Nel contesto dei problemi inversi, è noto che la conoscenza del campo di spostamento su un insieme di tempo e spazio arbitrariamente piccolo è sufficiente per identificare univocamente la funzione forzante che agisce su un sistema elastico, come nel caso di una trave modellata dall'equazione di Euler-Bernoulli. Per mostrare questa affermazione, possiamo utilizzare il concetto di distribuzioni quasi-periodiche, un approccio che ha trovato applicazione in vari problemi di ingegneria strutturale.

Partiamo dal caso di una trave semplicemente supportata, descritta da un’equazione differenziale parziale che include la distribuzione di carico come funzione separabile nel tempo e nello spazio, g(t)h(x)g(t)h(x), dove g(t)∈C1[0,T]g(t) \in C^1[0,T] è una funzione temporale nota, e h(x)h(x) è la distribuzione spaziale del carico, la quale rappresenta la nostra incognita nel problema inverso. L’equazione che governa il comportamento della trave è la seguente:

ρ∂2u∂t2+EI∂4u∂x4=g(t)h(x),(t,x)∈(0,T)×(0,L)\rho \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} + EI \frac{\partial^4 u}{\partial x^4} = g(t) h(x), \quad (t, x) \in (0,T) \times (0,L)

dove u(t,x)u(t, x) è lo spostamento, ρ\rho è la densità di massa, ed EIEI è la rigidità della trave. I vincoli al contorno sono definiti per tutti i valori di tt e xx. L’obiettivo è dimostrare che la conoscenza del campo di spostamento in un insieme temporale e spaziale arbitrariamente piccolo determina univocamente la funzione h(x)h(x).

Per fare ciò, esprimiamo la soluzione u(t,x)u(t, x) come una distribuzione quasi-periodica nel senso di Bohr, utilizzando una rappresentazione in serie di Fourier che include le funzioni proprie Sn(x)S_n(x), con n∈Nn \in \mathbb{N}, e gli esponenti λn\lambda_n associati alla trave. La soluzione assume la forma:

u(t,x)=∑n∈NanSn(x)eiλntu(t, x) = \sum_{n \in \mathbb{N}} a_n S_n(x) e^{i\lambda_n t}

dove i coefficienti ana_n sono numeri complessi appartenenti a uno spazio ℓ2\ell^2. Se la sequenza degli esponenti λn\lambda_n è uniformemente discreta e cresce secondo una legge di ordine O(nα)O(n^\alpha), con α≥1\alpha \geq 1, allora i coefficienti ana_n possono essere identificati utilizzando un teorema di tipo Fourier. La conoscenza di questi coefficienti permette quindi di recuperare la funzione forzante h(x)h(x).

Un aspetto importante di questo approccio è che l’operatore che mappa i coefficienti (an)(a_n) nella soluzione u(t,x)u(t, x) è lineare. Pertanto, per dimostrare che i dati di spostamento raccolti in un sottoinsieme temporale e spaziale arbitrariamente piccolo determinano univocamente la funzione spaziale del carico h(x)h(x), è sufficiente dimostrare che u(t,x)≡0u(t, x) \equiv 0 implica che tutti i coefficienti cnc_n siano nulli. Questo può essere fatto utilizzando una funzione di test e derivando l’equazione risultante, che porta a una forma integrale del tipo di Volterra, la quale impone la nullità dei coefficienti cnc_n per ogni nn.

Un altro esempio interessante riguarda l’applicazione di questo metodo alle vibrazioni trasversali di una ragnatela di ragno finita, sottoposta a una forza esterna del tipo F(r,θ,t)=g(t)f(r,θ)F(r, \theta, t) = g(t) f(r, \theta), dove rr e θ\theta sono le coordinate polari e g(t)g(t) è una funzione temporale, mentre f(r,θ)f(r, \theta) descrive il carico spaziale. In questo caso, il dominio della ragnatela è un disco di raggio RR con un punto di supporto centrale. La soluzione del problema differenziale che descrive il comportamento della ragnatela può essere rappresentata come una somma di distribuzioni quasi-periodiche, separando le componenti spaziali radiali e angolari.

Nel caso della ragnatela, i vettori propri del problema sono definiti come funzioni sinusoidali radiali e angolari, e le frequenze proprie sono stimate asintoticamente per valori grandi di mm, dove la frequenza cresce come λm∼mπ\lambda_m \sim m\pi per m→+∞m \to +\infty. Utilizzando un procedimento simile a quello descritto per la trave, possiamo ricavare la funzione spaziale del carico, espressa in termini di una somma di funzioni di base radiali e angolari, che possono essere identificate a partire dai dati di spostamento.

Questi esempi dimostrano come le distribuzioni quasi-periodiche possano essere un potente strumento per la soluzione di problemi inversi in meccanica dei solidi, offrendo una via per determinare un carico forzante sconosciuto conoscendo solo il campo di spostamento in un dominio di tempo e spazio limitato.

Come stimare la dimensione delle inclusioni in problemi inversi: Metodi e applicazioni

La determinazione di una stima superiore per .|̃| non è un compito semplice. Un primo ostacolo è rappresentato dalla presenza della soluzione perturbata, u, sul lato sinistro dell'equazione (154), che dipende anche dall'inclusione sconosciuta .̃. Questa difficoltà può essere superata utilizzando un argomento ingegnoso proposto da Kang et al. (1997), che sfrutta la struttura quadratica degli integrali energetici e consente di sostituire .u con .u0, moltiplicato per un fattore .1/2:

∫∫12∣∇u0∣2≤W0−W≤∣∇u0∣\int \int \frac{1}{2} |\nabla u_0|^2 \leq W_0 - W \leq |\nabla u_0|

Questo passaggio semplifica notevolmente la stima, ma non risolve completamente il problema della stima inferiore di .|∇u0|², che è difficile, se non impossibile, da determinare, dato che .∇u0 può annullarsi all'interno dell'inclusione .. Una possibilità ovvia per evitare questa complicazione è scegliere la densità di corrente ϕ sul confine in modo tale che il gradiente non si annulli, per esempio, scegliendo ϕ = e · ν su ∂, il che implica che .∇u0 ≡ e, dove e è un vettore unitario nello spazio .R^n. Tuttavia, questa scelta potrebbe non essere facilmente applicabile nella pratica. Inoltre, la presenza di una conduttività non perfettamente uniforme del corpo richiede un approccio più generale al problema.

Per queste ragioni, uno dei principali temi alla base dell'approccio alle stime delle dimensioni è proprio la quantificazione della velocità di annullamento di .|∇u0|² nei punti interni di .. Questo aspetto è trattato nel paragrafo successivo e sarà esplorato più dettagliatamente per il problema della nanopiastra nella Sezione 4.6.

Un altro strumento fondamentale per controllare la velocità di annullamento di .|∇u0|² all'interno di . sono le stime quantitative di continuità unica, che si esprimono tramite l'ineguaglianza delle tre sfere (Landis 1963) e l'ineguaglianza di raddoppio (Garofalo e Lin 1986) per le soluzioni del problema non perturbato (152). Per introdurre queste disuguaglianze in termini locali, supponiamo di avere un raggio r̄ > 0 e definiamo .r̄ come l'insieme di punti x appartenenti a . per cui la distanza di x dal confine ∂ è maggiore di r̄. La disuguaglianza delle tre sfere afferma che per ogni r1, r2, r3, r̄ con 0 < r1 < r2 < r3 ≤ r̄ e per ogni punto x0 ∈ .r̄, si ha:

∫Br2(x0)∫Br3(x0)∣∇u0∣2≤C∫Br1(x0)∣∇u0∣2\int_{\mathbf{B}_{r2}(x0)} \int_{\mathbf{B}_{r3}(x0)} |\nabla u_0|^2 \leq C \int_{\mathbf{B}_{r1}(x0)} |\nabla u_0|^2

dove C è una costante positiva e δ, con 0 < δ < 1, dipende da r1 e r2. D'altra parte, l'ineguaglianza di raddoppio stabilisce che per ogni raggio r, con 0 < 4r ≤ r̄, e per ogni x0 ∈ .r̄:

∫B2r(x0)∣∇u0∣2≤C∫Br(x0)∣∇u0∣2\int_{\mathbf{B}_{2r}(x0)} |\nabla u_0|^2 \leq C \int_{\mathbf{B}_{r}(x0)} |\nabla u_0|^2

dove C è una costante positiva che dipende dalla funzione u0 ma non da r. Combinando queste proprietà di continuità unica con un'altra formulazione detta propagazione Lipschitziana della piccolezza, si può dimostrare che, se i dati al confine ϕ non oscillano troppo, allora la velocità di annullamento di .|∇u0|² all'interno di . non può essere troppo elevata. Più precisamente, si ottiene che se il rapporto chiamato frequenza di ϕ è pre-limitato, allora per ogni sottoinsieme compatto K di . esiste un p > 1 tale che .|∇u0|²^(p−1) è integrabile su K. Di conseguenza, si ottiene un limite superiore per .|̃| come:

|\mathbf{̃|} \leq C \left( \frac{W_0 - W}{p} \right)

dove p dipende dalla frequenza F[ϕ]. Va notato esplicitamente che queste stime si applicano a insiemi .̃ arbitrariamente misurabili, senza restrizioni topologiche sulla forma o condizioni di regolarità sul confine. L'unica ipotesi è quella espressa in (155).

In seguito, esploreremo il problema inverso delle stime delle dimensioni per una nanopiastra.

Nell'ambito del problema diretto di Neumann per una nanopiastra, consideriamo una nanopiastra . × (− t/2, t/2), con la superficie centrale . rappresentata da un dominio limitato in .R² e con spessore costante t, dove t è molto minore del diametro di .. Si assume che il confine .∂ di . sia di classe .C²,1 con costanti r₀, M₀ e che |.| ≤ M₁r₀². La configurazione del problema statico di equilibrio per una nanopiastra Kirchhoff-Love, caricata al confine e sotto forze del corpo trascurabili, è descritta dal seguente problema di valori al contorno di Neumann:

h (M_{\alpha\beta} + M_{\alpha\beta\gamma,\gamma}),\alpha\beta = 0 \quad \text{in} \, \mathbf{}
h(Mαβ+Mαβγ,γ),αnβ+((Mαβ+Mαβγ,γ)nατβ),s+(Mαβγτατβnγ),ss−(⋯ )h (M_{\alpha\beta} + M_{\alpha\beta\gamma,\gamma}),\alpha n\beta + \left( (M_{\alpha\beta} + M_{\alpha\beta\gamma,\gamma}) n\alpha \tau\beta \right),s + (M_{\alpha\beta\gamma} \tau\alpha \tau\beta n\gamma),ss - \left( \cdots \right)

L’analisi continua con la formulazione del problema, ma richiede particolare attenzione alla variazione della base locale .(n, τ) in presenza di confini curvi, un aspetto spesso trascurato nella letteratura.

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