Come si valuta la stabilità e la natura della variazione comune tra due variabili?

Per una comprensione quantitativa della variazione comune tra due variabili, è indispensabile adottare un’analisi grafica che consenta di identificare l’estensione e la distribuzione dei dati campionari. Questo permette di valutare la stabilità della relazione e di giudicare se il campione rappresenti adeguatamente la distribuzione della popolazione. Un campione con un intervallo di valori limitato rischia di fornire una relazione instabile, non trasferibile all’intera popolazione. Nel caso in cui l’intervallo del campione sia molto più ridotto rispetto a quello previsto per la popolazione, una piccola variazione nella pendenza della relazione può causare grandi oscillazioni nelle stime previste per i valori estremi della popolazione.

L’analisi grafica di due variabili casuali è uno strumento essenziale per rilevare potenziali problemi di stabilità dovuti all’estensione limitata del campione, specialmente quando si tenta di estendere la relazione oltre i dati osservati. Inoltre, l’identificazione di eventi estremi all’interno del campione assume un ruolo cruciale. Tali eventi possono dominare la relazione calcolata tra le variabili, alterando significativamente il coefficiente di correlazione. Ad esempio, un punto estremo può indurre un’illusione di correlazione elevata, quando in realtà la maggior parte dei dati mostra un comportamento diverso, o viceversa, deteriorare una correlazione reale. La sensibilità del coefficiente di correlazione a valori anomali aumenta al diminuire della dimensione del campione.

È altresì fondamentale determinare la natura degli eventi estremi: possono derivare da errori di misurazione o rappresentare osservazioni legittime poste nelle code della distribuzione. Solo dopo aver chiarito l’origine di tali punti si può interpretare correttamente l’analisi della correlazione.

Le relazioni tra variabili possono essere lineari o non lineari e distinguere tra queste forme è indispensabile, poiché i metodi statistici e i coefficienti di correlazione più comuni, come quello di Pearson, sono progettati per catturare associazioni lineari. Relazioni non lineari evidenti possono invece risultare in coefficienti di correlazione bassi, non riflettendo la reale prevedibilità del rapporto tra le variabili. L’uso del grafico è quindi utile anche per identificare la forma della relazione, distinguendo tra trend diretti e indiretti, e per valutare la coerenza fisica della relazione, soprattutto in contesti multidimensionali.

È importante inoltre considerare che una variabile apparentemente correlata con un’altra può mostrare una relazione illogica se influenzata da una terza variabile dominante. Ad esempio, se l’evaporazione è influenzata dal vento ma le condizioni di vento forte si verificano in giornate fredde, si potrebbe osservare una correlazione negativa tra evaporazione e velocità del vento, contraddicendo la relazione fisica attesa.

La correlazione tra due variabili rappresenta il grado di associazione tra i dati raccolti su queste variabili. Il coefficiente di correlazione di Pearson è quello più utilizzato per misurare quantitativamente questa associazione lineare. Tuttavia, esistono anche indici non parametrici come i coefficienti di Spearman e Kendall, utili in presenza di dati non lineari o ordinali.

La variazione totale osservata in una variabile può essere scomposta in due componenti: quella spiegata dalla variazione in una seconda variabile e quella non spiegata. Questa separazione è fondamentale per comprendere quanto del comportamento della variabile di interesse può essere attribuito alla variabile esplicativa. Se la variazione non spiegata è elevata, la relazione è poco significativa e il modello di regressione risulta poco utile.

I dati rappresentati graficamente permettono di visualizzare la varianza complessiva e di distinguere la porzione di varianza spiegata dalla relazione lineare rispetto a quella residuale. In un caso ideale, tutti i punti cadrebbero sulla linea di regressione, implicando che tutta la variazione è spiegata dal modello. Invece, più i punti si discostano dalla linea, maggiore sarà la componente di variazione non spiegata, e più debole risulterà la relazione tra le variabili.

È quindi indispensabile non limitarsi alla mera computazione dei coefficienti, ma comprendere la natura, la distribuzione e le peculiarità dei dati per interpretare correttamente le relazioni statistiche tra variabili. La stabilità della relazione, l’effetto degli eventi estremi, la forma della relazione e l’influenza di variabili confondenti devono essere sempre attentamente valutati per evitare conclusioni errate o fuorvianti.

La comprensione approfondita di questi aspetti garantisce un uso più consapevole e rigoroso della regressione e della correlazione, strumenti fondamentali per analisi quantitative e decisioni basate su dati reali.

Quanto rischio è accettabile nella progettazione e gestione dei sistemi complessi?

L’analisi del rischio non può essere concepita come un’attività statica. È un processo dinamico, vivo, che deve essere continuamente riesaminato, aggiornato, calibrato. Ogni azione, ogni omissione in una parte del sistema può alterare significativamente il livello di rischio in un’altra, ed è proprio questa interdipendenza che richiede una vigilanza costante. La sicurezza di un sistema non può essere garantita una volta per tutte, ma va costruita, mantenuta e adattata nel tempo.

La combinazione degli elementi che costituiscono un sistema può migliorare o compromettere la sua affidabilità. Per questo motivo, è necessario considerare sia la probabilità di accadimento di un evento che le sue conseguenze. Le tecnologie basate sul rischio (Risk-Based Technology, RBT) adottano un approccio articolato in tre attività fondamentali: valutazione del rischio, gestione del rischio e comunicazione del rischio. Solo attraverso l’applicazione coerente di queste attività è possibile definire linee guida e requisiti che mantengano i pericoli entro limiti accettabili.

La valutazione del rischio è un processo tecnico-scientifico in cui i rischi vengono modellati e quantificati per un determinato sistema. Essa fornisce dati qualitativi e quantitativi per supportare le decisioni nella fase successiva, ovvero quella della gestione del rischio. Le tecniche di valutazione possono essere qualitative o quantitative: le prime si basano sull’esperienza degli esperti, mentre le seconde fanno uso di metodi statistici e banche dati. Esempi di metodi qualitativi includono audit di sicurezza, checklist, analisi "what-if", PrHA e HAZOP; tra quelli quantitativi troviamo FMEA, FTA ed ETA. La scelta del metodo dipende dalla disponibilità dei dati e dal livello di familiarità degli analisti con le tecniche adottate.

La gestione del rischio è la fase in cui si prendono decisioni operative e strategiche sulla base dei risultati della valutazione del rischio. Le configurazioni dei sistemi, i parametri operativi, le modifiche regolamentari vengono stabiliti per mantenere sotto controllo i rischi e garantire il funzionamento sicuro del sistema. Ma la decisione non si basa solo sul rischio: entrano in gioco anche fattori economici, politici, ambientali, legali, di producibilità, affidabilità e sicurezza. Questo rende la gestione del rischio un processo complesso e multilivello, in cui le priorità spesso si scontrano.

Stabilire quanto un rischio sia "accettabile" è una delle questioni più controverse. Non esiste una soglia univoca: ciò che è considerato tollerabile in un contesto può essere inaccettabile in un altro. La percezione del rischio è influenzata da fattori culturali, sociali e psicologici. Per questo, i criteri di accettazione del rischio non possono essere definiti esclusivamente in termini numerici. I valori accettabili sono spesso impliciti, riflessi nelle scelte progettuali e gestionali lungo l’intero ciclo di vita del sistema.

Sono stati sviluppati diversi metodi per aiutare a definire questi livelli accettabili: i fattori di conversione del rischio che interpretano le attitudini del pubblico; la curva di Farmer, che rappresenta graficamente le zone di accettabilità e non accettabilità del rischio; le preferenze rivelate, che mettono a confronto esposizioni volontarie e involontarie al rischio; l’analisi della magnitudine delle conseguenze, che valuta la probabilità rispetto alla gravità; l’efficacia del rischio, che considera il rapporto costo/beneficio nella riduzione del rischio; e infine il confronto tra rischi simili in diversi settori o attività.

In alcuni ambiti esistono soglie definite per il rischio accettabile, frutto di decisioni normative e scientifiche condivise. L’industria nucleare statunitense, ad esempio, impone che la probabilità di un rilascio radioattivo significativo sia inferiore a 10⁻⁶ all’anno. Per molti altri settori, però, le soglie non sono esplicite: sono incorporate nelle pratiche progettuali esistenti e nei criteri normativi impliciti.

Nella progettazione ingegneristica, questi livelli impliciti vengono tradotti in livelli di affidabilità obiettivo. Essi costituiscono una misura di rischio accettabile, espressa in termini di probabilità di guasto, che non considera esplicitamente le conseguenze. Tali livelli vengono utilizzati per calibrare i codici strutturali, assumendo che la società abbia già accettato implicitamente quei livelli di rischio. Le future norme progettuali possono quindi basarsi su tali livelli, adeguando le metodologie per garantire coerenza in termini di affidabilità.

I metodi di progettazione basati sul rischio, sia a livello di sistema che di componente, devono essere compatibili con questi livelli target. Essi si fondano sulla modellazione dell’incertezza e sull’analisi statistica. Tuttavia, troppo spesso è solo a seguito di una catastrofe che si interviene concretamente sulle questioni di sicurezza.

È cruciale comprendere che la definizione di sicurezza accettabile è un costrutto sociale e tecnico al tempo stesso. Non è sufficiente progettare un sistema tecnicamente affidabile: è necessario che la percezione sociale del rischio, le aspettative normative e gli obiettivi etici convergano verso un equilibrio tra beneficio atteso e rischio tollerabile. La resilienza del sistema e la fiducia del pubblico dipendono da questa armonizzazione.

Come selezionare una strategia di ispezione tramite l'analisi decisionale

Il processo decisionale è al centro di molte attività industriali, specialmente quando si tratta di selezionare metodi e tecniche per garantire l'affidabilità di componenti e impianti. Una delle sfide più rilevanti consiste nella definizione delle variabili decisionali e dei possibili risultati che derivano dalle decisioni prese. In contesti come la manutenzione e l'ispezione, è fondamentale fare scelte informate che minimizzino i costi e ottimizzino i benefici.

Le variabili decisionali, ad esempio, possono riguardare il "quando" e il "come" eseguire ispezioni, quali metodi utilizzare, come valutare i danni rilevati e infine come decidere se riparare o sostituire un componente. Ogni volta che si assegna un valore a una di queste variabili, si sta effettivamente prendendo una decisione all'interno del processo decisionale. Questi momenti, in cui si prendono decisioni, sono definiti "nodi decisionali" e sono rappresentati nel modello con un simbolo rettangolare o quadrato (□).

Tuttavia, oltre alla scelta delle variabili, è necessario considerare i "nodi di opportunità", ovvero quegli eventi che accadono in maniera casuale e che non sono sotto il controllo diretto del decisore. Un esempio di nodo di opportunità può essere l'esito di un'ispezione, che può risultare in una "rilevazione" o "non rilevazione" di un danno. In questo caso, il risultato è incerto e deve essere associato a probabilità di accadimento, le quali sono fondamentali per il calcolo dei costi e delle conseguenze. I nodi di opportunità sono rappresentati con un cerchio (O), talvolta riempito di nero.

Ogni azione scelta all'interno di un processo decisionale ha delle conseguenze economiche, che si riflettono in costi diretti. Ad esempio, la scelta di un metodo di ispezione può comportare il costo di quella specifica operazione, mentre l'esito dell'ispezione, che potrebbe essere una rilevazione di danno o meno, può avere costi associati. È necessario associare a ciascun esito non solo i costi diretti, ma anche la probabilità che si verifichi. Le probabilità e le conseguenze sono strettamente legate, poiché i risultati non sono deterministici, ma casuali, e devono essere ponderati secondo la loro probabilità di accadimento.

Un modo utile per organizzare e analizzare le decisioni è l'uso degli "alberi decisionali". Un albero decisionale è una rappresentazione grafica che include sia i nodi decisionali che i nodi di opportunità. Ogni nodo decisionale è seguito da una serie di possibili azioni che il decisore può scegliere, mentre ogni nodo di opportunità è seguito dai possibili esiti che possono verificarsi indipendentemente dalla scelta del decisore. L’albero può essere utilizzato per calcolare il "costo atteso" di ogni possibile scenario. Ad esempio, in un impianto industriale, si può tracciare un albero decisionale per selezionare la strategia di ispezione migliore in base a probabilità e costi stimati.

Consideriamo un esempio pratico: la selezione di una strategia di ispezione per un componente di un impianto. La prima fase consiste nell'identificare il componente da ispezionare, che può essere scelto in base ad analisi dei rischi e dei guasti. Componenti a rischio elevato sono candidati ideali. Nel nostro esempio, supponiamo che il componente selezionato sia il guscio di un rigeneratore in una raffineria. La scelta della strategia di ispezione può basarsi su esperienze precedenti o sulla conoscenza delle caratteristiche del sistema. Per semplificare l'esempio, consideriamo tre strategie di ispezione candidate: ispezione visiva interna, ispezione visiva esterna e test ultrasonico interno ed esterno.

Ognuna di queste strategie avrà costi e probabilità associati. L'esito dell'ispezione può essere la "rilevazione" o la "non rilevazione" di un danno. Ad esempio, se si opta per l'ispezione visiva interna, la probabilità di rilevazione di un danno potrebbe essere del 60% e la probabilità di non rilevarlo del 40%. Se il danno viene rilevato, il costo dell'azione è nullo, ma se il danno non viene rilevato, si associano costi più elevati. Un ulteriore passaggio del modello prevede la valutazione del danno che potrebbe derivare dalla stessa ispezione: se si causa danno al componente durante l'ispezione, il costo è pari a una certa somma, ma se non viene causato danno, il costo è nullo.

L’albero decisionale permette di visualizzare questi scenari, associando a ciascuna ramificazione il costo totale atteso. Nel caso specifico, potremmo ottenere i seguenti risultati:

• Per la strategia 1 (ispezione visiva interna), il costo totale atteso potrebbe essere 45,0, dove il danno causato ha una probabilità del 5%.

• Per la strategia 2 (ispezione visiva esterna), il costo totale atteso potrebbe essere 51,08, con probabilità di danno pari al 5%.

• Per la strategia 3 (test ultrasonico interno ed esterno), il costo totale atteso potrebbe essere 17,0, una cifra più bassa rispetto alle altre due, sebbene ci siano altre variabili da considerare, come la precisione dell'ispezione.

L'analisi degli alberi decisionali permette, quindi, di selezionare la strategia che offre il miglior rapporto costo/beneficio, minimizzando i rischi e ottimizzando la sicurezza dell'impianto.

Quando si utilizza l'albero decisionale, è cruciale evitare di moltiplicare il costo delle azioni più volte attraverso i nodi di opportunità. Ogni costo deve essere conteggiato una sola volta per ogni ramificazione, per evitare distorsioni nei calcoli.

L'uso degli alberi decisionali non si limita però alla sola analisi dei costi. È possibile, infatti, adottare valori di utilità al posto dei costi, per analizzare la situazione da una prospettiva diversa. La teoria dell'utilità, che non viene trattata in questo esempio, permette di valutare l'interesse di un decisore rispetto a vari scenari, non solo in termini economici, ma anche in termini di preferenze e rischi percepiti.

Oltre alla selezione della strategia migliore, è fondamentale tenere in considerazione anche le implicazioni a lungo termine delle decisioni prese. Una scelta che sembra economicamente vantaggiosa oggi potrebbe avere costi futuri non considerati inizialmente. Per questo motivo, un'attenta analisi dei rischi e una buona pianificazione delle risorse sono essenziali per prendere decisioni informate e sostenibili nel tempo.

Come interpretare un grafico box-and-whisker e la sua applicazione nelle analisi dei dati

Il grafico box-and-whisker è uno strumento utile per visualizzare la distribuzione dei dati, evidenziando la tendenza centrale, la dispersione e gli eventuali valori anomali. Per costruire un tale grafico, è necessario calcolare alcune caratteristiche fondamentali di un insieme di dati, come la media, la mediana, i percentili, e i valori estremi. In particolare, il grafico box-and-whisker include i seguenti elementi: la media, la mediana, il minimo e il massimo del campione, e i valori dei percentili al 90%, 75%, 25%, e 10%.

Il box-and-whisker plot si compone di una scatola centrale, i cui limiti superiore e inferiore definiscono i percentili al 75% e al 25%, mentre le "baffi" si estendono dalle estremità della scatola fino ai valori minimi e massimi, come illustrato nell'esempio relativo alla concentrazione massima di ozono giornaliera. I percentili al 90% e al 10% sono rappresentati da barre perpendicolari alla scatola, che ne evidenziano la posizione relativa. La media e la mediana sono indicate da linee continue e tratteggiate, rispettivamente, che attraversano tutta la larghezza della scatola. Nel caso in cui vengano presentati più grafici box-and-whisker per il confronto, la larghezza della scatola può anche riflettere la dimensione del campione, con la scatola che si allarga all'aumentare della dimensione campionaria.

Un esempio interessante riguarda il confronto di più laboratori che analizzano la concentrazione di una sostanza chimica tossica, come mostrato nel grafico relativo ai quattro laboratori. In questo caso, ogni laboratorio ha un diverso livello di errore, che si riflette nella distanza tra la linea della media e quella dell'errore pari a zero. In laboratorio 1, ad esempio, si osserva una tendenza a sovrastimare la concentrazione, mentre in laboratorio 2 il risultato è più variabile, con molti valori sottostimati.

Va inoltre sottolineato che quando si deriva un grafico box-and-whisker da un campione, ogni statistica (ad esempio, la media, la mediana, il 25° percentile) rappresenta una stima basata sul campione e non un valore esatto. Pertanto, il valore esatto potrebbe essere maggiore o minore rispetto a quanto indicato dal grafico, ma si prevede che l'accuratezza aumenti all'aumentare della dimensione del campione. Questo è un aspetto fondamentale da comprendere: le statistiche descrittive fornite da un campione sono soggette a incertezze che dipendono dalla sua dimensione.

Un altro aspetto cruciale da comprendere è la dispersione dei dati. Due campioni con la stessa media possono presentare livelli di dispersione molto diversi, come evidenziato nell'esempio dei due campioni casuali. La varianza, la deviazione standard e il coefficiente di variazione sono indicatori fondamentali per misurare la dispersione dei dati. Un campione con una varianza più alta indica una maggiore dispersione, il che può riflettere sia la variabilità naturale dei dati che la difficoltà di misurazione accurata. Tuttavia, la variazione può essere anche desiderabile in alcuni casi, in quanto assicura che il campione rappresenti una gamma più ampia di valori della popolazione sottostante.

Nel contesto di analisi di dati idrologici, come nel caso del fiume Little Patuxent, il confronto tra la stage (profondità del flusso) e la portata (volume del flusso) evidenzia come la dispersione nella portata sia significativamente maggiore rispetto alla stage. Questo viene indicato dal Coefficiente di Variazione (COV), che per la portata è molto più alto, suggerendo una maggiore variabilità nei dati relativi al flusso del fiume. Inoltre, l'asimmetria dei dati della portata, con la media distante dalla mediana, riflette una distribuzione fortemente inclinata, mentre i dati sulla stage mostrano una distribuzione più simmetrica.

Quando si analizzano questi grafici, è fondamentale considerare non solo i valori centrali, ma anche la distribuzione complessiva dei dati e come questa possa influenzare le conclusioni che possiamo trarre. Un'alta dispersione, ad esempio, potrebbe suggerire la necessità di ulteriori analisi o l'influenza di fattori esterni non controllati. Al contrario, una distribuzione concentrata attorno alla media potrebbe indicare una certa precisione nei dati raccolti. L'importanza di questi grafici risiede nella capacità di esaminare la variabilità e la distribuzione dei dati, piuttosto che fermarsi a una semplice media o mediana.

Come Comprendere la Funzione di Distribuzione Cumulativa (CDF) e le Variabili Casuali Multiple

La funzione di distribuzione cumulativa (CDF) per una variabile casuale continua, come definito dalla sua funzione densità congiunta, è uno strumento cruciale per descrivere le probabilità accumulate fino a un certo valore di una variabile. La CDF, $F_X(x)$, di una variabile casuale continua soddisfa diverse proprietà fondamentali che ne garantiscono la coerenza e l'utilità nelle applicazioni pratiche. Innanzitutto, è necessario ricordare che la funzione di distribuzione cumulativa deve essere sempre crescente e deve variare da zero a uno man mano che la variabile casuale $X$ si sposta da $-\infty$ a $+\infty$.

Le seguenti proprietà sono fondamentali per la CDF:

1. $F_X(-\infty) = 0$, il che implica che non c'è probabilità che la variabile assuma un valore inferiore a $-\infty$.

2. La funzione è non negativa e non decrescente.

3. La funzione tende a 1 quando $x \to +\infty$, ovvero la probabilità che la variabile casuale $X$ assuma un valore inferiore a $+\infty$ è sempre 1.

4. La funzione di distribuzione congiunta di più variabili casuali è ottenibile derivando la CDF congiunta rispetto a ciascuna delle variabili. Se $X_1, X_2, \dots, X_n$ sono variabili casuali, la densità congiunta può essere espressa come il derivato parziale di $F_X(x)$ rispetto a ogni variabile.

Nel caso di variabili casuali multiple, la funzione di distribuzione congiunta è un oggetto più complesso. Tuttavia, una volta che la CDF congiunta è definita, è possibile ottenere la densità congiunta $f_X(x_1, x_2, \dots, x_n)$ calcolando i derivati parziali della funzione CDF congiunta.

Un aspetto interessante riguarda la condizione di indipendenza tra le variabili casuali. Quando due variabili casuali, come $X_1$ e $X_2$, sono statisticamente indipendenti, la loro densità congiunta si separa nel prodotto delle rispettive densità marginali. Questo concetto si estende naturalmente a più di due variabili casuali. In pratica, se $X_1$ e $X_2$ sono indipendenti, la densità congiunta si esprime come:

Questo implica che conoscere il valore di una delle variabili non fornisce alcuna informazione sul valore dell’altra.

Nel contesto di variabili casuali non correlate, la densità condizionale di $X_1$ dato $X_2$ è la stessa della densità di $X_1$ non condizionata, ossia:

Similmente, la densità condizionale di $X_2$ dato $X_1$ sarà uguale alla densità di $X_2$ non condizionata. Quindi, per variabili non correlate, la conoscenza del valore di una variabile non influisce sulla probabilità dell'altra.

In un esempio pratico, si consideri un sistema di controllo automatizzato che dipende da due componenti con tempi di guasto $X$ e $Y$. Se i tempi di guasto sono esponenzialmente distribuiti e il tempo di guasto di $X$ è tre volte maggiore di quello di $Y$, la funzione di densità congiunta suggerita sarebbe:

Dove $c$ è una costante che può essere determinata integrando la funzione di densità su tutto lo spazio dei possibili valori di $x$ e $y$, con il vincolo che l'integrale dell'intera funzione di densità deve essere pari a 1 (per garantire che si tratti di una funzione di probabilità valida).

Le distribuzioni marginali di $X$ e $Y$ sono ottenute integrando la densità congiunta rispetto all'altra variabile. Nel caso sopra, le distribuzioni marginali di $X$ e $Y$ sono rispettivamente:

Nel caso di variabili non correlate, la probabilità che $X$ sia maggiore di $Y$ può essere calcolata integrando la densità congiunta in modo opportuno, ottenendo:

Questo risultato è consistente con l'asserzione che il tempo di guasto di $X$ è tre volte maggiore rispetto a $Y$, e quindi si verifica una relazione diretta tra le due variabili.

Oltre alla comprensione delle funzioni di distribuzione, è fondamentale avere familiarità con il concetto di momenti condizionati, covarianza e coefficienti di correlazione. In generale, il momento di ordine $k$ di una variabile casuale continua $X$ può essere espresso come l'integrale della variabile elevata alla potenza $k$ moltiplicata per la densità congiunta di $X$:

Nel caso di due variabili, la varianza condizionata di $X_1$ dato $X_2$ viene calcolata come:

dove $\mu_{X_1 | X_2}$ è la media condizionata di $X_1$ dato $X_2$. La varianza totale di $X_1$, infine, può essere espressa come una somma di varianze condizionate e della varianza della media condizionata.

Questi concetti sono cruciali per analizzare e modellare sistemi complessi, come quelli in ingegneria, dove più variabili casuali interagiscono. La comprensione delle densità marginali e condizionali, così come della covarianza e della correlazione, permette di descrivere in modo preciso le relazioni tra le variabili e le loro interdipendenze.