Hoe Kunnen We de Convergentie van Eindige Elementen Analyse Bevestigen?

De Rayleigh-Ritz-methode vormt een fundamentele benadering voor het oplossen van verschillende structurele problemen, waarbij het nodig is de trial-displacementvelden zorgvuldig te formuleren. Een van de belangrijkste voorwaarden voor deze methode is dat de veronderstelde functies kinematisch admissibel moeten zijn, wat betekent dat ze moeten voldoen aan interne compatibiliteit en geometrische randvoorwaarden. Echter, er is geen vereiste voor het voldoen aan natuurlijke randvoorwaarden. Als we het trial-displacementveld kunnen representeren door een reeks functies die een complete verzameling vormen, dan zal dit veld, door het toevoegen van meer functies aan de reeks, uiteindelijk convergeren naar de exacte oplossing voor het probleem. Het Finite Element-methode (FEM) kan worden beschouwd als een variant van de Rayleigh-Ritz-methode, die de structuur opdelt in een aantal eindige elementen die verbonden zijn bij de knooppunten.

Wat betreft de compatibiliteit van de eindige elementen, is het vereist dat de verplaatsingen binnen elk element en over de elementgrenzen continu zijn. Dit is geen probleem voor de frame- en truss-elementen die in dit boek worden besproken, aangezien polynomiale functies worden gebruikt voor de interpolatie van de verplaatsingen. Elementen die zowel de compatibiliteit als de volledigheid voorwaarde vervullen, worden conformerende elementen genoemd. Elementen die alleen de volledigheid voorwaarde vervullen, maar de interelementcompatibiliteit schenden, worden niet-conformerende of incompatibele elementen genoemd. Een niet-conformerend element kan echter nog steeds praktische nauwkeurige resultaten opleveren, vooral als het element de toestand van constante rek kan benaderen wanneer het netwerk van eindige elementen verder wordt verfijnd. In dit geval is het gedrag van de convergentie van de FEM-modellen met niet-conformerende elementen mogelijk niet monotoon.

Wat betreft de stabiliteit betekent dit dat de oplossing van de stijfheidsvergelijkingen van de structuur gebonden en uniek moet blijven. Dit houdt in dat de stijfheidsmatrix [K] niet-singulier moet zijn en de structuur stabiel moet zijn, met voldoende beperkingen om rigide lichaamsbewegingen te voorkomen. Voor een stabiele structuur bevatten de verplaatsingen {U} geen nul-energie-modus. De stabiliteitvoorwaarde sluit de mogelijkheid van divergentie of numerieke overloop uit tijdens het oplossingsproces, wat zorgt voor een voldoende voorwaarde voor convergentie. In tegenstelling hiermee vertegenwoordigen de volledigheid en compatibiliteit slechts noodzakelijke voorwaarden voor convergentie.

De patch-test heeft als voordeel dat elke singulariteit van de stijfheidsmatrix [K] onmiddellijk kan worden gedetecteerd, wat een controle op de stabiliteit van de elementen die de patch vormen mogelijk maakt. Het is belangrijk op te merken dat in een standaard patch-test alle mogelijke constante rektoestanden die van het element worden geëist, gecontroleerd moeten worden. Een element wordt als aan alle convergentiecriteria voldaan beschouwd als het de patch-test kan doorstaan. Wanneer elementen van dit type worden gebruikt in de modellering van de structuur, kan worden gegarandeerd dat de benaderde oplossingen zullen convergeren naar de exacte oplossing bij verfijning van het netwerk.

Wat zijn de fundamentele concepten van geometrische niet-lineaire analyse in de structurele mechanica?

De geometrische niet-lineaire analyse speelt een cruciale rol in de moderne structurele mechanica, vooral wanneer we werken met systemen die grote vervormingen ondergaan of waarbij de geometrie van de structuur zelf verandert als gevolg van belasting. De toepassing van dergelijke analyses is essentieel voor het begrijpen van complexere structurele reacties dan de lineaire benaderingen toelaten. Hierbij worden verschillende concepten geïntroduceerd die niet enkel van invloed zijn op de stabiliteit, maar ook op de nauwkeurigheid van numerieke simulaties van de structuuranalyse.

Een van de belangrijkste concepten is de Green-Lagrange strain, een maat voor de vervormingen in een materiaal die de verandering in lengtes en hoeken bij grote vervormingen correct weerspiegelt. Dit verschilt van de infinitesimale vervormingstheorie, die alleen geschikt is voor kleine vervormingen. De Green-Lagrange strain is een ‘increment’ die wordt toegepast in situaties waarin de vervormingen aanzienlijk zijn, zoals bij de analyse van grote buigingen of torsie van structuren.

In combinatie met deze strain zijn er roterende formules zoals de Euler en Green-Lagrange formules die de rotaties van de structuur in overweging nemen. Het roteren van het referentiekader is een andere fundamentele component van niet-lineaire analyses, aangezien de geconfigureerde krachtvectoren moeten worden geactualiseerd na elke rotatie van de elementen in het model. Dit proces, hoewel essentieel voor de juistheid van de resultaten, vereist complexere rekentechnieken zoals iteratieve methoden om de juiste oplossing te verkrijgen, wat vaak wordt bereikt via methoden als de Newton-Raphson methode.

Bovendien maakt de incrementale stapbenadering het mogelijk om de structurele respons in kleine stappen te berekenen, wat cruciaal is voor de convergentie van de oplossing bij het werken met grote vervormingen. De concepten van incompatibele elementen en schaalvergroting worden hier vaak toegepast om de nauwkeurigheid van de numerieke simulatie te verbeteren, vooral wanneer de geometrie van de structuur niet volledig lineair is.

Bij de uitvoering van een niet-lineaire analyse moeten ingenieurs vaak rekening houden met geometrische grenzen, zoals rigiditeit en de belastingstoestand van de structuur. Een rigide grens kan bijvoorbeeld het gedrag van een structuur aanzienlijk beïnvloeden door de mogelijkheid van verschuivingen of rotaties in de knooppunten te beperken. Dit concept wordt gekoppeld aan de sterkte van het materiaal en de belastingsverhoudingen, waarbij een verandering in de toegepaste belasting kan leiden tot aanzienlijke afwijkingen in de respons van het systeem.

Naast deze theoretische benaderingen, vereist de geometrische niet-lineaire analyse ook de juiste numerieke technieken voor stabiele oplossingen. Hierbij wordt vaak gebruik gemaakt van numerieke stabiliteit analyses en de verwerkingsmethoden die de nauwkeurigheid van de oplossing verbeteren, zoals Gaussian eliminatie voor matrices en Kronecker delta voor de coördinatentransformaties in complexere 3D-structuren.

Wat belangrijk is om te begrijpen bij geometrische niet-lineaire analyses is dat zelfs kleine veranderingen in de geometrie of belastingcondities vaak leiden tot significante variaties in de respons van het systeem. Het gebruik van kwantitatieve methoden zoals load control of incremental displacement control is vaak noodzakelijk om de juiste pad naar de oplossing te volgen zonder dat de numerieke simulatie uit de hand loopt. Het is essentieel dat de ingenieur het juiste controlemechanisme kiest, afhankelijk van de aard van de analyse en de specifieke structuur die wordt bestudeerd.