Hoe Parametrische en Niet-Parametrische Vergelijkingen de Geometrie van Lijnen en Vlakken Beschrijven

In de analytische meetkunde wordt de beschrijving van geometrische objecten, zoals lijnen en vlakken, vaak gedaan met behulp van parametrische en niet-parametrische vergelijkingen. Deze benaderingen bieden krachtige hulpmiddelen om wiskundige relaties in een ruimte te begrijpen, vooral wanneer we werken met Euclidische ruimten zoals $\mathbb{R}^3$ .

Een van de meest fundamentele concepten is de parametrische vorm van een lijn. Stel dat we de lijn $L$ willen beschrijven die door een punt $P_0 = (x_0, y_0, z_0)$ gaat en een richting heeft gegeven door de vector $v = (v_1, v_2, v_3)$ . De parametrische vergelijking van de lijn kan dan als volgt worden geschreven:

p = P_0 + t \cdot v

waarbij $t$ een parameter is die de positie van een punt op de lijn varieert. In componenten betekent dit:

x = x_0 + t \cdot v_1, \quad y = y_0 + t \cdot v_2, \quad z = z_0 + t \cdot v_3

Deze parametrische vorm is nuttig omdat we de coördinaten van elk punt op de lijn kunnen verkrijgen door verschillende waarden van $t$ in te voeren. De parameter $t$ kan worden geïnterpreteerd als een tijdsvariabele in de dynamische benadering, wat betekent dat een bewegend punt langs de lijn kan worden geanalyseerd.

Wanneer we echter de behoefte voelen om een lijn in zijn niet-parametrische vorm te beschrijven, elimineren we de parameter $t$ uit de bovenstaande vergelijkingen. Dit resulteert in een lineaire vergelijking die de relatie tussen de coördinaten $x$ , $y$ en $z$ van elk punt op de lijn beschrijft. Bijvoorbeeld, uit de parametrische vergelijking $x = 2 + 4t$ , $y = -3 + 4t$ , en $z = 5 - 13t$ , kan de niet-parametrische vergelijking worden afgeleid door $t$ te elimineren, wat resulteert in de volgende lineaire vergelijking:

x - 2y + 3z - 5 = 6

De niet-parametrische vorm is vaak eenvoudiger en handiger voor geometrische toepassingen, omdat het directe relaties tussen de coördinaten van de punten op de lijn biedt.

Bijvoorbeeld, als we de lijn $L$ willen beschrijven die door een punt $P_0 = (6, 1, -8)$ gaat, met de richting van de vector $v = (4, 4, -13)$ , kunnen we de parametrische vergelijking als volgt herschrijven:

p = (6, 1, -8) + t(4, 4, -13)

Wat resulteert in de volgende componentvorm:

x = 6 + 4t, \quad y = 1 + 4t, \quad z = -8 - 13t

Na eliminatie van de parameter $t$ , verkrijgen we de niet-parametrische vergelijking:

x - 6y + 8 = 0

Hoewel de beide parametrische en niet-parametrische vormen van een lijn er op het eerste gezicht verschillend uitzien, representeren ze dezelfde lijn. Dit kan eenvoudig worden gecontroleerd door de coördinaten van specifieke punten, zoals $A$ en $B$ , in beide vergelijkingen in te voeren en te bevestigen dat ze voldoen aan beide.

In sommige gevallen is het ook mogelijk dat een van de componenten van de richtingvector $v$ nul is, wat betekent dat de lijn parallel is aan een van de coördinatenvlakken. Bijvoorbeeld, als we een lijn zoeken die door het punt $A(2, -3, 5)$ gaat en parallel is aan de $z$ -as, dan kunnen we de parametrische vergelijking meteen als volgt schrijven:

p = (2, -3, 5) + t(0, 0, 1)

In dit geval varieert alleen de $z$ -coördinaat en blijven de andere coördinaten constant. De niet-parametrische vergelijkingen voor deze lijn zijn dan eenvoudig $x = 2$ en $y = -3$ .

Een ander veelvoorkomend probleem in de analytische meetkunde is het vinden van de snijpunten van twee lijnen. Stel dat we twee lijnen hebben, $L_1$ en $L_2$ , beschreven door de parametrische vergelijkingen:

p_1 = (4, 3, 9) + s(2, -3, 7)

p_2 = (3, 2, 0) + t(-1, 4, 2)

Om de snijpunten van deze lijnen te vinden, kunnen we de overeenkomstige componenten van de beide vectorvergelijkingen gelijkstellen en de resulterende vergelijkingen oplossen voor $s$ en $t$ . Dit leidt tot de oplossing $s = -1$ en $t = 1$ , waardoor het snijpunt $p = (2, 6, 2)$ wordt verkregen.

De afstand tussen een punt en een lijn is een ander belangrijk probleem in de geometrie. Stel dat we de afstand van het punt $A(9, 13, -1)$ willen berekenen van de lijn $L$ , beschreven door de parametrische vergelijking:

p = (-1, -2, 4) + t(3, 1, -5)

De afstand van een punt tot een lijn wordt gevonden door een rechte lijn van het punt naar de lijn te trekken, die loodrecht op de lijn staat. De lengte van deze lijn is de gevraagde afstand.

Naast lijnen kunnen we ook vlakken in een ruimte beschrijven. De parametrische vectorvergelijking voor een vlak $S$ kan worden geschreven als:

p = p_0 + s \cdot u + t \cdot v

waarbij $p_0$ een vast punt op het vlak is en $u$ en $v$ twee niet-parallelle vectoren zijn die de richting van het vlak bepalen. In componenten wordt dit:

x = x_0 + su_1 + tv_1, \quad y = y_0 + su_2 + tv_2, \quad z = z_0 + su_3 + tv_3

De eliminatie van de parameters $s$ en $t$ leidt tot de niet-parametrische vorm van de vlakvergelijking:

a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0

waarbij de vector $(a, b, c)$ de normale vector van het vlak is. Deze normale vector is orthogonaal aan elk punt in het vlak en geeft de oriëntatie van het vlak in de ruimte aan.

Het is belangrijk om te begrijpen dat de afstand van het vlak tot de oorsprong, gegeven door de parameter $d$ in de vlakvergelijking, kan worden geïnterpreteerd als het product van de lengte van de normale vector en de projectie van het punt $p_0$ op de lijn die door de oorsprong gaat en parallel is aan de normale vector.

Hoe matrices optellen en vermenigvuldigen: de basisprincipes en toepassingen

In de algebra van matrices vinden we verschillende fundamentele regels en eigenschappen die de bewerking van matrices vergemakkelijken. Twee van de meest cruciale bewerkingen zijn de optelling van matrices en de vermenigvuldiging van een matrix met een scalair. In dit gedeelte gaan we deze operaties onderzoeken en de basisprincipes ervan uitleggen.

Bij de optelling van twee matrices, bijvoorbeeld $A$ en $B$ , is het belangrijk te begrijpen dat de matrices dezelfde afmetingen moeten hebben. Dit betekent dat de matrices compatibel moeten zijn voor optelling; ze moeten dezelfde aantallen rijen en kolommen hebben. Wanneer we twee conformabele matrices optellen, wordt elke corresponderende term van de twee matrices bij elkaar opgeteld. Dit kan symbolisch worden uitgedrukt als:

(A + B)_{ik} = A_{ik} + B_{ik}

waarbij $i$ de rijindex is en $k$ de kolomindex van de matrix. Dit principe is eenvoudig, maar uiterst krachtig: de som van twee matrices is een matrix waarvan de elementen de som zijn van de overeenkomstige elementen van de oorspronkelijke matrices.

Naast de optelling is de vermenigvuldiging van een matrix met een scalair eveneens een essentiële bewerking. Als $A$ een matrix is en $c$ een scalair, dan wordt de vermenigvuldiging van $A$ door $c$ gedefinieerd door elke term van $A$ te vermenigvuldigen met $c$ . Dit wordt uitgedrukt als:

(cA)_{ik} = c \times A_{ik}

Deze bewerking is eenvoudig maar fundamenteel voor veel toepassingen in de lineaire algebra. De vermenigvuldiging van een matrix door een scalair schaalt eenvoudigweg alle elementen van de matrix met de waarde van de scalar.

Laten we nu een specifiek voorbeeld bekijken. Stel dat $A$ en $B$ twee matrices zijn, waarvan we de som willen berekenen:

A = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}

Door de elementen van $A$ en $B$ overeenkomstig op te tellen, krijgen we:

A + B = \begin{pmatrix} 3+4 & 5+7 \\ 4+1 & 2+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 12 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}

Dit toont aan hoe matrixoptelling werkt: de overeenkomstige elementen van de twee matrices worden bij elkaar opgeteld om een nieuwe matrix te verkrijgen.

Evenzo kan een matrix worden vermenigvuldigd met een scalair. Stel dat we een scalair $c = 2$ hebben en de matrix $A$ opnieuw nemen. Dan krijgen we:

2A = \begin{pmatrix} 2 \times 3 & 2 \times 5 \\ 2 \times 4 & 2 \times 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 10 \\ 8 & 4 \end{pmatrix}

De vermenigvuldiging van een matrix met een scalair verandert de grootte van de elementen in de matrix door ze te schalen.

Naast deze basisbewerkingen, komt ook de matrixvermenigvuldiging aan bod. Het product van twee matrices $A$ en $B$ is alleen gedefinieerd als het aantal kolommen van de eerste matrix gelijk is aan het aantal rijen van de tweede matrix. Als $A$ een matrix is van de orde $m \times p$ en $B$ een matrix van de orde $p \times n$ , dan is het product $AB$ een matrix van de orde $m \times n$ . De berekening van het product van twee matrices kan worden uitgedrukt als:

(AB)_{ik} = \sum_{j=1}^{p} A_{ij} B_{jk}

Dit betekent dat elk element van de resulterende matrix wordt verkregen door de overeenkomstige rij van matrix $A$ te vermenigvuldigen met de overeenkomstige kolom van matrix $B$ en de producten van deze vermenigvuldigingen bij elkaar op te tellen. Dit principe wordt vaak het "dot product" genoemd.

Bijvoorbeeld, laten we de matrices $A$ en $B$ als volgt nemen:

A = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}

Het product $AB$ wordt als volgt berekend:

AB = \begin{pmatrix} 3 \times 2 + 5 \times 0 & 3 \times 1 + 5 \times 3 \\ 1 \times 2 + 2 \times 0 & 1 \times 1 + 2 \times 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 18 \\ 2 & 7 \end{pmatrix}

Deze matrixvermenigvuldiging heeft een breed scala aan toepassingen, van het oplossen van systemen van lineaire vergelijkingen tot het uitvoeren van transformaties in de computergraphics.

In de lineaire algebra wordt de matrixvermenigvuldiging vaak gezien als een manier om opeenvolgende lineaire transformaties te combineren. Dit komt voort uit het idee van de samenstelling van functies. Als we twee transformaties $T_A$ en $T_B$ hebben, waarvan de matrixrepresentaties respectievelijk $A$ en $B$ zijn, dan is de samenstelling van deze transformaties, aangeduid als $T_A \circ T_B$ , gelijk aan de matrixvermenigvuldiging $AB$ . Dit betekent dat we eerst $B$ toepassen op een vector, en vervolgens $A$ op het resultaat van deze transformatie.

Een ander belangrijk aspect is dat matrixvermenigvuldiging, hoewel associatief, niet commutatief is. Dit betekent dat voor matrices $A$ en $B$ in het algemeen $AB \neq BA$ , wat belangrijk is om te begrijpen bij het werken met matrixbewerkingen.

In dit hoofdstuk hebben we de basisbewerkingen van matrices besproken: optelling, vermenigvuldiging met een scalair en vermenigvuldiging van matrices. Het is essentieel om deze concepten goed te begrijpen, aangezien ze de bouwstenen vormen voor meer geavanceerde toepassingen in de lineaire algebra en wiskunde in het algemeen.

Hoe matrices kunnen worden gebruikt om demografische veranderingen te modelleren

In de wereld van wiskunde en systemen wordt de kracht van matrices vaak onderschat, terwijl ze een enorm potentieel bieden om complexe vraagstukken te modelleren en op te lossen. Een voorbeeld hiervan is het modelleren van bevolkingsveranderingen in een stad, waar de demografische veranderingen binnen verschillende leeftijdsgroepen op een wiskundige manier kunnen worden geanalyseerd. Laten we het gebruik van matrices voor dit soort toepassingen nader bekijken.

Stel je voor dat we twee bevolkingsgroepen hebben: degenen jonger dan 50 jaar en degenen die 50 jaar of ouder zijn. Elke groep vertoont verschillende gedragingen door de tijd heen. De jongere groep groeit elk decennium met 10%, terwijl 20% van hen de leeftijd van 50 bereikt. Tegelijkertijd sterft 40% van de bevolking die ouder is dan 50. We willen nu beschrijven hoe deze bevolkingsgroepen veranderen over tijd.

Dit kan gedaan worden met behulp van een matrix, waarin de populatie van elke groep wordt gerepresenteerd als een vector. Als we de vector $x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$ gebruiken, waarbij $x_1$ de populatie van de groep onder de 50 jaar is en $x_2$ de populatie van de groep boven de 50 jaar, dan kunnen we de verandering van deze populaties per decennium beschrijven door middel van een matrixvermenigvuldiging.

De matrix die deze veranderingen beschrijft is als volgt:

A = \begin{pmatrix} 1.10 & 0.20 \\ 0.40 & 0.80 \end{pmatrix}

Het resultaat van het toepassen van deze matrix op de vector $x$ geeft ons de nieuwe populaties na één decennium:

A \times x = \begin{pmatrix} 1.10 & 0.20 \\ 0.40 & 0.80 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1.10x_1 + 0.20x_2 \\ 0.40x_1 + 0.80x_2 \end{pmatrix}

Op deze manier kunnen we de veranderingen in de populaties van de stad bijhouden door simpelweg de oorspronkelijke populatievector te vermenigvuldigen met de matrix $A$ voor elk decennium. Dit proces kan meerdere keren worden herhaald om de veranderingen over langere perioden te modelleren.

De kracht van matrices komt niet alleen van hun vermogen om lineaire transformaties uit te voeren, maar ook van de manier waarop we ermee kunnen omgaan in de context van systemen van lineaire vergelijkingen. In dit geval kunnen we de verandering van de populatie over de tijd als een lineair systeem beschouwen, waarbij de matrix de transformatie van de populaties vertegenwoordigt. Het systeem kan steeds opnieuw worden toegepast, waarbij elk resultaat de nieuwe toestand van het systeem weergeeft.

Echter, er is meer aan de hand dan alleen het manipuleren van matrices. Het is essentieel om te begrijpen dat de wiskundige principes die aan de basis liggen van deze matrices ook de fundamentele eigenschappen van matrixvermenigvuldiging omvatten, zoals associativiteit en distributiviteit. Deze eigenschappen spelen een cruciale rol in het waarborgen van de consistentie van de resultaten, zelfs wanneer matrices in verschillende volgordes worden vermenigvuldigd of als meerdere matrixvermenigvuldigingen achter elkaar plaatsvinden.

Daarnaast is het belangrijk om te realiseren dat het gebruik van matrices niet beperkt blijft tot demografische modellen, maar een breed scala aan toepassingen kent. In dit geval gebruiken we een eenvoudige matrix om de veranderingen in bevolkingsgroepen te modelleren, maar matrices kunnen ook worden toegepast in economisch beleid, financiële modellering, en zelfs in de natuurwetenschappen, waar complexe systemen vaak met matrices worden beschreven.

In het geval van matrices zijn er ook enkele fundamentele concepten die essentieel zijn voor het begrijpen van hun werking. Zo is het bijvoorbeeld cruciaal te weten wat de zogenaamde "identiteitsmatrix" is, die werkt als de 1 in de algebra van getallen. De identiteitsmatrix is een vierkante matrix die 1 op de hoofddiagonaal heeft en 0 in alle andere posities. Het heeft de eigenschap dat voor elke matrix $A$ , de vermenigvuldiging $A \times I = A$ en $I \times A = A$ , zolang de vermenigvuldiging gedefinieerd is. Deze matrix speelt een rol die vergelijkbaar is met de getalwaarde 1 in de traditionele algebra.

In meer geavanceerde toepassingen kunnen ook nulmatrices worden gebruikt, die matrices zijn waarbij alle elementen gelijk zijn aan nul. De nulmatrix speelt de rol van 0 in de algebra van matrices, wat betekent dat elke matrix die met de nulmatrix wordt vermenigvuldigd, als resultaat de nulmatrix heeft. Dit principe van nulliteit in de matrixalgebra is essentieel om de fundamenten van matrixvermenigvuldiging te begrijpen.

Bij het gebruik van matrices wordt dus niet alleen gewerkt met de getallen zelf, maar ook met hun structurele eigenschappen en de manier waarop ze transformaties kunnen vertegenwoordigen. Dit vormt de kern van de wiskundige analyse van systemen in verschillende domeinen, van demografische modellen tot meer geavanceerde toepassingen in de natuurwetenschappen en techniek. Het vermogen om deze complexe systemen op een systematische manier te begrijpen en te manipuleren, biedt enorme voordelen voor onderzoekers en analisten die werken met complexe datasets of dynamische processen.

Wat is een subruimte van een vectorruimte?

In de lineaire algebra is het begrip subruimte van een vectorruimte essentieel voor het begrijpen van de structuur van vectorruimten. Een subruimte is een deelverzameling van een vectorruimte die zelf een vectorruimte is, waarbij de gebruikelijke bewerkingen van vectoroptelling en vermenigvuldiging met scalairen gelden. Dit betekent dat een subset van een vectorruimte, indien het een subruimte is, voldoet aan bepaalde algebraïsche eigenschappen zoals geslotenheid onder optelling en scalairenvermenigvuldiging.

Definitie 3.2.1. (Subruimte). Een deelverzameling $U$ van een vectorruimte $X$ wordt een subruimte van $X$ genoemd als het zelf een vectorruimte is, waarbij de optelling van vectoren en vermenigvuldiging met scalairen dezelfde zijn als in $X$ .

Voorbeeld 3.2.1. (Een subset van een vectorruimte die geen subruimte is). Stel je voor dat we de interval $U = [0, 10)$ beschouwen met optelling en vermenigvuldiging door een reëel getal $c$ , gedefinieerd modulo 10. Dit resulteert in een structuur die een vectorruimte vormt, maar het is geen subruimte van de reële getallen $\mathbb{R}$ , omdat de operaties niet hetzelfde zijn als in $\mathbb{R}$ . De bewerkingen worden namelijk “gewrongen” door modulo 10, wat de algebraïsche structuur verandert. Bijvoorbeeld: $5 + 7 = 2 \, (\text{mod}\, 10)$ of $(-3) \cdot 4 = 8 \, (\text{mod}\, 10)$ .

Het is belangrijk op te merken dat in de rest van het boek dergelijke operaties zoals in dit voorbeeld niet zullen worden overwogen. We beperken ons tot de gebruikelijke rekenkunde van $\mathbb{R}$ , zonder modulo-operaties.

Subruimten en hun eigenschappen

Als we nu kijken naar subruimten binnen een vectorruimte, kunnen we stellen dat de algebraïsche regels die gelden in de ruimte

X

ook gelden voor de vectoren in een deelverzameling

U

, zolang de operaties gelijk zijn aan die in

X

. Dit betekent dat, om te testen of een subset

U

van een vectorruimte

X

een subruimte is, we slechts twee dingen hoeven te controleren: of

U

niet leeg is, en of het gesloten is onder zowel optelling van vectoren als vermenigvuldiging met scalairen.

Met geslotenheid bedoelen we dat als twee vectoren uit $U$ worden opgeteld, de som ook in $U$ moet liggen. Evenzo, als een vector in $U$ wordt vermenigvuldigd met een scalair, moet het resultaat weer in $U$ liggen.

Voorbeeld 3.2.2. (Een subruimte van $\mathbb{R}^3$ ). Beschouw de verzameling $U$ van vectoren in $\mathbb{R}^3$ waarvan de derde coördinaat gelijk is aan nul, dus $U = \{ u \in \mathbb{R}^3 \mid u = (u_1, u_2, 0)^T \}$ . Deze verzameling is niet leeg en is een subruimte van $\mathbb{R}^3$ , omdat de som van twee vectoren in $U$ en het product van een vector in $U$ met een scalair ook weer in $U$ liggen. Dit is eenvoudig te controleren, want de derde component van elke som blijft nul.

Voorbeeld 3.2.3. (Een subset van $\mathbb{R}^3$ die geen subruimte is). Neem de verzameling $U = \{ u \in \mathbb{R}^3 \mid u = (u_1, u_2, 1)^T \}$ , de vectoren waarvan de derde coördinaat gelijk is aan 1. Het is gemakkelijk te zien dat deze verzameling geen subruimte is van $\mathbb{R}^3$ , omdat de som van twee vectoren in $U$ een derde coördinaat van 2 zal hebben, wat betekent dat het resultaat niet in $U$ ligt. Evenzo, als een vector in $U$ wordt vermenigvuldigd met een scalair, zal de derde coördinaat veranderen, en het resultaat zal niet in $U$ liggen, tenzij het scalair gelijk is aan 1.

De cruciale les hier is dat het voldoende is om één tegenvoorbeeld te vinden om te bewijzen dat een verzameling geen subruimte is. Dit kan een vector zijn waarvan de som of het product met een scalair niet binnen de verzameling ligt.

Voorbeeld 3.2.4. (De kleinste subruimte van $\mathbb{R}^3$ die twee gegeven vectoren bevat). Stel dat we de kleinste subruimte $U$ van $\mathbb{R}^3$ willen vinden die de vectoren $(1, 1, 1)^T$ en $(1, 2, 3)^T$ bevat. Omdat $U$ gesloten moet zijn onder vermenigvuldiging met scalairen, moet het alle veelvouden van deze vectoren bevatten. Evenzo moet $U$ gesloten zijn onder optelling van de vectoren, wat betekent dat $U$ alle lineaire combinaties van de vectoren $(1, 1, 1)^T$ en $(1, 2, 3)^T$ bevat. Dus $U$ is de subruimte van $\mathbb{R}^3$ die wordt gegenereerd door de vectoren $(1, 1, 1)^T$ en $(1, 2, 3)^T$ .

Dit betekent dat de subruimte $U$ de verzameling is van alle lineaire combinaties van de twee gegeven vectoren. Geometrisch gezien is $U$ het vlak door de oorsprong dat deze twee vectoren bevat.

Algemene resultaten en de betekenis van lineaire combinaties
De bovenstaande voorbeelden illustreren twee van de meest fundamentele manieren waarop subruimten zich manifesteren in toepassingen van de lineaire algebra. De eerste manier is het genereren van een subruimte door lineaire combinaties van een set vectoren, wat wordt aangeduid als de span van een set vectoren. De tweede manier is het oplossen van homogene lineaire vergelijkingen, waarbij de oplossingsruimte altijd een subruimte vormt.

De belangrijkste theorema’s die uit deze voorbeelden voortkomen zijn:

Theorema 3.2.1. De verzameling van alle eindige lineaire combinaties van vectoren uit een subset van een vectorruimte is een subruimte van die vectorruimte.
Theorema 3.2.2. De oplossingsverzameling van een homogeen lineair systeem is altijd een subruimte van $\mathbb{R}^n$ .

Deze concepten hebben vergaande implicaties voor de manier waarop we lineaire systemen oplossen en subruimten gebruiken in toegepaste wiskunde en natuurwetenschappen. Het begrijpen van de relatie tussen de span van een set vectoren en de subruimten die we ermee genereren, biedt belangrijke inzichten in de structuur van vectorruimten en hun toepassingen.

Wat zijn complexe getallen en waarom zijn ze belangrijk in wiskunde en wetenschap?

In 1545 publiceerde de Italiaanse wiskundige Gerolamo Cardano een algemene formule voor de oplossing van kubieke vergelijkingen, die voortbouwde op eerder werk van anderen voor specifieke gevallen. Cardano's formule heeft de interessante eigenschap dat, zelfs wanneer de vergelijking drie reële wortels heeft, deze wortels alleen worden gegeven als de vierkantswortels van negatieve getallen in de berekeningen worden gebruikt. Deze ontdekking markeerde het begin van de verkenning van zulke getallen, die ‘imaginaire getallen’ werden genoemd, als tegenhanger van de vertrouwde reële getallen, en van sommen van beide soorten, die ‘complexe getallen’ werden genoemd. Deze ongelukkige benamingen zijn blijven hangen, hoewel we tegenwoordig imaginaire getallen niet als minder reëel beschouwen dan reële of zelfs natuurlijke getallen.

De theorie van complexe getallen werd pas volledig ontwikkeld aan het begin van de negentiende eeuw, en die van complexe matrices aan het einde ervan. Het begrip complexe getallen breidt de reële getallen uit naar een tweedimensionale vectorruimte, waarin getallen een reëel en een imaginair deel bevatten. Het complexe getal wordt gewoonlijk genoteerd als $z = a + bi$ , waarbij $a$ en $b$ reële getallen zijn en $i$ de imaginaire eenheid is, gedefinieerd door de eigenschap $i^2 = -1$ . Het getal $a$ is een afkorting voor $a \cdot 1$ , en de complexe getallen van de vorm $bi$ , voor een willekeurig reëel $b$ , worden de imaginaire getallen genoemd.

De producten van complexe getallen zijn commutatief, associatief en distributief. Dit leidt tot een interessante oplossing voor het oorspronkelijke probleem van de vierkantswortels van negatieve getallen: we definiëren $c$ , voor elk complex getal $c$ , als elk complex getal $z$ waarvan het kwadraat $c$ is, dat wil zeggen, $z = \pm i$ wanneer $c = -1$ , aangezien $(i)^2 = -1$ . De vierkantswortel van elk ander negatief getal kan nu worden berekend door de regel $\sqrt{ -a} = i \sqrt{a}$ toe te passen, met $a$ een positief getal.

De verzameling complexe getallen is gesloten onder vermenigvuldiging, wat betekent dat het product van twee complexe getallen altijd een complex getal is. De deling van complexe getallen is ook mogelijk, behalve wanneer de deler gelijk is aan nul. Om de deling $a / b$ van twee complexe getallen $a$ en $b$ te berekenen, vermenigvuldigen we zowel de teller als de noemer met de complexe geconjugeerde van de deler. Dit maakt het mogelijk om de deling te vereenvoudigen tot een berekening met reële getallen, waardoor complexe delingen goed gedefinieerd zijn.

Een belangrijk concept bij complexe getallen is de complexe geconjugeerde. De geconjugeerde van een complex getal $z = x + yi$ is $\overline{z} = x - yi$ , en heeft enkele belangrijke eigenschappen zoals: $z \overline{z} = x^2 + y^2$ , en $z + \overline{z} = 2x$ . Dit maakt het makkelijker om met complexe getallen te werken, vooral bij deling en bij het berekenen van absolute waarden.

Complexe getallen kunnen grafisch worden voorgesteld als punten of vectoren in het vlak $\mathbb{R}^2$ , waarbij de reële en imaginaire delen van het complexe getal de coördinaten van het punt aangeven. Het absolute waarde van een complex getal $z = x + yi$ wordt gedefinieerd als de afstand van het punt $(x, y)$ tot de oorsprong, oftewel $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ .

Een belangrijke eigenschap van complexe getallen is de mogelijkheid om hen in polaire vorm weer te geven. Als $z$ een complex getal is, kan het worden geschreven als $z = r(\cos \phi + i \sin \phi)$ , waarbij $r = |z|$ de modulus van $z$ is, en $\phi = \arg z$ de argument van $z$ . In deze vorm is het makkelijker om complexe getallen te vermenigvuldigen: het product van twee complexe getallen in polaire vorm geeft de moduli van de getallen vermenigvuldigd, en de argumenten worden opgeteld.

Een van de bekendste resultaten in de theorie van complexe getallen is de beroemde Euler's formule, die luidt:

e^{i\phi} = \cos \phi + i \sin \phi.

Dit geeft een diepere inzicht in de relatie tussen complexe exponentiële functies en trigonometrische functies. De formule wordt veel gebruikt in de natuurkunde en de engineering, omdat het de basis vormt voor het begrijpen van trillingen, golven, en oscillaties, die vaak als complexe exponentiële functies worden gemodelleerd.

Deze uitgebreide theorie van complexe getallen leidt tot krachtige wiskundige hulpmiddelen, die niet alleen binnen de wiskunde maar ook in natuurwetenschappen en techniek van groot belang zijn. Complexe getallen spelen een cruciale rol in de kwantummechanica, elektromagnetisme, en andere disciplines die regelmatig gebruik maken van complexe exponentiële functies en oplossingen van complexe vergelijkingen.

In dit kader is het belangrijk voor de lezer niet alleen de formules en technieken te begrijpen, maar ook het diepere concept van complexiteit in de wiskunde en de wetenschap te waarderen. Complexe getallen zijn niet enkel een uitbreiding van de reële getallen, maar een volledig nieuwe manier van denken over getallen, functies en geometrie. Het vermogen om complexe getallen in polaire vorm te gebruiken biedt een krachtige tool voor het werken met oscillaties, rotaties en andere natuurverschijnselen die fundamenteel zijn in de wiskunde.

Hoe de Ruimtelijke-Tijdelijke Analyse van Netwerken met een Eindige Buffer Werkt
Hoe werkt corrosiemonitoring met elektrochemische technieken en welke beperkingen zijn er?
Wat heeft de toegenomen beschikbaarheid van wetenschappelijke medicijnen in de vroege 20ste eeuw betekend voor kwakzalverij?