Come risolvere il flusso laminare in condotti: Soluzione diretta e FFT

Il flusso laminare in un condotto è un argomento fondamentale nella meccanica dei fluidi e nella progettazione di sistemi di trasporto di fluidi, come nelle applicazioni industriali. Due approcci principali possono essere utilizzati per risolvere il profilo di velocità del flusso laminare: la soluzione diretta e l'uso della Trasformata di Fourier (FFT). Ognuno di questi metodi ha le proprie peculiarità e vantaggi in base alla complessità del problema e alla geometria del condotto.

Nel caso di un flusso laminare in un condotto con condizioni al contorno di Dirichlet, l'equazione differenziale da risolvere è:

\frac{d^2 U}{dy^2} = -1, \quad U(y = \pm 1) = 0

Questa equazione descrive il profilo di velocità $U(y)$ , che può essere risolto sia direttamente tramite l'integrazione, sia con l'approccio della Trasformata di Fourier. Iniziamo con il primo metodo.

Soluzione diretta

La soluzione diretta dell'equazione differenziale viene ottenuta integrando due volte. L'integrazione diretta di:

\frac{d^2 U}{dy^2} = -1

porta al profilo di velocità

U(y) = \frac{1}{2}(1 - y^2)

Dove $U(y)$ rappresenta la velocità in funzione della posizione $y$ nel condotto. Calcolando il valore medio di $U$ , otteniamo:

\langle U \rangle = \int_0^1 \frac{1}{2}(1 - y^2) \, dy = \frac{1}{3}

Il fattore di attrito, che è una misura della resistenza al flusso, risulta essere:

f_{\text{Re}} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}

Approccio FFT

Un altro modo di risolvere il problema è l'uso della Trasformata di Fourier, che sfrutta l'equazione agli autovalori per una geometria di piastre parallele. L'equazione agli autovalori per questa configurazione è espressa come:

L \psi = \frac{d^2 \psi}{dy^2} = -\lambda \psi, \quad \psi(y = \pm 1) = 0

Questa equazione è autoadiunta rispetto al prodotto interno definito come:

\langle \psi_i, \psi_j \rangle = \int_{ -1}^{1} \psi_i \psi_j \, dy = \delta_{ij}

Le soluzioni di questa equazione sono rappresentate da una somma di coseni con autovalori e autofunzioni che dipendono da un indice $i$ :

\psi_i(y) = \cos\left( (2i - 1)\pi y \right)

L'uso della Trasformata di Fourier consente di esprimere la soluzione generale come una somma infinita di queste autofunzioni, con i relativi pesi Fourier. La velocità media calcolata tramite FFT risulta essere:

\langle U \rangle = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{(2i - 1)^4 \pi^4} = \frac{1}{3}

Il risultato ottenuto tramite FFT è lo stesso della soluzione diretta, confermando la validità di entrambi i metodi.

Caso particolare: Condotti Ellittici

Un caso interessante da considerare è quello di un condotto ellittico, per il quale la geometria del condotto è descritta dall'equazione:

\frac{y^2}{a^2} + \frac{z^2}{b^2} \leq 1

dove $a$ e $b$ sono i semiassi maggiore e minore dell'ellisse, rispettivamente. La velocità del flusso in un condotto ellittico può essere espressa come:

u_x = \beta \left( 1 - \frac{y^2}{a^2} - \frac{z^2}{b^2} \right)

La soluzione del problema porta alla determinazione del raggio idraulico $R$ e del fattore di attrito. In particolare, il fattore di attrito per un condotto ellittico è espresso come:

f_{\text{Re}} = \frac{8}{\langle U \rangle} = 2R^2 \left( \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} \right)

L'aspetto interessante di questa soluzione è che il fattore di attrito dipende fortemente dal rapporto di aspetto $\sigma = \frac{a}{b}$ dell'ellisse. La simmetria della curva del fattore di attrito rispetto a $\sigma = 1$ (un condotto circolare) può essere osservata nel grafico della figura 27.2. Inoltre, per $\sigma \to \infty$ , il fattore di attrito tende a un valore costante, mentre per $\sigma \to 0$ , il fattore di attrito cresce indefinitamente.

In un condotto circolare, per $\sigma = 1$ , il valore del fattore di attrito è dato da:

f_{\text{Re}} = 16

Conclusioni

La risoluzione del flusso laminare in condotti di diverse forme richiede l'adozione di metodi numerici e analitici, che possono variare in base alla geometria del condotto e alle condizioni al contorno. L'uso della Trasformata di Fourier offre una potente alternativa alla soluzione diretta, soprattutto per geometrie complesse come quelle ellittiche, in cui il calcolo del profilo di velocità e del fattore di attrito è fondamentale per ottimizzare le prestazioni del sistema.

Qual è il significato del prodotto scalare nei vettori e come definisce la geometria degli spazi vettoriali?

Il prodotto scalare dei vettori ci consente di introdurre concetti geometrici e di estendere i concetti familiari come distanze, lunghezze, angoli e ortogonalità da spazi bidimensionali o tridimensionali (ℝ² o ℝ³) a spazi vettoriali di dimensioni finite (e anche infinte). Consideriamo uno spazio vettoriale $V$ composto da $n$ -coppie di numeri reali o complessi. Supponiamo che a ciascuna coppia di vettori $u, v \in V$ venga associato uno scalare denotato da $u \cdot v$ , o più generalmente $\langle u, v \rangle$ , che è un numero reale o complesso. Questa funzione è chiamata prodotto scalare (o prodotto interno) se soddisfa tre proprietà principali.

La prima proprietà implica la linearità nella prima variabile:

\langle \alpha u + \beta v, w \rangle = \alpha \langle u, w \rangle + \beta \langle v, w \rangle,

dove $u, v, w \in V$ e $\alpha, \beta$ sono scalari. La seconda proprietà, chiamata simmetria di Hermite, stabilisce che

\langle u, v \rangle = \langle v, u \rangle.

Per il caso in cui $u$ e $v$ contengano elementi reali, questa proprietà richiede che il prodotto scalare sia simmetrico. La terza proprietà, nota come positività definita, afferma che

\langle u, u \rangle \geq 0 \quad \text{e} \quad \langle u, u \rangle = 0 \text{ se e solo se } u = 0.

Questo implica che il prodotto scalare di un vettore con se stesso sia positivo per tutti i vettori, tranne il vettore nullo.

Queste proprietà sono essenziali per definire una struttura geometrica all'interno dello spazio vettoriale. In effetti, uno spazio vettoriale in cui è definito un prodotto scalare acquisisce una struttura geometrica ben precisa, e questa struttura può essere modificata scegliendo opportunamente il prodotto scalare in base alle necessità applicative, come dimostrato nella Parte II.

La lunghezza di un vettore è definita come

\|u\| = \sqrt{\langle u, u \rangle},

e la distanza tra due vettori $u$ e $v$ è data da

d(u, v) = \|u - v\| = \sqrt{\langle u - v, u - v \rangle}.

Utilizzando la disuguaglianza di Schwarz,

|\langle u, v \rangle|^2 \leq \langle u, u \rangle \langle v, v \rangle,

si può anche definire l'angolo tra due vettori. Se $V$ è l'insieme delle $n$ -coppie di numeri reali, l'angolo tra due vettori $u$ e $v$ è definito come

\cos \theta = \frac{\langle u, v \rangle}{\|u\| \|v\|}.

Nel caso in cui $V$ sia l'insieme delle $n$ -coppie di numeri complessi, l'angolo tra due vettori $u$ e $v$ è definito come

\cos \theta = \frac{|\langle u, v \rangle|}{\|u\| \|v\|}.

È interessante notare che l'angolo definito dalla prima equazione soddisfa $0 \leq \theta \leq \pi$ , mentre quello definito dalla seconda equazione soddisfa $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ .

I vettori $u$ e $v$ sono detti ortogonali se il loro prodotto scalare è zero, cioè $\langle u, v \rangle = 0$ . Un vettore $u$ è detto normalizzato (o unitario) se la sua lunghezza è uguale a 1, cioè $\|u\| = 1$ . Se l'insieme di vettori $\{u_1, u_2, \dots, u_n\}$ è linearmente indipendente e costituisce una base per $V$ , allora questa base è detta ortonormale se ogni vettore dell'insieme è ortogonale agli altri e ha lunghezza unitaria. In termini di prodotto scalare, una base ortonormale soddisfa la condizione

\langle u_i, u_j \rangle = \delta_{ij},

dove $\delta_{ij}$ è la funzione delta di Kronecker ( $\delta_{ij} = 1$ se $i = j$ e 0 altrimenti).

Un esempio comune di spazio vettoriale è quello di $\mathbb{R}^n$ , dove il prodotto scalare tra due vettori $u, v \in \mathbb{R}^n$ è dato da

\langle u, v \rangle = \sum_{i=1}^{n} u_i v_i.

Questa è la definizione tradizionale di prodotto scalare, e può essere verificato che essa soddisfa tutte e tre le proprietà richieste. La lunghezza di un vettore rispetto a questo prodotto scalare è

\|u\| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + \dots + u_n^2},

e la distanza tra due vettori $u$ e $v$ è

d(u, v) = \|u - v\| = \sqrt{(u_1 - v_1)^2 + (u_2 - v_2)^2 + \dots + (u_n - v_n)^2}.

Un possibile esempio di base ortonormale in $\mathbb{R}^n$ è dato dall'insieme $\{e_1, e_2, \dots, e_n\}$ , dove $e_1 = (1, 0, 0, \dots, 0)$ , $e_2 = (0, 1, 0, \dots, 0)$ , e così via fino a $e_n = (0, 0, \dots, 1)$ .

Un altro esempio si trova negli spazi vettoriali complessi. Se $V = \mathbb{C}^n$ e per $u, v \in V$ definiamo il prodotto scalare come

\langle u, v \rangle = \sum_{i=1}^{n} u_i \overline{v_i},

dove $\overline{v_i}$ denota il complesso coniugato di $v_i$ , si può verificare che tutte le proprietà del prodotto scalare sono soddisfatte anche in questo caso. La lunghezza di un vettore rispetto a questo prodotto scalare è

\|u\| = \sqrt{|u_1|^2 + |u_2|^2 + \dots + |u_n|^2},

e la distanza tra due vettori $u$ e $v$ è

d(u, v) = \|u - v\| = \sqrt{|u_1 - v_1|^2 + |u_2 - v_2|^2 + \dots + |u_n - v_n|^2}.

Questo spazio vettoriale è un esempio di uno spazio di Hilbert finito-dimensionale.

Ogni spazio vettoriale di dimensione finita che ammette un prodotto scalare ha una base ortonormale. Se una base $\{u_1, u_2, \dots, u_n\}$ di $V$ non è ortogonale, è possibile trasformarla in una base ortogonale mediante il procedimento di Gram-Schmidt. Questo procedimento prevede che si definiscano nuovi vettori $v_1, v_2, \dots, v_n$ in modo che ciascun vettore $v_k$ sia ortogonale ai precedenti.

In definitiva, la comprensione del prodotto scalare e delle sue proprietà è fondamentale non solo per studiare le distanze e gli angoli in spazi vettoriali, ma anche per comprendere la struttura geometrica intrinseca che ogni spazio vettoriale può possedere. Le tecniche algebriche, come la procedura di Gram-Schmidt e la definizione di basi ortonormali, offrono strumenti essenziali per risolvere problemi e applicazioni in molteplici ambiti, dalla geometria alla fisica teorica.

Come Risolvere Equazioni Non Lineari e Processi di Markov: Teorie e Metodi

Quando si affrontano equazioni algebriche non lineari, un approccio comune è la linearizzazione locale, che implica l’utilizzo di metodi iterativi come il Newton–Raphson. Tali metodi sono potenti per trovare soluzioni approssimate, ma presentano alcune particolarità che richiedono attenzione. In particolare, nelle equazioni differenziali lineari e nei processi di Markov, la convergenza a soluzioni stazionarie dipende fortemente dai valori propri del sistema.

Prendiamo come esempio un processo di Markov a due stati. Supponiamo che il vettore di stato $u_k$ sia definito come $u_k = \left( a_k \, b_k \right)$ , dove $a_k$ rappresenta la frazione della popolazione nello stato A, e $b_k$ quella nello stato B, al tempo $k$ . In questo contesto, $a_k$ potrebbe essere la frazione di studenti che possiedono un cellulare di tipo-I, mentre $b_k$ potrebbe essere la frazione di studenti con un cellulare di tipo-II. La matrice di transizione $P$ , rappresenta la probabilità di passaggio tra i vari stati, con $p_{ij}$ come la probabilità di passaggio dallo stato $j$ allo stato $i$ . In un processo di Markov, le colonne di $P$ devono sommare a 1, cioè:

\sum_{i=1}^{n} p_{ij} = 1 \quad \text{per ogni} \quad j = 1, 2, \dots, n

Per esempio, se consideriamo una matrice $P$ di dimensione $2 \times 2$ come:

P = \begin{pmatrix} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix}

allora i vari $p_{ij}$ rappresentano le probabilità di transizione da uno stato all’altro. La somma delle probabilità nelle righe della matrice rispetta la condizione di Markov, dove $p_{11} + p_{21} = 1$ e $p_{12} + p_{22} = 1$ .

Nel caso di un processo di Markov, è importante osservare che il valore proprio $\lambda_1 = 1$ è sempre presente, con il corrispondente autovettore sinistro $y_1^T = (1 \, 1 \dots 1)$ , che indica la condizione di equilibrio in cui le probabilità di transizione non cambiano più al variare del tempo. La convergenza verso lo stato stazionario dipende dal secondo valore proprio $\lambda_2$ . Se $|\lambda_2| < 1$ , la convergenza è rapida, come dimostrato dagli iterati di esempio. Quando si risolve un processo di Markov, il sistema tende verso uno stato di equilibrio che può essere calcolato come:

\lim_{k \to \infty} u_k = \frac{y_1^T u_0}{x_1}

In questo esempio, la convergenza è rapida a causa del valore $\lambda_2 = \frac{1}{6}$ , che è molto inferiore a 1, permettendo di raggiungere lo stato di equilibrio in meno di 4 iterazioni.

Un altro esempio interessante riguarda la soluzione delle equazioni lineari differenziali come l’equazione di Fibonacci:

x_{n+1} = x_n + x_{n-1}

dove $x_0 = x_1 = 1$ . Una soluzione di questa equazione può essere trovata assumendo una forma $x_n = r^n$ , che porta all’equazione caratteristica $r^2 = r + 1$ . Le radici di questa equazione sono $r_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ e $r_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ . La soluzione generale sarà quindi:

x_n = c_1 r_1^n + c_2 r_2^n

dove le costanti $c_1$ e $c_2$ si determinano dalle condizioni iniziali. Questo porta a una formula esplicita per la soluzione dell'equazione di Fibonacci, che è spesso utilizzata per analizzare la crescita di sequenze numeriche in vari contesti matematici e applicativi.

Per processi più complessi, come quelli descritti dalle matrici di transizione di Markov per dimensioni superiori a 2, il calcolo della soluzione stazionaria può essere effettuato risolvendo l’equazione $u = P u$ , con la condizione aggiuntiva che la somma di tutte le componenti di $u$ sia pari a 1. Questo implica che la soluzione stazionaria è proporzionale all’autovettore corrispondente al valore proprio $\lambda_1 = 1$ , con il costante di proporzionalità determinato dalle condizioni iniziali, ovvero:

y_1^T u_0 = 1

Una volta che la soluzione stazionaria è calcolata, la convergenza verso di essa può essere monitorata per determinare la rapidità del processo di transizione verso l'equilibrio. La comprensione di come i valori propri influenzano la dinamica di un sistema è cruciale non solo in teoria, ma anche in applicazioni pratiche che vanno dalla statistica alla teoria dei sistemi dinamici.

Inoltre, un’analisi dei valori propri della matrice di transizione fornisce informazioni critiche sulla stabilità e sulla velocità di convergenza del processo, rendendo questo tipo di approccio indispensabile per l'analisi di fenomeni complessi in diverse discipline scientifiche.

Quali sono le proprietà della funzione di Green per i problemi al contorno non omogenei in geometria cilindrica?

La funzione di Green si presenta come uno strumento fondamentale nella soluzione dei problemi di equazioni differenziali, in particolare per i problemi al contorno non omogenei in geometria cilindrica. Nel caso omogeneo, l'equazione da risolvere è un'equazione di Eulero, e due soluzioni lineari indipendenti di questa equazione, che soddisfano le condizioni al contorno, sono rappresentate da $u_1(x) = x^n$ e $u_2(x) = x^{ -n} - x^n$ . Queste due soluzioni soddisfano le condizioni al contorno in modo che il determinante della matrice di Wronskiano risulti costante, confermando la linearità e l'indipendenza tra le soluzioni.

Nel contesto del problema non omogeneo, il metodo di risoluzione si basa sull'uso della funzione di Green, una funzione che, data una specifica funzione sorgente $f(x)$ , permette di costruire la soluzione del problema al contorno. La funzione di Green $G(x, s)$ , che dipende sia dalla variabile indipendente $x$ che dalla sorgente $s$ , soddisfa una serie di proprietà essenziali:

Continuità: La funzione di Green è continua nell'intervallo $[a, b] \times [a, b]$ , anche nel punto $x = s$ .
Simmetria: La funzione di Green è simmetrica, cioè $G(x, s) = G(s, x)$ . Questa simmetria è importante in quanto implica che la funzione di Green rappresenti una soluzione "equilibrata" rispetto ai due estremi del problema.
Equazioni differenziali: La funzione di Green soddisfa l'equazione differenziale omogenea nelle variabili $x$ e $s$ , tranne che nel punto $x = s$ , dove si verifica una discontinuità. In altre parole, $G(x, s)$ rispetta le equazioni di campo alle condizioni appropriate, ma presenta un salto nella derivata prima al punto di singolarità.
Discontinuità nel salto: La derivata della funzione di Green presenta una discontinuità al punto $x = s$ . Questa discontinuità può essere trattata come una discontinuità di salto, la quale viene risolta attraverso l'uso del Wronskiano e delle condizioni al contorno. Ad esempio, la funzione $G(x, s)$ , quando è trattata come funzione di $x$ , presenta un salto nel comportamento delle sue derivate quando $x$ si avvicina a $s$ .

Inoltre, la funzione di Green rispetta le condizioni al contorno in entrambi i suoi argomenti, $x$ e $s$ , e può essere utilizzata per determinare la soluzione del problema non omogeneo. L'integrale che definisce la soluzione $u(x)$ del problema al contorno è dato da:

u(x) = \int_a^b G(x, s) f(s) ds

In questo caso, $f(s)$ rappresenta una sorgente esterna e la funzione di Green $G(x, s)$ descrive come la sorgente influenzi la soluzione $u(x)$ nel dominio dell'equazione.

Un aspetto fondamentale da comprendere è che la funzione di Green, pur essendo una funzione fondamentale per la risoluzione dei problemi al contorno non omogenei, presenta delle specifiche condizioni che devono essere rispettate per ottenere soluzioni fisicamente significative. La funzione di Green deve essere scelta in modo che soddisfi le condizioni al contorno e l'equazione differenziale di partenza. Quando si utilizzano metodi numerici per risolvere tali problemi, è importante tenere in considerazione la continuità e la simmetria della funzione di Green, nonché il corretto trattamento delle discontinuità che emergono nei punti di singolarità.

Inoltre, un aspetto cruciale della funzione di Green è la sua unicità. La soluzione al problema al contorno è unica, il che significa che se esistessero due soluzioni $u_1(x)$ e $u_2(x)$ , la loro differenza sarebbe zero, poiché la funzione di Green è costruita per soddisfare le condizioni al contorno e risolvere l'equazione differenziale senza ambiguità.

Il metodo descritto per risolvere i problemi al contorno di ordine n, come ad esempio per il problema al contorno a condizioni al contorno multiple, offre una visione generale della potenza e della versatilità della funzione di Green. Questi metodi sono applicabili a una varietà di situazioni in cui è necessario risolvere equazioni differenziali non omogenee con condizioni al contorno complicate, come nelle strutture fisiche in cui le proprietà geometriche del dominio influenzano direttamente la soluzione del problema.

Come si evolvono le soluzioni delle equazioni di diffusione e conduzione del calore nei domini finiti?

Le equazioni alle derivate parziali che descrivono la diffusione del calore o di altre grandezze fisiche, come la temperatura, attraverso un materiale, sono fondamentali per comprendere il comportamento dinamico dei sistemi fisici. Queste equazioni possono essere risolte in vari contesti, e l'analisi delle soluzioni dipende dalla natura del dominio, dalle condizioni al contorno e dalle condizioni iniziali.

Un esempio di soluzione di tali equazioni è dato dall'uso di trasformate di Fourier, che ci permettono di separare la variabile spaziale dalla variabile temporale e trattare il problema in modo più sistematico. La funzione che descrive la temperatura o la concentrazione in un dato punto $x$ e al tempo $t$ , $u(x,t)$ , può essere espressa come una serie di Fourier. In particolare, se la condizione iniziale $u(x,0)$ è una funzione sinusoidale, come $f(x) = \sin(m\pi x)$ , la soluzione segue un comportamento esponenziale con il tempo, che dipende dalla frequenza delle onde associate a ciascun termine della serie.

Nel caso di un'onda iniziale rappresentata da $f(x) = \sin[m\pi x]$ , la soluzione dell'equazione del calore rimane nella stessa modalità, ma l'ampiezza diminuisce esponenzialmente con il tempo. Ciò implica che la soluzione, se inizialmente in una forma sinusoidale, continua a evolversi mantenendo la stessa forma ma con ampiezza che decresce nel tempo.

Quando la condizione iniziale è una delta di Dirac, $f(x) = \delta(x-s)$ , la soluzione assume una forma più complessa che dipende dal tempo. In questo caso, la soluzione è espressa come una somma di termini esponenziali, dove ogni termine corrisponde ad una frequenza specifica, con il comportamento di ciascun termine che dipende dal tempo $t$ . La distribuzione spaziale della temperatura o della concentrazione iniziale è concentrata al punto $x = s$ , ma nel tempo si disperde lungo il dominio.

Per un'analisi più profonda delle soluzioni, è importante considerare non solo l'equazione del calore, ma anche la funzione di Green associata al problema. La funzione di Green, $G(x,s,t,t')$ , descrive la risposta del sistema a una sorgente puntuale di calore o di concentrazione, e può essere utilizzata per costruire la soluzione in presenza di sorgenti generali o di condizioni al contorno variabili nel tempo. Quando la funzione di Green è utilizzata in un dominio finito, essa rappresenta l'evoluzione della temperatura o della concentrazione a partire da una sorgente di calore situata in una posizione specifica nel dominio, tenendo conto delle condizioni al contorno e delle variazioni nel tempo.

Per comprendere il comportamento delle soluzioni nel tempo, consideriamo che, per tempi molto grandi, la serie che descrive la distribuzione spaziale della temperatura o della concentrazione può essere approssimata considerando solo i primi termini della serie, in quanto gli altri termini decrescono molto rapidamente. Questo significa che, per un tempo sufficiente, l'evoluzione del sistema può essere descritta in modo efficace dalla somma dei primi termini della serie, con un errore che diventa trascurabile. È importante sottolineare che il tasso di convergenza della serie dipende dal tempo, e che la convergenza è lenta per tempi vicini a zero.

Nel caso di un'iniziale condizione non sinusoidale, come una distribuzione arbitraria di temperatura o concentrazione, la soluzione generale dell'equazione del calore può essere ottenuta come una combinazione lineare delle soluzioni per ciascuna modalità. La superposizione delle soluzioni di Fourier, ciascuna con un comportamento esponenziale specifico, permette di descrivere la dinamica completa del sistema. L'influenza delle condizioni al contorno e delle condizioni iniziali diventa quindi chiara e il comportamento spaziale della soluzione può essere analizzato in dettaglio.

Oltre a ciò, un aspetto cruciale che dovrebbe essere compreso è l'influenza delle condizioni al contorno e delle condizioni iniziali nella determinazione della soluzione. Le condizioni al contorno determinano le modalità spaziali consentite (espresse tramite i modi propri delle equazioni differenziali), mentre le condizioni iniziali stabiliscono le ampiezze di ciascuna modalità. Il comportamento a lungo termine del sistema dipende fortemente dalle caratteristiche di queste condizioni, in particolare nel caso di domini finiti e quando la sorgente iniziale non è uniforme.

Un'altra considerazione importante riguarda il comportamento di un sistema con una sorgente puntuale di calore, descritta da un delta di Dirac, o con condizioni al contorno variabili nel tempo. In questi casi, le soluzioni sono più complesse e dipendono fortemente dalle caratteristiche specifiche della sorgente e dalle condizioni al contorno. Le risposte del sistema sono strettamente legate alle trasformazioni Fourier, che permettono di separare la soluzione spaziale da quella temporale e di trattare il problema in modo molto più chiaro rispetto a metodi numerici diretti.

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