Het principe van virtuele verplaatsingen is een krachtig hulpmiddel voor het analyseren van de statische en dynamische eigenschappen van vaste stoffen in evenwicht. Dit principe maakt het mogelijk om de interne spanningen van een object te berekenen, waarbij we de virtuele verplaatsingen (d.w.z. infinitesimale verplaatsingen die van de evenwichtsconfiguratie afwijken) gebruiken om de externe krachten en interne spanningen met elkaar in verband te brengen. Het idee is dat de interne spanningen, die voldoen aan de evenwichtsvergelijkingen, kunnen worden gekoppeld aan de deformatie van het object via virtuele werkuitdrukkingen.

Wanneer we een solide object in een evenwichtstoestand beschouwen bij een specifieke configuratie, genaamd C2, moeten de interne (Cauchy) spanningen op elk punt van het object voldoen aan de evenwichtsvergelijkingen, zowel langs de drie assen als in de Cartesiaanse coördinaten. Dit wordt uiteengezet door de vergelijkingen die de partiële afgeleiden van de spanningen in termen van de coördinaten van het object beschrijven. De formele uitdrukking van de evenwichtsvergelijking is als volgt:

∂τji∂xj+fi=0\frac{\partial \tau_{ji}}{\partial x_j} + f_i = 0

waarbij fif_i de componenten van de lichaamstroken per eenheid volume zijn. Deze evenwichtsvergelijkingen moeten voor elk punt in het object worden voldaan om de stabiliteit van de configuratie te waarborgen.

Bij het werken met randen van het object, kunnen de grensvoorwaarden van het systeem worden verdeeld in twee delen: het deel waar externe oppervlaktekrachten zijn voorgeschreven en het deel waar de verplaatsingen zijn vastgelegd. De eerste worden natuurlijke of mechanische randvoorwaarden genoemd, terwijl de tweede geometrische of rigide randvoorwaarden worden genoemd. Dit verschil is van essentieel belang, aangezien het invloed heeft op de manier waarop we de verplaatsingen en krachten kunnen modelleren in de structuur.

In de virtuele verplaatsingsmethode is het essentieel om het virtuele werk, uitgevoerd door de externe krachten, te evalueren. Dit kan worden uitgedrukt door de integralen van de krachten en verplaatsingen over het oppervlak en het volume van de structuur. De uitdrukking voor het virtuele werk is:

R=∫Sτijnjδui dS+∫Vfiδui dVR = \int_{S} \tau_{ij} n_j \delta u_i \, dS + \int_{V} f_i \delta u_i \, dV

waarbij δui\delta u_i de infinitesimale virtuele verplaatsingen zijn, en de integralen over het oppervlak en het volume respectievelijk de bijdragen van de krachten en verplaatsingen vertegenwoordigen.

Het principe van virtuele verplaatsingen is niet beperkt tot lineaire systemen. In tegenstelling tot andere energieprincipes, zoals het principe van minimaal potentiële energie, maakt dit principe geen veronderstellingen over de materialeigenschappen of de aard van de belasting, en is het dus breder toepasbaar. Dit maakt het bijzonder nuttig voor het modelleren van niet-lineaire structuren, zoals die met geometrische niet-lineariteiten.

Een ander voordeel van dit principe is dat het in staat is om de niet-lineaire effecten van de geometrie van de structuur effectief in rekening te brengen. Geometrische niet-lineariteiten ontstaan wanneer de verplaatsingen groot genoeg zijn om de geometrie van de structuur aanzienlijk te veranderen, wat typisch voorkomt in veel engineeringtoepassingen zoals het bouwen van bruggen of het ontwerpen van grote gebouwen. Het principe van virtuele verplaatsingen maakt het mogelijk om deze effecten zonder veel extra complexiteit te modelleren.

Een belangrijke stap in de toepassing van dit principe in niet-lineaire problemen is het omgaan met de keuze van de referentieconfiguratie. In tegenstelling tot lineaire analyses, waar de initiële configuratie wordt gebruikt als referentie, kunnen we bij niet-lineaire analyses werken met een referentieconfiguratie die gedurende het iteratieve proces van oplossing verandert. Dit maakt het nodig om de vergelijkingen voor virtueel werk te transformeren zodat ze afhankelijk zijn van de actuele configuratie van het object op elk moment van de oplossing.

Bij de behandeling van niet-lineaire structuren wordt vaak gebruik gemaakt van de zogenaamde "Total Lagrangian" en "Updated Lagrangian" formuleringen. De Total Lagrangian beschouwt de oorspronkelijke configuratie van de structuur als referentie, terwijl de Updated Lagrangian de meest recente configuratie gebruikt als referentie. Beide benaderingen hebben hun toepassingen afhankelijk van de aard van de structuur en de specifieke vraagstelling van de analyse.

Het begrip van de fundamentele mechanismen van virtuele verplaatsingen biedt dus belangrijke voordelen bij het modelleren van structuren in verschillende stadia van hun belasting en deformatie. Het maakt niet alleen de analyse van lineaire systemen mogelijk, maar biedt ook de flexibiliteit om complexere niet-lineaire effecten te integreren, die essentieel zijn voor het ontwerpen van moderne, veerkrachtige structuren.

Het is ook cruciaal om te begrijpen dat de berekening van de interne spanningen en de validiteit van de grensvoorwaarden voor elke mogelijke verplaatsing fundamenteel zijn voor het waarborgen van de juiste werking van de virtuele verplaatsingen. De statistisch toegestane spanningsvelden moeten altijd voldoen aan de evenwichtsvergelijkingen, terwijl de kinematisch toegestane verplaatsingsvelden moeten voldoen aan de randvoorwaarden met voorgeschreven verplaatsingen. Het idee van 'admissibiliteit' van zowel de spannings- als de verplaatsingsvelden is belangrijk voor de integriteit van de uiteindelijke oplossing.

Hoe een rigide lichaamstoestand in een niet-lineaire analyse behouden blijft bij rotatie van een balk en een frame-element

In de studie van structurele mechanismen, waarbij de focus ligt op de analyse van niet-lineaire structuren, is het essentieel de basiswetten van rigide beweging te begrijpen. Dit geldt met name voor situaties waarbij een object, zoals een balk, onderhevig is aan aanvankelijke krachten en daarna een rigide rotatie ondergaat. Deze rigide beweging, hoewel een van de meest fundamentele vormen van vervorming, vereist specifieke behandelingen in numerieke simulaties, zoals de eindige-elementenanalyse.

Stel je een balk voor die zich op de aardoppervlakte bevindt en onderworpen is aan een zwaartekrachtskracht PP aan de bovenkant. In een evenwichtstoestand zal een reactie van gelijke grootte PP aan de onderkant van de balk optreden. Deze situatie kan worden aangeduid als de C1-configuratie van de balk. Wanneer de aarde als rigide lichaam roteert door een hoek θrθ_r, zal de balk zich verplaatsen naar een nieuwe configuratie, C2, waarbij de lijn van actie van de kracht PP meebeweegt met de rotatie, maar de grootte van de kracht blijft ongewijzigd. Het resultaat van deze rotatie is het behoud van het evenwicht van de balk in de C2-configuratie.

Deze vorm van rigide rotatie, waarbij de richting van de krachten verandert, maar hun grootte constant blijft, vormt de minimale vereiste voor een solide object onder invloed van een set conservatieve belastingen. Dit betekent echter niet dat het object na deze rigide rotatie niet verder kan vervormen. Het object kan nog steeds vervormingen ondergaan door extra belastingen. Toch is het van belang dat elke theorie of eindige-elementenanalyse die het gedrag van een solide object beschrijft, in staat moet zijn om de uiterste gevallen van rigide rotatie adequaat te simuleren. De rigide rotatie is immers een van de belangrijkste tests om te controleren of de numerieke modellen correct functioneren.

Bij het gebruik van eindige-elementen kan de rigide rotatie perfect worden gesimuleerd, mits de initiële spanningen en krachten in evenwicht zijn op de juiste manier, zoals te zien is in de C1-configuratie. Dit houdt in dat de krachten die oorspronkelijk in evenwicht zijn, met de rigide rotatie moeten meebewegen, terwijl hun grootte behouden blijft. Het idee is dat de structuur, zoals een balk, zich naar de nieuwe positie verplaatst zonder de balans te verstoren.

Het zogenaamde "rigide lichaamsbewegingstest", zoals voorgesteld door Yang en Chiou (1987), wordt een fundamenteel hulpmiddel voor het testen van de kwaliteit van niet-lineaire eindige-elementen. Dit testprotocol is meer algemeen dan de patch-test, die zich richt op niet-gestreste eindige elementen onder rigide verplaatsingen. De rigide lichaamsbewegingstest houdt namelijk rekening met de effect van de initiële belastingen of spanningen die op het eindige element aanwezig zijn. Deze test moet op een incrementele wijze worden uitgevoerd, niet lineair, om de werkelijke prestatie van het systeem onder rigide verplaatsingen na te gaan.

Een specifiek voorbeeld hiervan kan worden gevonden in de analyse van een balk die is onderworpen aan een rigide lichaamsbeweging. Bij deze test wordt aangenomen dat de verplaatsingen van de balk in de richting van de x- en y-assen plaatsvinden, terwijl een rotatie rondom de z-as optreedt. Deze rigide verplaatsing wordt uitgedrukt door de translaties uru_r en vrv_r, evenals de rotatie θrθ_r. Het idee achter deze verplaatsing is eenvoudig: de krachten die aan het begin van de rotatie op de balk werken, moeten op dezelfde manier behouden blijven qua grootte, maar zij zullen volgens de rigide rotatiebeweging verschuiven.

De overeenkomstige krachtbalansen die ontstaan na de rigide rotatie worden vervolgens geanalyseerd door te kijken naar de krachten die zich aan de uiteinden van de balk bevinden. Het is duidelijk dat de krachten die aan het begin (in C1) van de analyse actief waren, na de rigide rotatie gelijk blijven in hun grootte, maar veranderen in richting, zodat het systeem in zijn nieuwe evenwichtstoestand kan blijven.

De kracht van de rigide lichaamsbewegingstest ligt in de mogelijkheid om een rigide rotatie voor een balk of een frame-element te simuleren, terwijl tegelijkertijd de initiële belastingen of spanningen behouden blijven. Dit is cruciaal voor het waarborgen van de nauwkeurigheid van niet-lineaire structurele analyses, vooral wanneer we werken met complexe geometrieën en belastingstoestanden. De mogelijkheid om dergelijke testen succesvol uit te voeren, garandeert dat de onderliggende niet-lineaire theorie correct is en dat de eindige-elementenmethoden die gebruikt worden, geschikt zijn voor praktische toepassingen.

Naast het uitvoeren van deze rigide lichaamsbewegingstest voor balken, moet ook gekeken worden naar frame-elementen, die doorgaans complexere gedragingen vertonen. Het proces van het testen van de rigide lichaamsbeweging op een frame-element volgt vergelijkbare principes, maar de invloeden van de extra krachten, zoals die op de verschillende knooppunten van het frame, moeten met zorg worden gemodelleerd. Bij de analyse van frame-elementen moet men altijd in gedachten houden dat de initiële spanningen niet alleen in de geometrische stijve matrix van het element moeten worden opgenomen, maar ook in de initiële krachtvector.

Het is essentieel dat de afgeleide eindige-elementenvergelijkingen de rigide lichaamsbeweging kunnen doorstaan als een minimaal vereiste voor het verkrijgen van betrouwbare oplossingen bij niet-lineaire problemen. Het falen van deze test kan wijzen op fouten in de elementformulering, die moeten worden gecorrigeerd om betrouwbare resultaten te waarborgen.

Hoe kan de niet-lineaire formulering van een vlakke truss-element de mechanische eigenschappen van vaste lichamen beschrijven?

In de formulering van niet-lineaire problemen voor truss-elementen wordt de beweging van een lichaam meestal beschreven door drie configuraties in een incrementele niet-lineaire analyse. Deze configuraties omvatten de beginconfiguratie C0C_0, de laatst berekende configuratie C1C_1, en de huidige gedeformeerde configuratie C2C_2. Bij gebruik van de geüpdate Lagrangiaanse formulering wordt de laatst bekende configuratie C1C_1 als referentie genomen voor het vaststellen van de evenwichtsvergelijking van het lichaam in de huidige configuratie C2C_2.

De belangrijkste componenten in deze formulering zijn de verschillende strijk- en spanningsmaatregelen die in de voorgaande hoofdstukken zijn gepresenteerd. Zo kunnen we de evenwichtsvergelijking voor een solide lichaam in een volledig niet-lineaire incrementele vorm schrijven. Hierbij worden de verhoudingen van de Cauchy-spanningen en de geüpdate Green-strain verhogingen gecombineerd met de niet-lineaire componenten van de strain-incrementen om een wiskundige uitdrukking voor de verplaatsingen en krachten te creëren.

De evenwichtsvergelijking in deze vorm is van groot belang voor het formuleren van eindige-elementen voor solide mechanica-problemen. Het biedt ons een solide basis voor de studie van de fysieke gedragingen van truss-elementen onder verschillende krachtsomstandigheden.

Een bijzonder interessant aspect van de formulering betreft de overweging van de rigide lichaamseigenschappen van truss-elementen in de krachtterugwinningsprocedures. In deze gevallen worden de invloeden van zowel lineaire als niet-lineaire vervormingen op de interne krachten en spanningen van de truss-elementen onderzocht. Het toepassen van deze concepten op drukkrachten en rekken in de truss-structuren stelt ons in staat om zowel de stijvheid van het element als de effectiviteit van het deformatiesysteem in beeld te brengen.

Bijvoorbeeld, de truss-elementen moeten vooral de axiale component van de stress- en strain-tensoren overwegen. In het geval van een niet-lineaire analyse wordt de incrementale constitutieve wet van het element vereenvoudigd tot een lineaire relatie tussen de spanningen en de strain-componenten, wat leidt tot een directe link tussen de krachten die in de truss-elementen werken en de bijbehorende verplaatsingen.

Verdere Overwegingen en Belangrijke Elementen

Wanneer men de toepassing van deze principes in de praktijk overweegt, is het belangrijk om de invloed van de niet-lineaire strain-componenten goed te begrijpen. De beweging van het truss-element kan niet alleen door rekken worden beïnvloed, maar ook door de rotaties van het rigide lichaam die vaak worden onderschat in lineaire modellen. Deze rotaties dragen bij aan de totale vervorming van het systeem en moeten zorgvuldig worden meegenomen in de simulatie van de krachten en verplaatsingen. Het effect van de rotaties is dus essentieel voor een accurate voorspelling van de prestaties van de truss-elementen.

Daarnaast moeten we ons realiseren dat de integratie van de krachten in de vorm van virtueel werk over de structuur verder gaat dan alleen de lineaire benaderingen. Het vinden van een evenwichtige oplossing vereist dat we rekening houden met de veranderingen in de interne spanningen als gevolg van niet-lineaire vervormingen, wat direct invloed heeft op de uiteindelijke krachtrespons van het systeem. Door deze complexiteiten in acht te nemen, kan de truss-elementanalyse meer realistische en betrouwbare resultaten opleveren.

Hoewel de beschouwde modellen bijzonder krachtig zijn in het berekenen van spanningen en vervormingen binnen een truss-structuur, is het noodzakelijk om in de praktijk ook andere vormen van belasting te overwegen, zoals gedistribueerde belasting, die door statisch equivalente knooppuntbelastingen kan worden gerepliceerd. Dit biedt een bredere toepasbaarheid van het model in echte constructieomstandigheden, waar dergelijke belastingen vaak voorkomen.

Hoe Donald Trump Politiek Merkenbouwde: Een Nieuwe Tijd van Politieke Branding
Hoe Stochastische Geometrie de Ruimte-Lucht-Grondnetwerken Transformeert
Hoe Maak Je Eenvoudige Maaltijden met Restjes Kalkoen en Bonen?
Hoe Ronald Reagan de John Birch Society benaderde zonder zichzelf te verliezen
Hoe plan je een bezoek aan Grand Canyon, Route 66 en de iconische musea van het Amerikaanse Westen?