Hoe Beïnvloeden Leerkrachten Wiskundig Modelleren in de Klas?

De situatie ontwikkelt zich als volgt, zoals geïllustreerd door de volgende observatie: Er is een klein bijgebouw langs één van de lange zijden van het schoolgebouw. Een leerling rolt een meetwiel langs het gebouw en vervolgt zijn weg rond het bijgebouw zonder het wiel van de grond te tillen. Een andere leerling vraagt zich af: "Moet de bocht worden meegerekend, of niet?" Er volgt een discussie over wat correct is. Sommige leerlingen willen de bocht wel meenemen, anderen niet. Na verschillende metingen en discussies over hoe gemeten moet worden, komt men tot de tekening in figuur 27.1. Deze situatie laat zien hoe een leerkracht (PT) in staat is om verschillende discussies tussen de leerlingen te begeleiden en hen te helpen begrijpen hoe ze wiskundige concepten kunnen toepassen in een real-world context.

In een ander voorbeeld wordt een groep leerlingen uitgedaagd om de hoogte van het schoolgebouw te kwantificeren. De PT's adviseren hen om een getal te kiezen, met de opmerking: "In werkelijkheid is er geen manier om deze uitdaging precies uit te voeren." De leerlingen overwegen twee mogelijkheden: 10 en 20 meter. Ze zijn benieuwd welk antwoord juist is en proberen van de PT's te horen welk getal leerlingen in een andere klas voor een soortgelijke taak hadden gekozen. Dit bleek 20 meter te zijn. De leerlingen willen echter een antwoord vinden dat dichter bij de werkelijke hoogte ligt. Plotseling beginnen alle vier de groepen in de klas zich te verdiepen in de vraag hoe ze een getal kunnen vinden dat dicht bij de werkelijke hoogte ligt. De PT's laten hen naar buiten gaan om te meten.

De leerlingen besluiten de hoogte van één trede te meten en daarna het aantal treden tussen de verdiepingen te tellen. Ze berekenen de hoogte van de school door het aantal treden te vermenigvuldigen met de hoogte van de trede en komen tot een totaal van 9,18 meter. Ze schatten de hoogte van het gebouw dus op ongeveer 10 meter. Dit toont aan hoe belangrijk het is dat PT's leerlingen aanmoedigen om hun eigen denkprocessen en oplossingsmethoden te ontwikkelen. Het kiezen van een getal en het belang van realistische schattingen is hier essentieel.

In de analyse van deze lessen blijkt dat PT's goed in staat zijn om het juiste moment te kiezen voor interventie, waarbij ze het zelfoplossend vermogen van de leerlingen bevorderen zonder te veel in te grijpen. Dit is een belangrijke vaardigheid voor elke wiskundeleraar: het vermogen om de leerlingen de vrijheid te geven om te ontdekken, terwijl ze tegelijkertijd zorgen voor de juiste ondersteuning om ervoor te zorgen dat de leerlingen de juiste wiskundige concepten begrijpen.

Het is belangrijk te begrijpen dat wiskundig modelleren niet slechts een techniek is, maar een proces dat leerlingen in staat stelt wiskundige concepten in de praktijk te brengen. Dit vereist van de PT niet alleen technische kennis, maar ook pedagogische vaardigheden om de leerlingen te begeleiden bij hun leerproces. Het biedt een kans voor de leerlingen om kritisch te denken en zich bewust te worden van de beperkingen van wiskundige modellen. Hoewel de antwoorden die leerlingen produceren, misschien niet altijd exact zijn, leren ze via het proces waardevolle lessen over het modelleren van complexe systemen en het toepassen van wiskundige principes in de echte wereld.

Het is ook van belang om te benadrukken dat wiskundig modelleren een interdisciplinair proces is. In veel gevallen wordt het ingezet om leerlingen te helpen verbanden te leggen tussen wiskunde en andere vakken, zoals natuurkunde of aardrijkskunde, en om hen voor te bereiden op toekomstige carrièrepaden waarin deze vaardigheden van groot belang kunnen zijn. Het ontwikkelen van kritische denkvaardigheden en het vermogen om met onzekerheid om te gaan, zijn essentieel voor het succes in veel moderne beroepen.

Het gebruik van wiskundige modellen in de klas biedt dus meer dan alleen de mogelijkheid om wiskundige concepten te begrijpen. Het biedt leerlingen ook de kans om te leren hoe ze problemen kunnen aanpakken, beslissingen kunnen nemen op basis van onvolledige informatie en hun bevindingen kunnen communiceren. Deze vaardigheden zijn van cruciaal belang voor hun academische en professionele ontwikkeling, en ze vormen de basis voor een succesvolle deelname aan een steeds complexere wereld.

Hoe Diagnoseer je Wiskundige Fouten bij Modelleren in de Praktijk?

Bij het werken met wiskundige modellen buiten de traditionele klasomgeving komt het vaak voor dat studenten fouten maken, zowel conceptueel als meetkundig. Het is belangrijk dat leerkrachten in staat zijn om deze fouten te herkennen en erop te reageren, vooral wanneer leerlingen omgaan met reële situaties, zoals het meten van objecten in hun omgeving. Het probleem dat hier besproken wordt, draait om de gebruikelijke fouten die studenten maken wanneer ze proberen geometrische metingen uit te voeren, en hoe deze fouten kunnen worden geanalyseerd en gecorrigeerd.

Een andere opvallende fout die werd opgemerkt in de studie betreft de keuze van meetinstrumenten. Wanneer een student bijvoorbeeld de omtrek van een fontein probeert te meten met haar paslengte, wordt ze geconfronteerd met het probleem dat ze haar paslengte niet vooraf correct heeft gemeten. Het resultaat van deze benadering is onnauwkeurig, omdat het niet duidelijk is of haar paslengte precies één meter is. Dergelijke meetfouten zijn vaak het gevolg van het ontbreken van een goed begrip van de beperkingen van de gebruikte meetinstrumenten. In dit geval kan een simpele voorbereiding, zoals het meten van de paslengte van tevoren, een wereld van verschil maken.

Er is een duidelijke variatie in de aanpak van de toekomstige leerkrachten (PST's) om met de foutomstandigheden om te gaan. De ene benadering is meer direct instructief, waarbij de leerkracht de fout uitlegt en een oplossing biedt, zoals het corrigeren van de verkeerde toepassing van de formule of het opnieuw uitleggen van het concept van de omtrek. Een ander alternatief is de constructivistische benadering, waarbij de leerkracht de studenten aanmoedigt om zelf na te denken over de fout en hen leidt naar een eigen oplossing. De keuze tussen deze twee benaderingen hangt vaak af van de voorkeur en ervaring van de docent, maar in deze studie blijkt dat een directere aanpak, waarin de leerkracht actief corrigeert, vaker als de meest geschikte oplossing werd gezien.

Daarnaast is het belangrijk om te begrijpen dat de fouten die studenten maken vaak voortkomen uit een gebrek aan ervaring met het toepassen van wiskundige concepten in praktische situaties. Het is niet genoeg om slechts de formules te kennen; studenten moeten in staat zijn om deze formules effectief toe te passen in de wereld om hen heen. Dit betekent dat leraren hen moeten helpen niet alleen de wiskunde zelf te begrijpen, maar ook de context waarin deze wiskunde moet worden toegepast.

Het ontwikkelen van diagnostische competenties bij leraren is van groot belang om leerlingen effectief te ondersteunen tijdens wiskundige modellering. Leraren moeten in staat zijn om snel te identificeren waar een leerling zich bevindt in hun denkproces en hen te begeleiden naar een oplossing, of dat nu door directe uitleg is of door hen zelf de fout te laten ontdekken. Het versterken van deze competenties kan de leerervaring van studenten aanzienlijk verbeteren en hen helpen om hun wiskundige vaardigheden beter toe te passen in de praktijk.

Hoe Begrijpen Noorse Leerkrachten Wiskundemodellering in het Onderwijs?

In Noorwegen is wiskundemodellering een belangrijk onderdeel van het curriculum op het secundair onderwijs, waar het al bijna dertig jaar deel uitmaakt van het onderwijsaanbod (Berget & Bolstad, 2019). Het gebruik van modellering in het basisonderwijs werd echter pas in 2013 expliciet genoemd in de leerplannen, als onderdeel van de rekenvaardigheid (UDIR, 2013). Dit weerspiegelt een bredere internationale trend die sinds de vroege jaren 2000 ook in andere landen zichtbaar is geworden (Blum et al., 2007; Frejd, 2012; KMK, 2003; Xu et al., 2022). In de recente versie van de Noorse kerncurriculumstandaarden voor wiskundeonderwijs, bekend als LS20, wordt Modellering en Toepassingen benoemd als een van de zes kerncompetenties die in het onderwijs op alle niveaus geïmplementeerd moeten worden (UDIR, 2019).

Deze open formulering heeft een belangrijke impact op hoe modellering in de praktijk wordt toegepast. Zonder duidelijke richtlijnen voor leerkrachten over wanneer, waar en hoe modellering moet worden geïntegreerd in hun onderwijs, ontstaat er een situatie waarin er geen gemeenschappelijk begrip is over de essentie van modellering. Onderzoek van Mousoulides et al. (2017) over leraren in leercommunities wijst op de obstakels die ontstaan wanneer er een gebrek is aan operationele richtlijnen, wat de ontwikkeling van gedeelde leerdoelen kan belemmeren. Dit roept de vraag op: Hoe kunnen we de gemeenschappelijke opvattingen van Noorse leerkrachten over modellering beter begrijpen en of die opvattingen het gebruik van modellering in hun klaslokalen daadwerkelijk beïnvloeden?

Bij het analyseren van de antwoorden werd een kader ontwikkeld om de definities van modellering te classificeren. Dit kader richtte zich op drie kernconcepten: (1) een probleem of taak, (2) een overgang van wiskunde naar de werkelijkheid, en (3) een cyclisch proces. Deze drie elementen vormen de basis van een goed begrip van modellering, waarbij de focus ligt op het toepassen van wiskundige concepten in contexten die herkenbaar zijn voor de leerlingen, en het voortdurend evalueren van de bruikbaarheid en beperkingen van de opgestelde modellen.

Wat verder van belang is, is het inzicht in de mate van ervaring en opleiding van de leerkrachten. Onder de respondenten bevond zich een gevarieerde groep: 27% had tussen de 1 en 7 jaar onderwijservaring, terwijl 39% een algemene lerarenopleiding had gevolgd. Dit geeft aan dat de kennis over modellering sterk varieert, afhankelijk van de achtergrond en ervaring van de leerkrachten. Het ontbreken van een gemeenschappelijke visie over modellering kan een belemmering vormen voor de effectieve implementatie van deze onderwijsmethodes.

De uitdaging voor toekomstige professionele ontwikkeling ligt dan ook in het aanbieden van gerichte training en het ontwikkelen van een gedeeld begrip van wat modellering precies inhoudt. Dit kan bijvoorbeeld door meer gerichte nascholing te bieden die zich specifiek richt op de toepassing van modellering in de klas, evenals het ontwikkelen van materialen die de leerkrachten helpen modellering op een meer gestructureerde en geïntegreerde manier in hun lessen te verwerken. Er is tevens behoefte aan duidelijke richtlijnen en concrete voorbeelden die leerkrachten ondersteunen bij het identificeren van geschikte wiskundige problemen die zich lenen voor modellering.