Bij de analyse van een balkelement wordt vaak rekening gehouden met de geometrische stijfheidsmatrix [kg], die een belangrijke rol speelt in de beschrijving van de stabiliteit en vervorming van een structuur. De geometrische stijfheidsmatrix is niet alleen afhankelijk van de elasticiteit van het materiaal, maar ook van de initiële krachten die op het element werken. In dit hoofdstuk wordt onderzocht hoe de geometrische stijfheidsmatrix de interactie van krachten en vervormingen beïnvloedt, vooral bij rigide rotaties van een balkelement.

Wanneer een balkelement zich in evenwicht bevindt, kunnen de krachten {1f} die op het element werken, uitgedrukt worden in termen van de initiële krachten aan de knooppunten C1 en C2. Voor de elementbeweging bij C1 kan de volgende uitdrukking worden gegeven:

1Fxa=−1Fxb1Fxa = −1Fxb
1Fyb=−1Fya=−Mza+1Mzb1Fyb = −1Fya = − Mza + 1Mzb

Hieruit blijkt dat de initiële krachten {1f} afgeleid worden van de momenten Mza en Mzb, die afhankelijk zijn van de geometrie van het element en de oorspronkelijke krachtverdeling. Dit vormt de basis voor verdere berekeningen in de analyse van de vervormingen en spanningen in het element.

Wanneer we de vervormingen van het element beschouwen, moet de verplaatsingsvector {u} alle mogelijke verplaatsingen omvatten die optreden tijdens de incrementele stap van C1 naar C2, inclusief de rigide rotaties. Als we veronderstellen dat de balk een rigide rotatie ondergaat met een kleine hoek θr, kunnen we de verplaatsing {u}r als volgt schrijven:

uTr=⟨0 0 θr 0 Lθr θr⟩{u}Tr = \langle 0 \ 0 \ \theta_r \ 0 \ L\theta_r \ \theta_r \rangle

Deze verplaatsing is typisch voor een rigide rotatie waarbij de vervormingen minimaal zijn, maar de richting van de krachten verandert. Bij deze rigide rotatie genereert de geometrische stijfheidsmatrix [kg] krachten die niet nul zijn en niet in evenwicht. Dit komt doordat de geometrische stijfheidsmatrix de effecten van de krachten die door de rigide rotatie worden veroorzaakt, representeert.

De krachten die ontstaan door de geometrische stijfheidsmatrix kunnen als volgt worden uitgedrukt:

[kg]ur=−Mza+1Mzb[kg]{u}r = − Mza + 1Mzb

Deze krachten zijn zichtbaar in de figuren die de krachten bij C1 en C2 laten zien na de rotatie. Het is van belang te begrijpen dat de geometrische stijfheidsmatrix niet alleen elastische effecten weerspiegelt, maar ook de gevolgen van rigide rotatie, wat essentieel is voor een juiste voorspelling van de krachten in niet-lineaire analyse.

Het is cruciaal om te weten dat de krachten die optreden door rigide rotatie de initiële krachten in de richting van de rotatie niet veranderen, maar ze beïnvloeden wel de algemene balans van het systeem. Dit kan worden gezien uit de relatie tussen de krachten {2f} op het element na de rigide rotatie en de initiële krachten {1f}, die met behulp van een rotatiematrix kunnen worden omgezet:

21f=[T]11f{21f} = [T]{11f}

De matrix [T] is de rotatiematrix die de transformatie van de C2-assen naar de C1-assen weergeeft. Voor kleine rigide rotaties is de rotatiematrix [R] eenvoudig en kan als volgt worden uitgedrukt:

R=[cos⁡θr−sin⁡θr0sin⁡θrcos⁡θr0001]R = \begin{bmatrix}
\cos \theta_r & -\sin \theta_r & 0 \\ \sin \theta_r & \cos \theta_r & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Dit biedt een wiskundige basis om de krachten bij C2 te herleiden naar de oorspronkelijke positie bij C1. Het is van essentieel belang te begrijpen dat de krachtvectoren {2f} en {1f}, hoewel ze bij C2 zijn, dezelfde grootte hebben, maar in verschillende richtingen zijn georiënteerd door de rigide rotatie.

Wat verder opvalt, is dat de test voor rigide rotatie niet geldt voor rigide translatie, wat in de meeste gevallen triviaal is. In werkelijkheid is de rigide rotatietest echter van cruciaal belang voor het testen van de stabiliteit en de juiste toepassing van de geometrische stijfheidsmatrix bij balkelementen in niet-lineaire analyse.

Er zijn verschillende belangrijke aspecten die niet mogen worden veronachtzaamd bij het uitvoeren van een rigide rotatietest voor eindige elementen:

  1. De grootte van rigide rotaties: Er is praktisch geen beperking op de grootte van rigide rotaties voor de geldigheid van de rigide lichaamsregel. Zelfs als we voor kleinere rotaties werken, kunnen grotere rotaties in de incrementele analyse worden geanalyseerd, zolang de rigide rotaties als klein worden beschouwd voor de eenvoud van de wiskundige bewerkingen.

  2. Incrementele vergelijkingen en krachten: In veel niet-lineaire analyses wordt de incrementele krachtenvector {Δf} gebruikt. Dit is belangrijk omdat het geen rekening houdt met de initiële krachten die invloed hebben op de geometrische stijfheidsmatrix. In plaats van de vereenvoudigde vorm van de krachtenvectoren in de huidige vergelijkingen, zou de volledige invoer van de initiële krachten noodzakelijk moeten zijn voor een gedetailleerde analyse.

Deze overwegingen benadrukken de complexiteit van het werken met niet-lineaire systemen en de noodzaak om een diepgaand begrip te hebben van hoe rigide rotaties en de geometrische stijfheidsmatrix invloed hebben op de krachten in een structuur. Het is essentieel dat ingenieurs en onderzoekers de exacte rol van deze matrices begrijpen om de stabiliteit en integriteit van de structuren die ze analyseren correct te kunnen voorspellen.

Hoe worden niet-lineaire vervormingen van structuren onder verschillende belastingstoestanden geanalyseerd?

Bij de analyse van niet-lineaire vervormingsproblemen, zoals in het huidige geval, is het essentieel om een groot aantal elementen te gebruiken om de fouten die kunnen voortkomen uit onnauwkeurige geometrische modellering te minimaliseren. Zelfs met de 26 elementen die in dit geval zijn gebruikt, kunnen we echter nog steeds oplossingen produceren die zeer dicht bij de resultaten liggen die Harrison (1978) heeft verkregen, die een fijnere mesh van 50 elementen gebruikte. Dit toont opnieuw de zelf-aanpassende capaciteit van de GDC-methode (Geometrically Deformable Components) bij het oplossen van problemen met ingewikkelde post-buckling reacties.

Een voorbeeld hiervan is een frame met een schuine balk onder uniforme buiging, waarbij de balk buiten het vlak mag vervormen. Dit probleem is eerder bestudeerd door Argyris et al. (1979), Simo en Vu-Quoc (1986), en Yang en Kuo (1992). In dit geval worden de driedimensionale kenmerken van het frame volledig onthuld in de post-buckling fase, aangezien het niet beperkt is tot vervormingen in het vlak. De schuine balk heeft een dwarsdoorsnede met een oppervlakte van 18 mm², een torsieweerstand van 2,16 mm⁴, en momenten van inertie van respectievelijk 0,54 mm⁴ (kleine as) en 1.350 mm⁴ (grote as), met een lengte van 240 mm en een elasticiteitsmodulus van 71.240 N/mm².

Vanwege de symmetrie van het frame wordt alleen de linkerhelft geanalyseerd, gemodelleerd door 10 elementen. De knoop A wordt ondersteund tegen rotaties rond de x- en y-assen, en tegen vertalingen langs de y- en z-assen. De vertaling langs de x-as bij knoop B is ook vastgelegd. Twee verschillende belastinggevallen worden geanalyseerd: (1) Een toegepaste moment MzA = -250 N-mm met een verstoringsbelasting FzB = 0,0025 N; en (2) Een toegepaste moment MzA = 150 N-mm met een verstoringsbelasting FzB = 0,0015 N. Voor het eerste geval zijn de knoopverplaatsingen uxA en uzB uitgezet tegen het toegepaste moment MzA, en de resultaten vertonen opmerkelijke overeenkomsten met de theoretische voorspellingen.

Bij het onderzoeken van de post-buckling oplossing wordt een kritische buigingsmoment van -600,6 N-mm voorspeld, wat goed overeenkomt met de theoretische waarde van 622,2 N-mm, afgeleid door Yang en Kuo (1991). Dit blijkt uit de grafieken voor beide belastinggevallen, die aantonen hoe de balk zowel positieve als negatieve buiging kan ondergaan, met een gedetailleerde waarneming van de structurele respons die de mate van niet-lineariteit weerspiegelt.

In een ander voorbeeld wordt de circulaire boog onder uniforme buiging onderzocht. Het lineaire buckling-gedrag van dit probleem werd eerder bestudeerd door Yang en Kuo (1987). De boog is aan het steunpunt A vastgehouden tegen rotaties rond de X- en Y-assen, en tegen vertalingen langs de Y- en Z-assen. Bij het triggeren van de buiten-plano buckling modus wordt een torsie van MZb toegepast aan het uiteinde B, wat dient als een imperfection in de belasting. De eigenschappen van de boog zijn onder andere een hoogte van 30 mm en een breedte van 0,6 mm. Door de boog te benaderen als een set van twaalf rechte balkelementen, werden de belastings-verschui-vingscurves uitgezet voor drie typische graden van vrijheid, waarbij de resultaten opnieuw overeenkomen met de lineaire buckling waarden en de theoretische boog-oplossing.

De analyses van deze voorbeelden tonen aan hoe de nieuwe benadering de niet-lineaire vervorming van structuren kan voorspellen, zelfs in post-buckling stadia, door rekening te houden met de effecten van rotaties in drie dimensies en door het correct toepassen van de eigenschappen van de elementen en de geometrische niet-lineariteiten. Het gebruik van een beperkt aantal elementen, zoals de 12 balken voor de circulaire boog, heeft aangetoond dat de GDC-methode uitstekende resultaten oplevert in situaties met complexe vervormingen, die anders moeilijk te analyseren zouden zijn met traditionele benaderingen.

Een belangrijk aspect dat de lezer moet begrijpen, is dat de nauwkeurigheid van de berekeningen sterk afhangt van de juiste modellering van de geometrie en de krachten, evenals de keuze van de oplossingsmethode. Wanneer er sprake is van complexe vervormingen of post-buckling, kunnen de resultaten variëren afhankelijk van hoe goed de methode in staat is om de interactie tussen krachten en vervormingen in een drie-dimensionale ruimte te behandelen. Het is dan ook van belang dat de ingenieur of onderzoeker voldoende aandacht besteedt aan de fysische eigenschappen van de structuur en de krachten die daarop inwerken, evenals de toepasselijke boundary conditions.

De toegepaste methoden, zoals de GDC-methode, bieden veelbelovende mogelijkheden voor het aanpakken van deze uitdagingen, maar ze vereisen wel een gedetailleerde en zorgvuldige implementatie om betrouwbare en nauwkeurige voorspellingen te doen voor complexe structurele gedragingen.

Hoe kunnen we de natuurlijke vervormingen en krachten in ruimte-frame-elementen berekenen bij eindige rotaties?

Bij het berekenen van de vervormingen en krachten van een ruimte-frame-element moeten de natuurlijke vervormingen en de rotaties die plaatsvinden bij de overgang van de ene configuratie naar de andere goed begrepen worden. Dit is cruciaal om een nauwkeurige beschrijving van de toestand van het systeem te verkrijgen, vooral als de rotaties eindige grootten aannemen.

De uiteindelijke vervormingen van een element in een ruimte-frame kunnen worden opgevat als een combinatie van rigide verplaatsingen en de natuurlijke vervormingen die ontstaan door de interne krachten en de externe belasting. Het belangrijkste concept is het berekenen van de natuurlijke deformaties van het element, dat wil zeggen de vervormingen die zich voordoen als gevolg van de interne veranderingen in de vorm van het element tijdens een incrementele stap van C1 naar C2.

De rotaties en de verschuivingen van de sectie-assen in de transformatie tussen de configuraties C1 en C2 zijn essentieel. Het gebruik van de geometrie-updateformule maakt het mogelijk om de bewegingen en rotaties van de element-associaties te bepalen. In de oorspronkelijke configuratie C0, de "referentieconfiguratie", worden de verplaatsingen van het element beschreven. Het gebruik van de transformatie van de sectie-assen naar de elementen-assen maakt het mogelijk om de natuurlijke vervormingen en rotaties aan het einde van de incrementele stap C2 te berekenen.

De belangrijkste uitdaging bij het omgaan met eindige rotaties is het omgaan met de complexe geometrische veranderingen die optreden wanneer het element zich van C1 naar C2 beweegt. Wanneer rotaties eindige grootten hebben, moeten de deformaties van de element-assen correct worden weergegeven, wat een zorgvuldige toepassing van formules zoals de Rodriguez' rotatieformule vereist. Deze formules beschrijven de relatie tussen de begin- en eindposities van de vectoren, rekening houdend met de rotatiehoek en de rotatie-as.

De deformatieparameters kunnen worden uitgedrukt in termen van de rotaties van de assen, en de veranderingen van de hoeken kunnen vervolgens worden berekend met behulp van formules voor de coëfficiënten van de rotatie. De rotatie-as kan verder worden opgelost met behulp van de normalisatievoorwaarden die aangeven dat de som van de kwadraten van de rotatiecomponenten gelijk moet zijn aan één. Met deze gegevens kan de rotatiehoek worden berekend, wat leidt tot de uiteindelijke natuurlijke vervormingen van het element.

De krachtcalculaties voor het ruimte-frame-element zijn net zo belangrijk. Nadat de natuurlijke vervormingen zijn berekend, kan men de krachten die op het element in configuratie C2 werken, bepalen. Het gebruik van de geüpdatete Lagrange-formulering, zoals beschreven in eerdere hoofdstukken van de bron, helpt bij het opstellen van de evenwichtsvergelijkingen voor het frame-element. Het stijfheidsmatrix van het element bevat drie componenten: elastisch, geometrisch en geïnduceerd moment. De laatstgenoemde is noodzakelijk om de rotatie-eigenschappen van de knikmomenten en momenten in rekening te brengen, wat essentieel is voor de correctheid van de berekeningen bij eindige rotaties.

De krachten op het element kunnen worden berekend door de bijdrage van de natuurlijke vervormingen te combineren met die van de rigide rotaties. De rigide rotaties hebben namelijk invloed op de initiële krachten die zich voordoen als gevolg van de verplaatsing van het element. In de praktijk worden deze rigide rotaties behandeld door de initiële krachten als krachten die op de nieuwe configuratie werken te beschouwen, met een rotatie van de hoeken die gelijk is aan de rigide rotatie van het element. Dit zorgt ervoor dat de krachten accuraat blijven, zelfs wanneer het element van configuratie verandert.

Het is ook belangrijk om te benadrukken dat de beschreven procedure voor de ruimte-frame-elementen gemakkelijk kan worden aangepast voor het geval van vlakke frames. Deze vereenvoudiging is handig om de theorie te controleren en toe te passen op praktische problemen, vooral wanneer het element zich alleen in twee dimensies beweegt, zoals het geval is bij een vlak frame.

Het uiteindelijke doel van deze berekeningen is om nauwkeurige voorspellingen te doen over de reactie van het element op belastingen en verplaatsingen, rekening houdend met zowel de rigide rotaties als de natuurlijke vervormingen. Dit stelt ingenieurs in staat om de structurele integriteit van een systeem te beoordelen en geschikte maatregelen te nemen om de prestaties van het systeem te optimaliseren.

Hoe de geometriële stijfheidsmatrix wordt geüpdatet bij ruimte-frame-elementen met eindige rotaties

In de analyse van ruimte-frame-elementen die eindige rotaties omvatten, moeten we de geometrie van de elementen nauwkeurig bijwerken om correcte resultaten te verkrijgen. Dit is van cruciaal belang voor de nauwkeurigheid van de berekeningen, vooral bij grote verplaatsingen en rotaties die niet meer als lineair kunnen worden beschouwd.

De initiële lengte 1L1L van het element aan de knoop C1 wordt uitgedrukt als een functie van de coördinaten van de uiteinden van het element en de hoeken van rotatie, volgens de formule:

1L=(1X2b−2X1a)+(1Yb−Ya)\sqrt{1L} = \left( 1X2b - 2X1a \right) + \left( 1Yb - Ya \right)