Hoe de Virtuele Arbeid en de Stijfheidsmatrix voor Twee-Dimensionale Balken Elementen Werken

De grondslagen van de theorie van virtuale arbeid, zoals toegepast in de context van een twee-dimensionale balk, spelen een cruciale rol in het afleiden van de stijfheidsmatrix voor structuren in een niet-lineaire toestand. In het geval van een balk die zich in evenwicht bevindt op de configuratie $C_1$ , moet het interne virtuele werk gelijk zijn aan het externe virtuele werk. Dit kan wiskundig worden uitgedrukt als:

\int_{V_1} \sigma_{ij} \delta \varepsilon_{ij} \, dV = \int_{A_1} t_k \delta u_k \, dA

waarbij $t_k$ de oppervlaktetrajecties zijn op de toestand $C_1$ , $\sigma_{ij}$ de stresscomponenten en $\varepsilon_{ij}$ de vervormingen zijn. Het evenwicht van interne en externe krachten vormt de basis voor het verder analyseren van de krachten die inwerken op de balk en de daarmee verbonden verplaatsingen.

Het virtuale werk kan ook worden afgeleid uit de algemene vergelijkingen (3.1) en (3.2) door eenvoudigweg de subscripts en superscripts van "2" naar "1" te wijzigen. Dit biedt een handig hulpmiddel om de effectiviteit van de gemeten krachten en verplaatsingen over verschillende stadia van de vervorming te begrijpen. In een tweedimensionale situatie zijn de belangrijkste stresscomponenten $\sigma_{xx}$ en $\tau_{xy}$ , waarvan de respectieve lineaire en niet-lineaire vervormingscomponenten aangeduid worden als $\varepsilon_{xx}, \varepsilon_{xy}$ en $\eta_{xx}, \eta_{xy}$ .

Voor de eenvoud kunnen we de virtuele werkvergelijking voor een balk reduceren tot de volgende vorm:

(E \varepsilon_{xx} \delta \varepsilon_{xx} + 2G \varepsilon_{xy} \delta \varepsilon_{xy}) \, dV + (\sigma_{xx} \delta \eta_{xx} + 2\tau_{xy} \delta \eta_{xy}) \, dV = 2R - 1R

waarbij $E$ en $G$ respectievelijk de elasticiteitsmodulus en de rigiditeitsmodulus zijn. Deze vergelijking vertegenwoordigt de verandering in de vervormingsenergie en de potentiële energie van de balk, veroorzaakt door de incrementele vervorming tussen de twee configuraties $C_1$ en $C_2$ . De termen aan de rechterkant van de vergelijking vertegenwoordigen de incrementele toename in extern virtueel werk door de toename van de oppervlaktetrajecties van $t_k$ op $C_1$ naar $t_k$ op $C_2$ .

Relaties tussen Vervormingen en Verplaatsingen

De vervormingen van een algemeen punt $N$ op een sectie $x$ van de balk kunnen worden uitgedrukt in termen van de verplaatsingen van dat punt. De longitudinale en transversale verplaatsingen op dat punt worden respectievelijk aangeduid als $u_x$ en $u_y$ , en de vervormingscomponenten als:

\varepsilon_{xx} = u_{x,x}, \quad \varepsilon_{xy} = u_{x,y} + u_{y,x}, \quad \eta_{xx} = u_{x,x} + u_{y,x}^2, \quad \eta_{xy} = u_{x,y} u_{x,x} + u_{y,y} u_{x,x}

Door de hypothese van Bernoulli-Euler te gebruiken, waarin we aannemen dat de secties van de balk na vervorming plat en orthogonaal blijven ten opzichte van de centroidale as, kunnen de verplaatsingen van een punt $N$ op sectie $x$ als volgt worden uitgedrukt:

u_x = u - y v', \quad u_y = v

Substitutie van deze uitdrukkingen in de vervormingscomponenten levert de vervormingen als functie van de verplaatsingen:

\varepsilon_{xx} = u' - y v'', \quad \varepsilon_{xy} = 0, \quad \eta_{xx} = u'^2 - 2y u' v'' + y^2 v'^2 + v''^2, \quad \eta_{xy} = - u' v' + y v' v''

Het is belangrijk om te begrijpen dat sommige termen in $\eta_{xx}$ en $\eta_{xy}$ niet fysiek gerechtvaardigd zijn wanneer de Bernoulli-Euler hypothese wordt uitgebreid naar niet-lineaire analyses. Sommige niet-lineaire termen, zoals de laatste term in $\eta_{xy}$ , kunnen niet fysiek worden geïnterpreteerd en moeten worden weggelaten om kunstmatige krachten te vermijden bij het uitvoeren van rigide lichaamsbewegingen.

Spanningresultanten en Externe Virtuele Werken

De spanningresultanten voor een tweedimensionale balk omvatten de axiale kracht $F_x$ , de transversale schuifkracht $F_y$ en het buigmoment $M_z$ , die gedefinieerd zijn als:

F_x = \int_A \sigma_{xx} dA, \quad F_y = \int_A \tau_{xy} dA, \quad M_z = -\int_A \sigma_{xx} y dA

Deze spanningresultanten zijn essentieel voor de uiteindelijke berekening van de interne krachten en momenten die zich binnen de balk bevinden, die weer leiden tot de afgeleide stijfheidsmatrix.

Vergelijking van Virtueel Werk en Geometrische Stijfheidsmatrix

Door de uitdrukkingen voor de vervormingen en de spanningresultanten in de virtuele werkvergelijking te substitueren, kunnen we de uiteindelijke vergaring van de variabele energie- en potentieelformules verkrijgen die essentieel zijn voor het afleiden van de elementaire stijfheidsmatrix. Deze matrix is van groot belang voor de numerieke analyse van de balk en wordt gebruikt om de vervormingen en krachten te voorspellen die optreden wanneer het element onder belasting staat.

De procedure voor het afleiden van de stijfheidsmatrix is echter niet onfeilbaar. Er moeten keuzes worden gemaakt met betrekking tot het behoud of de afwezigheid van hogere-orde termen, vooral in situaties waarbij niet-lineaire effecten optreden. De geometrische stijfheidsmatrix kan bijvoorbeeld onvolledig zijn als bepaalde krachtcomponenten niet correct worden meegenomen in de variabelen.

Hoe rekenmethoden de buiggedrag van frameconstructies beïnvloeden

In de technische analyse van frameconstructies worden verschillende benaderingen gebruikt om de respons van een structuur onder belasting te modelleren. Een belangrijk onderdeel van deze benaderingen is het gebruik van stijfheidsmatrices, die de weerstand van een constructie tegen vervorming bepalen. Echter, de keuze van de stijfheidsmatrix en de benadering van de oplossing kunnen aanzienlijke gevolgen hebben voor de nauwkeurigheid van de resultaten en de benodigde rekentijd.

Een van de benaderingen die wordt besproken in de literatuur is het gebruik van de elastische stijfheidsmatrix [ke] in elke fase van de analyse, zoals geïllustreerd door P3C1 in Tabel 8.1. Dit maakt het mogelijk om hetzelfde probleem op te lossen, maar het gaat gepaard met een aanzienlijk langere rekentijd. De voordelen van deze aanpak zijn echter duidelijk: het kan helpen bij het nauwkeuriger volgen van het gedrag van een structuur, vooral in post-buckling scenario's. Het is echter belangrijk te begrijpen dat deze methode niet altijd de snelste oplossing biedt en dat er alternatieven zijn, zoals het gebruik van de geometrische stijfheidsmatrix, die snellere resultaten opleveren, maar mogelijk minder gedetailleerde inzichten bieden.

Een voorbeeld van zo’n analyse betreft een frame onder uniforme buiging, zoals weergegeven in Figuur 8.8. Dit frame wordt belast met een buigend moment Mza = Mzc (N.mm) en een schuifbelasting Fzb (N) van magnitude 5×10−5Mza5. De lengte van elk framelid is 240 mm. Vanwege de symmetrie van het frame wordt slechts de linkerhelft gemodelleerd. Het frame is beperkt in de rotatie om de x- en y-assen, evenals de vertaling langs de y- en z-assen. De berekeningen voor de kritieke belasting van het frame geven aan dat de benadering van de elastische stijfheidsmatrix betrouwbaar kan worden gebruikt om het post-buckling gedrag van het frame te traceren, hoewel dit ten koste gaat van een langere rekentijd vergeleken met methoden die gebruik maken van de geometrische stijfheidsmatrix (zoals P2C2).

Daarnaast is er een significante variatie in rekentijden afhankelijk van de benadering die wordt gekozen. Zo wordt in de berekeningen voor het frame met rechte hoeken, dat wordt belast met een kracht aan het vrije uiteinde, duidelijk dat de P1C1-benadering die de TPE-benadering (rigide driehoekige plaat elementen) gebruikt, langer duurt dan de benadering van de elastische balk, maar toch nauwkeuriger is in het traceren van het gedrag van het frame na instabiliteit. Dit wordt bevestigd door het feit dat de berekeningen voor de rigide TPE-benadering langer duren dan die voor de TRIC-benadering, hoewel het aantal iteraties per stap vergelijkbaar is. De extra rekentijd komt doordat de TPE-benadering zowel in-plane als out-of-plane krachten in de stijfheidsmatrices verwerkt, terwijl de TRIC-benadering alleen de in-plane krachten in overweging neemt.

Verder zijn er ook voorbeelden van gecompliceerdere structuren, zoals sferische en cilindrische schalen, die onder centrale belastingen worden getest. In deze gevallen wordt vaak gewerkt met een mesh van 8x8 of grotere resoluties om het gedrag van de schaal te modelleren. Bij de cilindrische schaal, zoals te zien is in Figuur 8.14, zorgt het gebruik van de rigide TPE-benadering opnieuw voor een langere rekentijd dan bij de TRIC-benadering, maar de resultaten blijven vergelijkbaar. Het is cruciaal om te begrijpen dat, hoewel de keuze van de benadering en de bijbehorende rekentijd van invloed zijn op de efficiëntie van de berekeningen, de keuze van de benadering altijd afhankelijk moet zijn van het doel van de analyse en de vereiste nauwkeurigheid.

In meer gedetailleerde voorbeelden, zoals de analyse van een dunne cilindrische schaal (zie Figuur 8.16), kan het halveren van de dikte van de schaal leiden tot een drastische afname van de draagcapaciteit, wat het belang onderstreept van het zorgvuldig selecteren van het type model en de bijbehorende parameters bij het uitvoeren van dergelijke analyses. Dit benadrukt dat de keuze van het model niet alleen invloed heeft op de rekentijd, maar ook op de fysische betekenis van de resultaten. Door verschillende benaderingen te vergelijken, kunnen ingenieurs de beste compromis vinden tussen rekentijd en nauwkeurigheid.

Het is essentieel te begrijpen dat, hoewel het gebruik van een complexe en gedetailleerde benadering zoals de TPE-matrix met alle in-plane en out-of-plane acties nauwkeuriger kan zijn, de keuze van een meer vereenvoudigde benadering, zoals de geometrische stijfheidsmatrix, een snellere oplossing biedt, maar mogelijk ten koste gaat van de gedetailleerde analyse van post-buckling gedrag en andere complexe structurele reacties. Het is de taak van de ingenieur om te bepalen welke benadering het beste past bij de eisen van het specifieke project, rekening houdend met de benodigde rekenkracht en de verwachte precisie van de resultaten.

Hoe wordt een MEMS-structuur gefabriceerd en welke uitdagingen komen daarbij kijken?
Wat maakt zeldzame vogeltrek zo fascinerend?
Hoe kunnen artefacten in berekende χ(2)-spectra van wateroppervlakken effectief worden geëlimineerd?