Hoe Dynamische Systemen Chaos in Economieën Kunnen Oorzakelijk Zijn

In economische modellen die dynamische processen beschrijven, wordt vaak uitgegaan van stabiliteit en voorspelbaarheid. Toch kan het gedrag van deze systemen onder bepaalde omstandigheden chaotisch zijn, zelfs wanneer de dynamica eenvoudig lijkt. De niet-lineaire aard van veel van deze modellen kan leiden tot complexe en onvoorspelbare patronen van interactie, wat blijkt uit de evolutie van dynamische systemen in de economie. Een voorbeeld hiervan is het gedrag van de zogenaamde "tatonnement" processen, die met bepaalde aanpassingsparameters chaotisch gedrag vertonen.

Wanneer we twee verschillende economieën in de ruimte van de parameterinstellingen (bijvoorbeeld $e$ en $λ$) beschouwen, kunnen we het volgende zeggen: als de afstand tussen deze twee economieën klein genoeg is, zullen de bijbehorende systemen vergelijkbare uitkomsten vertonen. Dit betekent dat de systemen zich op een voorspelbare manier ontwikkelen, maar dit geldt alleen binnen bepaalde grenzen van de parameterinstellingen. Zodra deze grenzen worden overschreden, kunnen de systemen plotseling chaotisch gedrag vertonen.

Dit chaotische gedrag is opmerkelijk, omdat het kan optreden zelfs zonder een uiterst specifieke afstemming van de parameters. Met andere woorden, het komt niet voor als gevolg van een toevallige of onwaarschijnlijke combinatie van parameters. In plaats daarvan is het een inherent kenmerk van het dynamische systeem zelf, dat ontstaat uit de niet-lineaire interacties tussen de variabelen. Dit laat zien hoe gevoelig economische modellen kunnen zijn voor kleine veranderingen in de instellingen, iets wat het moeilijk maakt om lange-termijnvoorspellingen te doen.

In het kader van de Cobb-Douglas-productiefuncties, die vaak worden gebruikt in economische theorieën, wordt dit chaotische gedrag duidelijker. Deze productiefuncties modelleren de relatie tussen inputs (zoals arbeid en kapitaal) en de output van een economie. Wanneer de parameters die de snelheid van aanpassing van prijzen bepalen, variëren, kan de economie plotseling overschakelen naar chaotisch gedrag. Dit werd eerder gedemonstreerd in het werk van Day en anderen, die aantonen dat zelfs eenvoudige dynamische modellen kunnen leiden tot onverwachte, niet-periodieke patronen die we associëren met chaos.

De ontdekking van chaotische attractors in dynamische economische systemen is een belangrijke vooruitgang in het begrip van economische processen. Voorheen werden economische modellen vaak benaderd met het idee van evenwichtstoestanden die op lange termijn stabiliteit waarborgen. Echter, de realiteit is dat veel economische systemen inherent instabiel kunnen zijn, zelfs als de modelstructuren eenvoudig lijken. Dit inzicht heeft geleid tot de ontwikkeling van meer geavanceerde theorieën en modellen die chaos in dynamische systemen verklaren en toepassen op economische fenomenen zoals de conjunctuurgolven, groei, en marktaanpassingen.

De theorie van de chaotische attractors benadrukt hoe niet-lineaire systemen onvoorspelbare uitkomsten kunnen genereren, zelfs uit de meest elementaire dynamische regels. Dit betekent dat de economische toekomst niet altijd met zekerheid kan worden voorspeld, zelfs als de huidige toestand goed begrepen wordt. De niet-lineaire aard van deze systemen maakt het noodzakelijk om met zorg om te gaan met voorspellingen en beleidsinterventies, omdat kleine veranderingen in parameters of aanvankelijke voorwaarden enorme gevolgen kunnen hebben.

In de loop van de tijd is het onderzoek naar chaotische systemen verder uitgebreid naar complexere modellen die niet alleen economische groei beschrijven, maar ook andere fenomenen zoals intertemporaliteit, concurrentie en conflicten tussen agenten. Het werk van economen zoals Benhabib en Day heeft aangetoond dat chaos in dynamische systemen kan voortkomen uit relatief eenvoudige interacties. Dit heeft geleid tot een herwaardering van de rol van chaos in economische theorieën en het erkennen van de noodzaak om complexe, niet-lineaire modellen te gebruiken om de werkelijke dynamiek van de economie beter te begrijpen.

Het is essentieel voor economisten om zich bewust te zijn van deze dynamische complexiteit en om de mogelijkheden van chaos in hun modellen te overwegen. Het besef dat zelfs eenvoudige economische systemen chaotisch gedrag kunnen vertonen, biedt nieuwe perspectieven op beleidsvorming en economisch beheer. Dit herinnert ons eraan dat economische systemen vaak onvoorspelbare wendingen kunnen nemen, zelfs zonder dat externe schokken of extreme gebeurtenissen optreden. De toekomst van de economie, zoals de toekomst van veel andere dynamische systemen, is vaak onvoorspelbaar en chaotisch, wat het beheer en de regulering ervan uiterst uitdagend maakt.

Hoe kan een Markov-proces worden geconstrueerd op een telbare toestandsruimte?

Een stochastisch proces {Xn: n = 0, 1, . . .} wordt gedefinieerd door een reeks van willekeurige variabelen, waarbij elke Xn afhankelijk is van eerdere waarden in de reeks. Een van de fundamentele eigenschappen van dergelijke processen is de Markov-eigenschap. Dit houdt in dat, voor elke n, de kansverdeling van Xn+1, . . . , Xn+m, gegeven X0, . . . , Xn, gelijk is aan de kansverdeling gegeven Xn alleen. Dit principe vormt de basis voor Markov-processen, waarin de toekomst alleen afhankelijk is van de huidige toestand en niet van de geschiedenis.

Markov-ketens zijn een bijzonder geval van Markov-processen, waarbij de toestandsruimte S een telbare verzameling is. De overgangswaarschijnlijkheden tussen toestanden worden vaak weergegeven in een overgangsmatrix, ook wel een stochastische matrix genoemd. Deze matrix heeft de eigenschap dat de elementen pij van de matrix de kans aangeven van het overgaan van toestand i naar toestand j. De som van de overgangen uit elke toestand i naar alle mogelijke toestanden j is altijd gelijk aan 1, d.w.z. ∑j∈S pij = 1, voor alle i ∈ S.

Stel dat we een Markov-proces hebben met een overgangsprobabiliteitspatroon beschreven door een matrix p = ((pij)), waarbij pij ≥ 0 en ∑j∈S pij = 1 voor elke toestand i. Gegeven een initiële kansverdeling µ over de toestanden van de Markov-keten, kan een distributie µ0,1,...,n op Sn+1 worden geconstrueerd door gebruik te maken van de overgangsprobabiliteiten. Dit houdt in dat voor elke reeks van toestanden (i0, i1, ..., in), de kans wordt gegeven door het product van de overgangsprobabiliteiten:

Deze stochastische constructie is consistent in de zin dat de som van de kansen over alle mogelijke trajecten de overgangsdistributie van de volgende tijdstap reproduceert, zoals voorgeschreven door Kolmogorov’s bestendigheidstheorema. Dit zorgt ervoor dat er een waarschijnlijkheidsruimte (Ω, F, P) bestaat waarop een Markov-keten is gedefinieerd met de juiste overgangswaarschijnlijkheden en initiële distributies.

In een Markov-keten kunnen de toestanden beperkt zijn tot een eindige verzameling, of ze kunnen denumerabel zijn, zoals het geval is bij veel praktische toepassingen. Dit maakt het mogelijk om de keten te analyseren in termen van de langetermijnverdeling, die vaak wordt aangeduid als de stationaire verdeling. Deze verdeling beschrijft de toestand van het systeem nadat het zich "geëgaliseerd" heeft en geen verdere verandering meer vertoont na verloop van tijd.

Neem bijvoorbeeld een eenvoudig voorbeeld van een Markov-keten met een toestandsruimte S = {0, 1}, waar de overgangswaarschijnlijkheden gegeven worden door:

• P(Xn+1 = 1 | Xn = 0) = p

• P(Xn+1 = 0 | Xn = 1) = q

Als we de initiële distributie µ(0) kennen, kunnen we de kansverdelingen van de toestanden Xn op elk tijdstip n berekenen. Dit gebeurt door de overgangen van elke toestand naar de andere te integreren, rekening houdend met de overgangsmatrix en de initiële voorwaarden. Zo blijkt uit de formules dat de kansen voor elke toestand Xn worden uitgedrukt in termen van de oorspronkelijke kansverdeling µ(0), en dat de Markov-keten uiteindelijk een stationaire verdeling bereikt, afhankelijk van de waarden van p en q.

Wat essentieel is om te begrijpen bij het werken met Markov-ketens is dat de langetermijnoplossing vaak wordt bepaald door het evenwicht van de overgangsprobabiliteiten, wat leidt tot de zogenaamde stationaire distributie. Dit kan impliceren dat, zelfs als de initiële verdeling een zekere spreiding vertoonde, de Markov-keten in de loop van de tijd naar een stabiele toestand convergeert waarin de waarschijnlijkheden van de toestanden constant blijven.

Er is echter meer aan de hand dan alleen het concept van een overgangsmatrix. Het is ook belangrijk om te begrijpen hoe Markov-processen kunnen worden toegepast in verschillende domeinen, zoals economie, biologie en informatica. In elk van deze gevallen kunnen de overgangsmatrices specifieke dynamieken representeren die de evolutionaire gedragingen van systemen beschrijven. Dit maakt Markov-processen een krachtig hulpmiddel voor het modelleren van real-world situaties, waarin de toekomst vaak afhangt van de huidige toestand en niet van de verleden.

Een ander belangrijk aspect van Markov-processen is het concept van de "herinneringloze" eigenschap, die betekent dat de toekomst van het proces alleen wordt bepaald door de huidige toestand, zonder enige afhankelijkheid van de eerdere toestanden. Dit vereenvoudigt de analyse van complexe stochastische systemen, omdat we ons slechts hoeven te concentreren op de huidige toestand en de bijbehorende overgangsprobabiliteiten. Deze eigenschap maakt Markov-processen bijzonder nuttig voor het modelleren van systemen die geen lange-termijn geheugen hebben, zoals in de natuurkunde of het gedrag van bepaalde netwerken.

Wat is de rol van periodieke punten en chaotisch gedrag in dynamische systemen?

Bijvoorbeeld, de bekende tentkaart, een wiskundig model gebruikt voor het bestuderen van chaotische systemen, heeft vaste en periodieke punten die 'afstotend' kunnen zijn. Dit betekent dat de nabijheid van een punt op de kaart kan afnemen na verloop van tijd, afhankelijk van de aard van het dynamische systeem en de specifieke eigenschappen van de transformatie die wordt toegepast. Deze afstotende karakteristiek van de dynamica is belangrijk voor het begrijpen van de stabiliteit van het systeem op lange termijn. Wanneer we naar het gedrag van systemen kijken, bijvoorbeeld in de economie of biologie, moeten we rekening houden met de parameterinstellingen die bepalen of de vaste punten al dan niet afstotend zijn.

Bij het modelleren van systemen zoals populatiedynamica, waarbij de toestand van het systeem vaak een niet-negatieve reële waarde is, komen we uit op de zogenaamde β-functie, die een belangrijke rol speelt in het beschrijven van de evolutionaire regels van het systeem. De formule α(x) = xβ(x) (met β(0) ≥ 0) is een eenvoudige maar krachtige manier om de evolutie van dergelijke systemen te beschrijven. Voor specifieke waarden van de parameters θ1 en θ2 (bijvoorbeeld in modellen van Verhulst, Hassell of Ricker), kunnen we periodieke en vaste punten ontdekken die het gedrag van de populatie beïnvloeden.

De Hassell-kaart biedt een andere interessante casus, waarin twee gevallen te onderscheiden zijn: als θ1 ≤ 1, is x* = 0 het enige vaste punt; als θ1 > 1, komen er twee vaste punten voor. Bij specifieke waarden van de parameter θ1 kan het vaste punt x* = 0 afstotend zijn, wat invloed heeft op de stabiliteit van het systeem. Bij de Ricker-kaart wordt een soortgelijk gedrag waargenomen, waar voor θ1 ≤ 1, x* = 0 het enige vaste punt is, en voor θ1 > 1, komen er twee vaste punten voor, waarvan x* = 0 afstotend is, terwijl het andere punt lokaal aantrek- kend kan zijn.

Het belang van deze complexe wiskundige formules komt naar voren bij de toepassing in de realiteit, bijvoorbeeld in de ecologie, waar kleine veranderingen in de parameters grote gevolgen kunnen hebben voor de stabiliteit van een ecosysteem of de populatiegroei. De afstotende en aantrekkende eigenschappen van de vaste punten bepalen of een systeem naar een evenwicht toestroomt of dat het zich in chaotische toestanden ontwikkelt.

Naast de vaste en periodieke punten kunnen we in dynamische systemen ook chaos tegenkomen. Li–Yorke-chaos, een belangrijk concept in de theorie van dynamische systemen, beschrijft een situatie waarin kleine veranderingen in de begintoestand van het systeem kunnen leiden tot drastisch verschillende resultaten. Het Li–Yorke-theorema stelt dat als er een periodiek punt van een bepaald type bestaat, er ook periodieke punten van andere types zullen bestaan. Dit is een kernidee voor het begrijpen van de ingewikkelde en vaak onvoorspelbare aard van chaotische systemen. Sarkovskii's theorema, dat verder wordt behandeld, biedt een structuur voor het begrijpen van de hiërarchie van de verschillende periodieke punten die in een dynamisch systeem kunnen optreden, waarbij periodieke punten van bepaalde lengtes noodzakelijkerwijs andere periodieke punten van verschillende lengtes moeten genereren.

Wat zijn de implicaties van stochastische dynamische systemen voor economische modellen onder onzekerheid?

In economische modellen die rekening houden met onzekerheid, zoals modellen van beschrijvende en optimale groei, is het gebruik van stochastische dynamische systemen cruciaal geworden voor het begrijpen van de langetermijnontwikkeling van systemen. Deze systemen zijn in distributie stabiel en geven inzicht in hoe economische processen zich ontwikkelen onder de invloed van onzekerheid. Het toepassen van deze modellen kan leiden tot beter begrip van het gedrag van economische variabelen in dynamische omgevingen.

Een van de klassieke voorbeelden van een dergelijk systeem is wanneer de staat van het systeem, aangeduid als $S$, de niet-negatieve reële getallen bevat ($S = \mathbb{R}_+$) en de verschillende wetten van beweging, aangeduid als $F_1, F_2, ..., F_N$, voldoen aan bepaalde voorwaarden. In dit geval is het cruciaal om te begrijpen hoe deze wetten de evolutie van het systeem beïnvloeden en wat de implicaties zijn voor het gedrag op de lange termijn.

Een belangrijk kenmerk van zulke systemen is dat er een unieke, invariantie kansverdeling $\pi$ bestaat die voor alle begincondities binnen het interval $[r_1, r_N]$ geldt. Dit impliceert dat het systeem uiteindelijk zal convergeren naar een stabiele toestand, ongeacht de oorspronkelijke staat, zolang deze maar binnen het gedefinieerde interval ligt.

Daarnaast is het belangrijk te benadrukken dat stochastische dynamische systemen het potentieel hebben om de langetermijngroei van een economie te beschrijven, zelfs wanneer er onzekerheid is over de specifieke dynamiek die de groei aandrijft. Dit wordt geïllustreerd in voorbeelden waarbij de evolutie van het systeem niet altijd deterministisch is, maar afhankelijk is van stochastische processen, zoals in Markov-processen. Dit betekent dat de groei van een economie niet alleen bepaald wordt door de huidige toestand, maar ook door willekeurige invloeden die het pad naar de toekomst bepalen.

Bijvoorbeeld, in het geval van multiplicatieve schokken, waarbij de economische groei wordt beïnvloed door externe shockfactoren die de dynamica van de economie beïnvloeden, is het mogelijk dat het systeem zich ontwikkelt naar verschillende uitkomsten, afhankelijk van de randomisatie van de schokken. In dergelijke gevallen wordt de eindtoestand van het systeem bepaald door de interactie van de verschillende wetten van beweging en de waarschijnlijkheden van hun optreden, wat leidt tot complexe langetermijngedragingen van het systeem.

Het begrip van de langetermijngroei onder onzekerheid vereist dus dat we niet alleen kijken naar de directe effecten van economische factoren, maar ook naar de manieren waarop toevallige invloeden het pad van de economie kunnen bepalen. Het is belangrijk dat we deze invloeden begrijpen, niet alleen vanuit het perspectief van de individuele wetten van beweging, maar ook vanuit het bredere perspectief van de interactie tussen verschillende dynamische krachten die het systeem aandrijven.

Een ander belangrijk concept in deze context is het idee van convergentie in distributie. Dit betekent dat, zelfs als de economie in de loop van de tijd door verschillende staten beweegt, de verdeling van de toestanden van het systeem uiteindelijk zal stabiliseren naar een bepaalde verdeling. Deze stabilisatie is belangrijk voor beleidsmakers en economen, aangezien het suggereert dat hoewel de economie in de korte termijn onzeker kan zijn, er een stabilisatiepunt is dat zich uiteindelijk zal manifesteren.

Naast de theoretische benadering van dergelijke modellen, is het essentieel om in gedachten te houden dat het toepassen van deze concepten op real-world situaties uitdagingen met zich meebrengt. Onzekerheid in economische systemen is niet altijd eenvoudig te modelleren en kan leiden tot situaties waarin de uitkomsten sterk afhankelijk zijn van de specifieke aannames die aan het model ten grondslag liggen. De toepassing van deze theorieën op concrete gevallen vereist zorgvuldige overweging van de gegevens en de specifieke kenmerken van het economische systeem dat wordt bestudeerd.