Come Applicare il Metodo di Averaging Stocastico ai Sistemi Dinamici Non Lineari

Un altro vantaggio del metodo di averaging stocastico è la possibilità di ridurre la dimensione del sistema, concentrandosi sui processi di risposta a bassa frequenza. Quando si analizza un sistema dinamico, le risposte veloci tendono ad annullarsi nel tempo, lasciando solo quelle lente. Per fare questo, si può ricorrere all'averaging nel dominio del tempo, sebbene questa operazione possa risultare complessa quando il sistema mostra un comportamento stocastico complesso. Un approccio pratico consiste nel sostituire l'averaging nel tempo con un averaging nello spazio, utilizzando l'ergodicità dei processi di risposta su determinati varietà.

Il metodo di averaging stocastico è basato su una teoria matematica sviluppata per i processi di Markov e le equazioni differenziali stocastiche. Se si considera un sistema descritto da una equazione differenziale stocastica come quella riportata nell'equazione (4.1), in cui le eccitazioni sono processi stocastici a banda larga, si può affermare che il sistema risponde come un processo di Markov. La soluzione approssimata di questo processo è data da un sistema di equazioni differenziali di Itô, come mostrato nell'equazione (4.2). In questo contesto, la matrice di deriva e la matrice di diffusione sono calcolate utilizzando l'averaging di ensemble e il trattamento delle funzioni di correlazione.

Le variabili $X_1$ e $X_2$ rappresentano, rispettivamente, la posizione e la velocità di un sistema, mentre $W_{g1}(t)$, $W_{g2}(t)$ e $W_{g3}(t)$ sono processi stocastici che modellano le eccitazioni esterne del sistema. La presenza del rumore bianco gaussiano nelle equazioni implica che il sistema sia soggetto a perturbazioni casuali, una condizione che è frequentemente osservata nei sistemi reali.

$$dX_1 = X_2 dt, \quad dX_2 = \left[ -\omega_0^2 X_1 - \alpha X_2 - \beta X_1^2 X_2 - \gamma X_2^3 + \pi K_{22} X_2 \right] dt + \sqrt{2\pi} \left[ K_{11} X_1^2 + K_{22} X_2^2 + \frac{1}{2} K_{33} \right] dB(t)$$

Attraverso l'applicazione della media stocastica, possiamo derivare un'equazione Itô per l'ampiezza $A(t)$, dove:

Qui, $m(A)$ e $\sigma(A)$ sono i coefficienti di deriva e diffusione, che vengono calcolati utilizzando i parametri del sistema. Questi coefficienti descrivono come l'ampiezza evolve nel tempo sotto l'influenza delle forze interne ed esterne.

$$p(A) = C \exp \left(-\frac{1}{2} \frac{m(A)}{\sigma^2(A)} \right)$$

Un aspetto importante da considerare è l'influenza del termine non lineare nel comportamento del sistema. La forza di restauro non lineare può influire significativamente sul ritorno del sistema quando la risposta è molto grande, impedendo che l'ampiezza cresca indefinitamente. Allo stesso tempo, l'esistenza di un eccitamento esterno può spingere il sistema lontano dal limite inferiore, creando una PDF stazionaria non triviale.

Per il lettore, è fondamentale capire che l'analisi stocastica non si limita alla risoluzione delle equazioni differenziali. La determinazione dei coefficienti di drift e diffusione richiede una comprensione profonda delle interazioni tra la forza di restauro del sistema e l'eccezione di rumore esterno. Inoltre, l'approccio stocastico non è sempre applicabile in modo diretto a sistemi con forze di restauro non lineari complesse. In questi casi, metodi più sofisticati, come la correzione di Wong-Zakai, possono essere necessari per ottenere una descrizione accurata del sistema. Questo aspetto è cruciale per applicazioni pratiche, dove le forze di restauro non lineari sono comuni.

In sintesi, l'analisi dei sistemi non lineari sotto eccitazioni stocastiche, come il rumore bianco gaussiano, richiede l'uso di tecniche avanzate di media stocastica per ridurre il sistema a un modello gestibile. Tuttavia, la scelta del modello dipende dalle caratteristiche specifiche del sistema e dalle sue forze di restauro. Il comportamento stazionario, la stabilità e le risposte ai perturbamenti esterni sono tutti influenzati da questi fattori e devono essere presi in considerazione nella modellizzazione e nella simulazione dei sistemi reali.

Come Calcolare le PDF Stazionarie e i Valori di Media Quadratica in Sistemi Hamiltoniani Quasi-Integrabili con eccitazioni stocastiche

Nel contesto dei sistemi Hamiltoniani stocastici quasi-integrabili, l'analisi della distribuzione di probabilità stazionaria (PDF) e dei valori di media quadratica è fondamentale per comprendere il comportamento statistico a lungo termine del sistema. In particolare, consideriamo il sistema descritto dall'equazione (7.11), il quale può essere analizzato utilizzando i metodi di media stocastica per ottenere le distribuzioni di probabilità marginali e le attese dei quadrati delle variabili originali. Il calcolo della PDF marginale stazionaria p(h) e dei valori di media quadratica come E[Q²] ed E[P²] può essere effettuato come segue:

Partendo dall'espressione della PDF congiunta p(q1, q2, p1, p2), possiamo ottenere la PDF marginale p(h) applicando una media temporale e integrando sulle variabili momentanee. La funzione di densità di probabilità stazionaria p(h) si presenta come:

Per calcolare i valori di media quadratica, bisogna integrare sui quadrati delle variabili di posizione e momento:

$$E[Q1^2] = \int_{ -\infty}^{\infty} \int_{ -\infty}^{\infty} q1^2 p(q1, q2) \, dq1 \, dq2$$

Queste espressioni permettono di ottenere informazioni importanti sulla distribuzione di probabilità del sistema e sul comportamento medio delle grandezze fisiche di interesse. Un aspetto fondamentale è che, come mostrato dalle simulazioni, la PDF stazionaria p(h) derivata dall'equazione stocastica media (7.15) è praticamente identica a quella ottenuta dal sistema originale (7.11). Tuttavia, la simulazione del sistema medio risulta significativamente più rapida, con un tempo di calcolo ridotto rispetto al sistema originale.

In seguito, è possibile esaminare il caso dei sistemi Hamiltoniani quasi-integrabili, dove il sistema è non risonante e integrabile. In questa situazione, gli integrali primi del sistema sono indipendenti e in involuzione, e le equazioni stocastiche frazionarie che governano questi integrali si derivano come mostrato nell'equazione (7.18). Questo approccio consente di semplificare la dinamica del sistema, riducendo la complessità computazionale e permettendo di ottenere le PDF stazionarie attraverso simulazioni Monte Carlo.

Per un sistema integrabile non risonante, come descritto nell'equazione (7.19), le variabili di azione angolo, che sono correlate agli integrali primi, possono essere utilizzate per derivare le equazioni stocastiche frazionarie che governano il sistema. Queste equazioni, attraverso il principio di media stocastica, consentono di ottenere una descrizione accurata del comportamento del sistema su lunghi periodi di tempo, portando alla determinazione della PDF stazionaria approssimativa per il sistema originale (7.26).

Infine, un esempio pratico di sistema Hamiltoniano quasi-integrabile con eccitazioni stocastiche fBm è fornito dall'esempio 7.2. In questo caso, due oscillatori lineari accoppiati sono soggetti a smorzamenti lineari e non lineari e a forzamenti stocastici, descritti dalle equazioni (7.27). L'analisi di questo sistema evidenzia l'importanza di una trattazione dettagliata delle equazioni di movimento in termini di variabili di azione-angolo e della conseguente riduzione della complessità mediante metodi di media stocastica.

Oltre agli aspetti tecnici relativi al calcolo delle distribuzioni di probabilità e dei valori attesi, è cruciale per il lettore comprendere l'efficacia dei metodi di media stocastica e delle simulazioni Monte Carlo in contesti dove la velocità di calcolo è un fattore limitante. Questi strumenti permettono di ottenere risultati numerici accurati in tempi relativamente brevi, rendendo possibile l'analisi di sistemi complessi che sarebbero altrimenti difficili da trattare con approcci tradizionali.

Come Simulare Sistemi Hamiltoniani Quasi-Integrabili con Metodi di Averaging Stocastico

I sistemi Hamiltoniani quasi-integrabili rappresentano una classe di sistemi dinamici che, sebbene non completamente integrabili, mostrano comportamenti che possono essere analizzati mediante tecniche di averaging stocastico. Tali metodi consentono di ottenere una descrizione approssimativa dei sistemi complessi, riducendo significativamente i tempi di calcolo necessari per simulazioni numeriche.

Il sistema descritto in questo capitolo è un sistema Hamiltoniano non-resonante, che presenta due variabili angolari che interagiscono in modo complesso. La caratteristica principale di questi sistemi è la presenza di processi stocastici che descrivono l'evoluzione del sistema in un intervallo di tempo continuo. Il metodo di averaging stocastico si applica a sistemi con molte variabili di stato, riducendo la complessità a un insieme di equazioni che descrivono l'andamento delle variabili di stato mediate.

$$dI_1 = m_1(I_1, H_2) dt + \sigma_{11}(I_1, H_2) dB_{H_1}(t)$$

Le variabili $I_1$ e $H_2$ sono legate agli angoli e alle posizioni del sistema, mentre i termini $m_1$ e $m_2$ rappresentano le funzioni di drift, che descrivono l'andamento deterministico del sistema. I termini $\sigma_{11}$ e $\sigma_{22}$ rappresentano le funzioni di diffusione, che governano la componente stocastica del sistema. Le variabili $B_{H_1}(t)$ e $B_{H_2}(t)$ sono i processi di Wiener, che modellano il rumore stocastico nel sistema.

L'utilizzo dell'averaging stocastico permette di ridurre il numero di simulazioni necessarie per descrivere accuratamente il comportamento del sistema. La simulazione numerica dell'equazione media (7.74) richiede significativamente meno tempo rispetto alla simulazione del sistema originale (7.70). In particolare, per 10.000 campioni, la simulazione del sistema medio richiede solo 23 secondi, mentre quella del sistema originale richiede circa 62 secondi. Questo notevole risparmio di tempo rende l'approccio basato sull'averaging stocastico particolarmente utile per la previsione delle risposte di sistemi complessi.

Tuttavia, è importante notare che, sebbene il metodo di averaging riduca il tempo di simulazione, esso introduce anche un errore di approssimazione. Questo errore dipende dalle caratteristiche del sistema e dal grado di integrabilità del sistema stesso. Quando il sistema è parzialmente integrabile o presenta risonanze interne, il metodo di averaging stocastico deve essere utilizzato con attenzione, poiché l'approssimazione potrebbe non catturare completamente i fenomeni di risonanza.

Nel caso di sistemi parzialmente integrabili e risonanti, come descritto dall'equazione (7.78), le relazioni di risonanza debbono essere tenute in considerazione per evitare approssimazioni errate. In particolare, la risonanza può influenzare la dinamica del sistema, portando a fenomeni non lineari che devono essere trattati separatamente rispetto agli altri termini del sistema.

L'analisi dei sistemi Hamiltoniani quasi-integrabili richiede anche una comprensione profonda del comportamento delle soluzioni stazionarie. In molti casi, la funzione di densità di probabilità stazionaria può essere ottenuta integrando le soluzioni analitiche o numeriche del sistema. Questa procedura permette di ottenere statistiche che descrivono il comportamento a lungo termine del sistema, come i valori medi delle variabili di stato.