maar ook begrijpen hoe ze tot die antwoorden gekomen zijn, en wat de implicaties van hun modellen zijn in de echte wereld.

Hoe de Humanisering van de 12 Profeten van Aleijadinho Werd Behaald Door Ethnomodellering en Verhoudingen

Het proces van humanisering van de beelden van de profeten door Aleijadinho is een opmerkelijk voorbeeld van het gebruik van wiskundige en artistieke technieken om het ideaal van de menselijke proporties te benaderen. Dit proces richtte zich specifiek op de transformatie van de beelden van de profeten naar een anatomische vorm die overeenkwam met het zogenaamde "ideale mannelijke model" – een model gebaseerd op de verhoudingen van het menselijk lichaam zoals beschreven in de klassieke kunsttheorieën, met name de theorieën van proporties die teruggaan tot de Griekse oudheid.

De basis van de humanisering was de toepassing van de Theorie van Canons van Proporties, ontwikkeld door de Griekse beeldhouwer Polykleitos. Deze theorie stelde dat het ideale menselijk lichaam moest worden gemeten aan de hand van hoofden, waarbij het ideale aantal hoofden voor de mannelijke proporties acht was. De keuze van een model wiens lichaamsmaten het dichtst bij dit ideale aantal hoofden kwamen, was essentieel voor het hele proces. Het model dat werd gekozen voor de metingen was 181 cm lang, met een hoofdomtrek van 22 cm, wat resulteerde in een verhouding van ongeveer 8,23 hoofden, dicht bij het gewenste aantal van acht hoofden. Dit model werd vervolgens gebruikt om de beelden van de profeten te evalueren en te humaniseren op basis van hun verhoudingen.

De etic ethnomodels, oftewel de "externe" modellen die werden toegepast om de beelden van de profeten te meten, waren bedoeld om de wetenschappelijke basis van de beelden te verifiëren. Dit gebeurde door de verhoudingen van de verschillende delen van het lichaam van het model te vergelijken met de beelden van de 12 profeten van Aleijadinho, waarbij speciale aandacht werd besteed aan de verhoudingen van de boven- en onderlichamen. In de klassieke wiskundige benadering werd het navelgebied als het centrale punt beschouwd, van waaruit de verhoudingen van de boven- en onderlichaam werden berekend. De gouden ratio (ongeveer 1,618) werd als referentiepunt gebruikt om te bepalen hoe dicht de beelden van de profeten bij het ideale model kwamen.

Uit de metingen bleek dat slechts drie van de twaalf profetenbeelden – die van Baruch, Abdias en Nahum – een verhouding hadden die dicht bij de gouden ratio kwam. De verhoudingen van de andere beelden, hoewel niet exact in lijn met het ideale model, vertoonden nog steeds significante gelijkenissen met menselijke proporties. Met name het beeld van de profeet Abdias had verhoudingen die het dichtst bij de gouden ratio lagen.

In de context van deze humanisering werd het gebruik van horizontale en verticale schalen belangrijk. Deze schalen werden toegepast om de verhoudingen van de beelden van de profeten in overeenstemming te brengen met de proporties van het gekozen model. Voor de horizontale metingen, zoals de hoogte van het hoofd en de afstand van de navel tot de voeten, werd een horizontale schaal gebruikt. Voor de verticale metingen, zoals de breedte van het hoofd en de schouders, werd een verticale schaal toegepast. Deze verhoudingen werden vervolgens verder geanalyseerd door middel van het opstellen van een etic ethnomodel, waarmee de lichaamsverhoudingen van elke profeet werden vergeleken met die van het mannelijke model.

Bij de evaluatie van de verhoudingen van de profeten bleek dat de menselijke proporties van profeet Ezequiel het dichtst bij het ideale model kwamen, behalve voor zijn hoofd- en schouderbreedte, die wat afweken van de standaard. Dit bevestigde dat zelfs bij een artistieke benadering de toepassing van wetenschappelijke principes zoals verhoudingen en proporties kan leiden tot een verfijning van de menselijke representatie, zelfs in beeldhouwwerk.

Het is ook relevant te vermelden dat de toepassing van deze principes niet alleen relevant was voor de esthetische aspecten van de beelden, maar ook voor het begrijpen van de culturele en historische context waarin Aleijadinho werkte. De keuze om de beelden van de profeten te humaniseren was niet slechts een artistieke beslissing, maar ook een manier om de goddelijke figuren te presenteren als menselijke representaties, die dichter bij de kijker stonden. Dit maakt de beelden toegankelijker en relevant voor de culturele perceptie van de tijd.

Bij het uitvoeren van de menselijke metingen en het creëren van de etic ethnomodels werd een nauwkeurige wetenschappelijke benadering gevolgd, waarbij vertrouwen werd gesteld in de wiskundige analyse van verhoudingen en het toepassen van klassieke kunsttheorieën. Het resultaat was een verfijning van het beeldhouwwerk die de menselijke proporties benaderde, maar tegelijkertijd de artistieke en culturele waarden van de tijd bewaarde. Zo werd het wiskundige idee van de ideale proportie een brug tussen de kunst en de wetenschap, en was het proces van humanisering niet alleen een technische uitdaging, maar ook een culturele en filosofische onderneming.

Hoe ethische overwegingen de benchmarking van robotica beïnvloeden
Hoe Kunstmatige Intelligentie de Precisielandbouw en Duurzame Landbouw Hervormt
Hoe de Simulacrum de Waarheid Vervangt en de Psychologie van Manipulatie Vormgeeft
Welke wetten en regels vormen het kader voor risicomanagement en cybersecurity in financiële instellingen?
Regels voor het oversteken van het spoor
Opdrachten voor de 10e klas: geschiedenis, scheikunde en ecologie — vragen over Lomonosov, lucifers, zwavelverbindingen en milieuproblemen
Beoordeling van de gereedheid voor de invoering van de federale onderwijsstandaard voor leerlingen met een beperking (FESG) op de gemeentelijke autonome middelbare school nr. 19 – Cadettengebouw "Victoria"
Lijst van leerboeken die worden gebruikt in het onderwijs voor leerlingen met een verstandelijke beperking aan de MKOU middelbare school nr. 2 in de stad Makaryev in het schooljaar 2018/2019
Aanvullende Algemeen Vormende Ontwikkelingsprogramma's voor Leerlingen van de Middelbare School