In vloeibare kristallen (LC's) worden moleculen niet volledig geordend, zoals in een vast kristal, maar ze vertonen wel een zekere mate van georiënteerde structuur. De moleculen hebben een willekeurige positie, maar hun lange as is statistisch georiënteerd langs een bepaalde richting, aangeduid als de "director" (n̂). De director is een eenheidsvector die in de ruimte varieert, afhankelijk van zowel de locatie als de tijd. De directeur maakt een hoek van θ met de lange as van de moleculen, en deze variaties worden vaak beschreven door differentiaalvergelijkingen die de veranderingen in de richting van de director reguleren.

De director kan worden uitgedrukt door twee Euler-hoeken: de kantelhoek θ en de draahoek ϕ. De kantelhoek θ definieert de hoek tussen de lange as van het molecuul en de vector n̂, terwijl de draahoek ϕ de hoek is tussen de projectie van n̂ op het XY-vlak en de Y-as. Deze hoeken beschrijven de toestand van de director in termen van een vector:

n^=(sinθcos⁡ϕ,sinθsin⁡ϕ,cos⁡θ)n̂ = (sin θ \cos ϕ, sin θ \sin ϕ, \cos θ )

In de meeste vloeibare kristallen zijn beide richtingen van de director (±n̂) gelijkwaardig, maar dit is niet altijd het geval bij moleculen met permanente dipoolmomenten, waarbij het teken van n̂ belangrijk kan zijn.

Het belangrijkste kenmerk van vloeibare kristallen, vooral vanuit macroscopisch perspectief, is de aanwezigheid van een langetermijn-georiënteerde orde. Positiële orde is vaak afwezig of beperkt tot korte lengteschaal. Deze georiënteerde ordening wordt vaak geanalyseerd door middel van ordeparameters (OP's). Ordeparameters meten de mate van symmetriebreking tussen de verschillende fasen. In het geval van vloeibare kristallen wordt de symmetrie in de isotrope fase (waar geen orde bestaat) gebroken wanneer het systeem overgaat naar een meer geordende fase. Een ordeparameter kan een scalair, vector of tensor zijn, afhankelijk van het systeem en de onderliggende aannames.

Bijvoorbeeld, de overgang van de vloeistof naar de damp fase is een voorbeeld van een transitie zonder symmetriebreking, aangezien beide fasen dezelfde symmetrie hebben, maar met verschillende dichtheden. In dit geval wordt de dichtheid het ordeparameter.

Bij de overgang naar een vloeikristallijne vaste stof (L-Cr) verandert een gedesorganiseerde vloeistof in een structuur met langeafstand-periodieke orde. Deze transitie kan goed worden geparametriseerd door de massa-dichtheid, ρ(r), wat resulteert in een complexe wiskundige beschrijving van de massa-verdeling. De overgang naar ferromagnetische fasen of vloeikristallijne fasen kan ook worden beschreven door middel van vector-ordeparameters, zoals de magnetisatie in ferromagneten of de director in vloeibare kristallen.

De uniaire nematische fase, die alleen georiënteerde orde bezit, kan worden gekarakteriseerd door een tensor-ordeparameter, Qij, die de mate van georiënteerde orde kwantificeert. Deze parameter is een maat voor de gemiddelde oriëntatie van de moleculen ten opzichte van de director en wordt uitgedrukt als:

Qij=32(n^in^j−δij)Q_{ij} = \frac{3}{2} (n̂_i n̂_j - \delta_{ij})
waarbij de modulaire waarde van deze tensor, S, de graad van de oriëntatie aangeeft, die typisch varieert van 0 (geen orde) tot 1 (perfecte orde).

Naast de nematische fase zijn er ook smectische fasen die zowel georiënteerde als positionele ordening vertonen. In smectische fasen is de moleculaire structuur periodiek langs de normaal van de laag, wat resulteert in thermische fluctuaties. De ordening in deze fasen kan wiskundig worden beschreven door een sinusvormige dichtheidsfunctie en een complexe ordeparameter die de lagen van moleculen karakteriseert:

ρ=ρ0(1+Re(ψei(q0z+φ)))ρ = ρ_0 \left(1 + Re \left( \psi e^{i(q_0z + φ)} \right)\right)
De complexe ordeparameter ψ beschrijft de laagstructuur, waarbij de fase φ de verplaatsing van de laagnormalen weergeeft. De waarde van q0 bepaalt de afstand tussen de lagen, en in de Sm C-fase introduceert de tilting van de moleculen een extra tiltvector (ξ) die de moleculaire oriëntatie in de laag beschrijft.

In ferroelectrische vloeibare kristallen (FLC's) komt een nog complexere structuur voor, waarbij naast de oriëntatie- en positiestructuren ook de polarizatievector (P) en de golffrequentie (q) van de helix belangrijk zijn. In de antiferroelectrische fase zijn er twee tegengestelde tiltvectoren die de moleculaire oriëntaties in de aangrenzende lagen beschrijven. Deze zijn de basis voor het begrijpen van antiferroelectrisch en ferroelectrisch gedrag.

De polymorfie van mesogene materialen leidt tot een enorme variëteit aan fasen en symmetriebrekingen. De opeenvolgende fasetransities van lagere naar hogere symmetrie worden vaak gedreven door temperatuurverhoging, wat de moleculaire ordening geleidelijk afbreekt en leidt tot transities naar symmetrische fasen.

In samenvatting, vloeibare kristallen vertegenwoordigen een fascinerend grensgebied tussen de vloeibare en vaste fasen. De dynamiek van de director, samen met de ordeparameters die de oriëntatie en positiestructuur beschrijven, biedt een diepgaand inzicht in hun gedrag en fasetransities. Het begrip van deze parameters is essentieel voor het verklaren van de fysische eigenschappen en toepassingen van vloeibare kristallen.

Wat zijn de elasticiteitseigenschappen van vloeibare kristallen en hoe beïnvloeden ze de fasenstructuur?

De elasticiteit van vloeibare kristallen is van essentieel belang voor het begrijpen van hun fysische eigenschappen, vooral in termen van de vervormingen die ze ondergaan. De meest fundamentele manier om deze vervormingen te begrijpen is door te kijken naar de elastische vrije-energiestructuur, die de verschillende soorten vervormingen en de daaruit voortvloeiende energieën beschrijft.

In de theorie van vloeibare kristallen worden de vervormingen vaak gemodelleerd aan de hand van de zogenaamde Frank-elastische constante, die drie hoofdfasen van vervorming vertegenwoordigt: splay, twist en bend. Deze vervormingen kunnen op verschillende manieren optreden, afhankelijk van de symmetrie van het systeem. Het idee van de elasticiteit van vloeibare kristallen is te begrijpen door de vrije-energie dichtheid te analyseren die de vervormingen van het moleculaire systeem beschrijft.

In een nematische fase wordt de oriëntatie van de moleculen beschreven door een veld van richting, de zogenaamde director n^\hat{n}. De vervormingen die dit veld kan ondergaan, leiden tot verschillende soorten elastische spanningen. De elasticiteit van de nematische fase kan wiskundig worden beschreven door een variatie van de vrije-energie die is gekoppeld aan de sterkte van deze vervormingen, met behulp van Frank's model.

Er zijn verschillende termen die invloed hebben op de elasticiteit van het systeem, zoals de afgeleiden van de oriëntatievelden en de onderlinge interacties van de moleculen. Wanneer we de restricitie van een vlakke configuratie loslaten, verkrijgen we een uitdrukking voor de vrije-energie die het effect van verschillende vervormingen beschrijft. Zo wordt de elastische vrije-energie in een nematisch systeem uitgedrukt als:

ΔAe=K1∇⋅n^+∇⋅(n^×n^)+12(n^×∇×n^)\Delta A_e = K_1 \nabla \cdot \hat{n} + \nabla \cdot (\hat{n} \times \hat{n}) + \frac{1}{2} (\hat{n} \times \nabla \times \hat{n})

Waarin K1,K2,K3K_1, K_2, K_3 de Frank-elastische constanten zijn die de mate van vervorming van het director veld beschrijven. Deze constanten hebben een dimensie van energie per lengte en bepalen de sterkte van de vervormingen in het systeem.

In de context van vloeibare kristallen kunnen we drie belangrijke vervormingsmodi onderscheiden: splay, twist en bend. De splay-modus komt voor wanneer het directorveld divergeert, de twist-modus treedt op wanneer het directorveld roteert langs zijn eigen as, en de bend-modus treedt op wanneer het veld zich kromt. De elasticiteit van deze vervormingen wordt bepaald door de respectieve elasticiteitsconstanten.

De beschreven theorie geldt voor een nematisch systeem, maar wat gebeurt er in andere fasen van vloeibare kristallen, zoals de biaxiale nematische fase? In 1970 liet Freiser zien dat de interactie die in de Maier-Saupe-theorie wordt gebruikt leidt tot een overgang van de nematische fase naar een biaxiale fase bij lage temperatuur. In deze fase is er een breuk van de roterende symmetrie rond het directorveld, wat resulteert in de noodzaak om twee director-velden te gebruiken: n^(r)\hat{n}(r) en m^(r)\hat{m}(r). Deze fasen hebben twee director-velden die het oriëntatieveld van de moleculen beschrijven, met als gevolg een complexere elasticiteitstheorie.

Het biaxiale nematische systeem vereist de beschrijving van een orthonormaal driehoek van vectorvelden n^,m^,l^\hat{n}, \hat{m}, \hat{l}. De belangrijkste eigenschap van deze fase is dat de vervormingen kunnen worden geanalyseerd met behulp van deze drie velden, waarbij elk veld zijn eigen vervormingsmodus heeft. De elasticiteit van deze fase kan worden gemodelleerd door de interacties tussen deze velden te bestuderen. De vergelijkingen die de elasticiteit van deze fasen beschrijven, zijn aanzienlijk complexer dan in de uniaxiale nematische fase, omdat er meerdere vervormingen mogelijk zijn die invloed hebben op elk van de director-velden.

Bij het bestuderen van smectische fasen, zoals de Sm A-fase, wordt de structuur beïnvloed door de laaggeordende aard van de moleculen. De Sm A-fase heeft een uniaxiale symmetrie, waarbij de moleculen normaal aan de lagen liggen, maar in de vervormde toestand kunnen de moleculen een bepaalde helling vertonen ten opzichte van de laagvlakken. Dit kan leiden tot nieuwe vervormingsmodi die specifiek zijn voor smectische fasen. In de Sm A-fase, bijvoorbeeld, zijn twist- en bendvervormingen verboden, wat het systeem tot een interessante studie maakt.

Samenvattend kan worden gesteld dat de elasticiteit van vloeibare kristallen in verschillende fasen fundamenteel verschilt. De nematische fase wordt gekarakteriseerd door een enkel directorveld en drie belangrijke vervormingsmodi, terwijl de biaxiale nematische en smectische fasen complexere interacties vertonen die meerdere directorvelden en vervormingsmodi omvatten. Het begrijpen van de elasticiteit van vloeibare kristallen is dus essentieel voor het voorspellen van hun gedrag onder verschillende omstandigheden en bij verschillende vervormingen.

Wat betekent vrijheid in de context van politiek en wil?
Wat is de impact van corrosie op pijpleidingen in de olie- en gasindustrie en hoe wordt dit beheerst?
Wat is de toekomst van nucleaire energie in het mondiale energieperspectief?
Hoe Speelden Juristen in de Middeleeuwen en Vroegmoderne Tijd met Recht en Literatuur?
Hoe kan de Trump-merknaam zichzelf beschermen tegen schadelijke invloeden?