Come la Rotazione Influenza il Trasporto del Calore in Sistemi Superfluidi

Il fenomeno del trasporto di calore in sistemi superfluidi rotanti è una questione complessa, che coinvolge sia aspetti microscopici che macroscopici, ed è strettamente legata alla dinamica delle vortici quantizzati. In un sistema di fluido superfluido rotante, i vortici sono disposti lungo l'asse di rotazione e sono responsabili di una serie di effetti interessanti nel trasporto del calore, tra cui l'attenuazione e la deviazione laterale del flusso termico.

Quando si considera un fluido superfluido, come l'eliò He II, in presenza di rotazione, il comportamento delle onde sonore cambia. In particolare, la propagazione delle onde di temperatura (onde di seconda specie) subisce una notevole attenuazione a causa della rotazione. La velocità delle onde di prima specie non è influenzata dalla rotazione, ma la velocità delle onde di seconda specie, che rappresentano onde termiche, viene modificata in modo tale che la loro attenuazione è proporzionale alla velocità angolare del sistema. Questo effetto è confermato da numerosi esperimenti che misurano l'attenuazione delle onde sonore in relazione alla velocità angolare del sistema.

Quando la rotazione del sistema è ortogonale alla direzione di propagazione delle onde sonore, si introduce una resistenza aggiuntiva al flusso termico, che può essere descritta da una relazione di dispersione che dipende dalla velocità angolare e dai parametri fisici del sistema. La presenza di questa resistenza aumenta con l'intensità della rotazione e influisce sul flusso termico, rendendo il sistema più efficiente nel dissipare il calore in certe condizioni.

In un sistema rotante formato da due cilindri concentrici, uno dei quali ruota con velocità angolare diversa dall'altro, il trasporto del calore tra i due cilindri è regolato dalla differenza di temperatura e dalla rotazione relativa. In questo caso, il flusso di calore avviene senza turbolenza, con il trasferimento di energia che dipende dalla velocità angolare dei cilindri. La circolazione totale tra i cilindri è determinata dalla somma delle vortici quantizzati presenti nel sistema, il che implica che il flusso di calore tra i cilindri sia influenzato dalla distribuzione delle vortici.

In presenza di una deviazione laterale del flusso termico, che può essere descritta come una deviazione del flusso di calore rispetto alla direzione radiale del gradiente di temperatura, il sistema sviluppa componenti tangenziali nel flusso termico. Questi effetti, che possono essere descritti matematicamente attraverso equazioni differenziali che governano la dinamica del flusso, portano a un comportamento complesso del sistema, dove il flusso di calore può essere parzialmente deviato dalla sua direzione originale.

Un aspetto interessante di questi sistemi è che la conduttività termica, che normalmente è simmetrica, diventa antisimmetrica in presenza di rotazione. Sebbene le leggi di reciprocità di Onsager richiedano che la conduttività termica sia simmetrica, l'antisimmetria osservata in questi casi non rappresenta una contraddizione, poiché i termini non diagonali sono di origine puramente dinamica e scompaiono nei sistemi non rotanti. Questo comportamento può essere paragonato all'effetto della forza di Coriolis che agisce sui portatori di calore lungo la loro traiettoria in un gas rotante, con la differenza che in un fluido superfluido, i vortici sono disposti lungo l'asse di rotazione.

L'effetto della polarizzazione delle vortici è centrale in questi fenomeni: un insieme di vortici parzialmente polarizzati produce una deviazione del flusso di calore che aumenta al crescere del grado di polarizzazione. Questo è particolarmente importante in sistemi come le stelle di neutroni, dove si ipotizza che la materia all'interno del nucleo della stella sia in uno stato superfluido, con una densità di vortici quantizzati che interagiscono con il trasporto di calore.

Le stelle di neutroni, infatti, forniscono un esempio estremo di come la rotazione e la superfluidità possano influenzare il trasporto di calore. Queste stelle, che sono estremamente dense e compatte, presentano diversi strati rotanti a velocità angolari differenti, con il nucleo centrale composto da un liquido di neutroni superfluido. In questo caso, la teoria suggerisce che le vortici quantizzate nel nucleo della stella possano avere un impatto significativo sul trasferimento di energia termica, sebbene il comportamento di questi sistemi rimanga ancora un argomento di studio attivo.

In sintesi, la dinamica del trasporto del calore in sistemi superfluidi rotanti non si limita a una semplice equazione del flusso termico, ma coinvolge una serie di effetti complessi legati alla rotazione, alla polarizzazione delle vortici e alla presenza di onde termiche. La comprensione di questi fenomeni è fondamentale non solo per la fisica dei fluidi superfluidi, ma anche per applicazioni in astrofisica e in sistemi ad alta densità, come le stelle di neutroni.

Qual è il Ruolo delle Pareti nella Turbolenza dei Superfluidi?

L'evoluzione della densità delle linee di vortice ( $L$ ) in un superfluido dipende da un delicato equilibrio tra i tassi di produzione e distruzione dei vortici. Il comportamento di questi vortici, che si aggrovigliano in una complessa rete quantizzata, determina le caratteristiche della turbolenza quantistica nei superfluidi, come osservato nelle esperimentazioni con elio superfluido. La turbolenza può essere descritta come una transizione da uno stato laminare a uno turbolento, con una combinazione di flusso controcorrente e rotazione che influenza profondamente la dinamica dei vortici.

Per comprendere questo fenomeno, è necessario un approccio macroscopico che esamini il tasso di produzione dei vortici e il loro successivo smantellamento. L'analisi dimensionale, le osservazioni sperimentali e le considerazioni microscopiche portano a un'equazione fondamentale per la densità delle linee di vortice, che può essere estesa per includere l'effetto delle pareti e della rotazione. L'equazione di Vinen, che descrive questa dinamica in modo più semplice, diventa un potente strumento per analizzare l'evoluzione della turbolenza nei superfluidi.

In uno scenario ideale, si può modellare la variazione della densità di vortici con il tempo come un processo che dipende sia dalla produzione che dalla distruzione dei vortici stessi. Un primo contributo importante alla crescita della densità è legato al flusso controcorrente, che induce la generazione di vortici a una velocità proporzionale alla velocità relativa delle componenti normale e superfluida. L'analisi della velocità di crescita dei vortici porta all'uso di un numero di Reynolds quantistico ( $Re_y$ ), che sostituisce il tradizionale numero di Reynolds idrodinamico con parametri legati alla fisica dei superfluidi, come il quantum di circolazione ( $\kappa$ ) e la velocità termica delle componenti.

Il tasso di variazione della densità delle linee di vortice ( $dL/dt$ ) è composto da due termini: uno che descrive la produzione di vortici e l'altro la loro distruzione. In un contesto in cui la densità dei vortici è in evoluzione spazialmente e non omogenea, diventa fondamentale considerare il trasporto di vortici, che dipende dalla velocità di flusso e dalla densità di linee di vortice. Un'analisi dimensionale mostra che la produzione di vortici è proporzionale alla velocità del flusso controcorrente, alla densità di vortici e alla circolazione quantizzata, mentre la distruzione avviene in modo simile a quanto osservato nei turbolenti classici, con un termine che decresce esponenzialmente.

La transizione da uno stato laminare a uno turbolento, con l'evoluzione da una densità di vortici bassa (regime TI) a una più alta (regime TII), è stata studiata sperimentalmente. In entrambi i regimi, la densità di vortici dipende dalla velocità relativa e dalle dimensioni del canale, mostrando chiaramente che la dimensione del sistema non può essere trascurata. A valori elevati di $d$ , si recupera l'equazione di Vinen, ma con canali ristretti o nelle fasi finali di decadimento dei vortici, è necessario considerare l'effetto delle pareti e le transizioni metastabili tra stati laminari e turbolenti.

Le pareti giocano un ruolo cruciale in situazioni in cui la separazione media tra i vortici ( $\delta$ ) è comparabile con il diametro del contenitore ( $d$ ), specialmente quando la densità di vortici è bassa. In questi casi, l'influenza delle pareti può estendersi in profondità nel volume del sistema, creando effetti che influenzano significativamente la dinamica della turbolenza. Questa interazione tra la geometria del sistema e la dinamica dei vortici è di fondamentale importanza per comprendere le fasi finali del decadimento della turbolenza e le transizioni tra diversi regimi.

Il numero di Reynolds quantistico, che dipende dalla temperatura e dalle dimensioni del sistema, ha valori critici specifici per il passaggio tra i regimi di turbolenza TI e TII. Ad esempio, a temperature di 1.5 K, il valore critico di $Re_1$ è 127, mentre a 1.7 K si riduce a 96. La capacità di adattare il modello teorico alla variazione di queste condizioni termiche e geometriche è essenziale per un'accurata descrizione della turbolenza nei superfluidi.

Il modello proposto da Vinen, pur essendo efficace per descrivere la turbolenza completamente sviluppata, non riesce a cogliere tutta la complessità dei regimi osservati sperimentalmente. Per superare questa limitazione, è necessario includere l'effetto delle pareti e altre considerazioni geometriche che influenzano il comportamento turbolento, soprattutto quando il sistema non è omogeneo.

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Qual è l'effetto della rotazione sulla turbolenza superfluida?

L'equazione che descrive la dinamica del sistema in questione ammette una sola soluzione stazionaria stabile diversa da zero, che è:

L^{1/2} = \sqrt{\alpha_2^2 + \alpha_2 - \frac{4 \beta \beta_1}{\beta}} \quad (5.4.37)

Questa equazione implica che la densità delle linee di vortice, $L$ , è proporzionale alla velocità angolare $\Omega$ , un comportamento che è in accordo con i risultati sperimentali. Più precisamente, ciò suggerisce che la relazione tra $L$ e la velocità $V_{ns}$ è quasi indipendente da $V_{ns}$ per valori di $V_{ns} < V_{H, R}^{c2}$ , con un brusco cambiamento attorno a $V_{H, R}^{c1}$ .

Quando si osservano i dati sperimentali, è evidente che per $V_{ns} < V_{H, R}^{c1}$ , la relazione tra $L^{1/2}$ e $V_{ns}^2$ si comporta come una retta orizzontale con un piccolo salto in corrispondenza di $V_{H, R}^{c1}$ . Tuttavia, vi è una variazione della pendenza attorno a $V_{H, R}^{c2}$ . Questo comportamento è descritto dall'equazione:

L^{1/2} = \gamma_{H, R} V_{ns} + \sqrt{L} \quad (5.4.41)

Questa rappresenta una famiglia di linee rette (per diverse velocità angolari) con la stessa pendenza $\gamma_{H, R}$ , che è indipendente da $\Omega$ , come mostrato nella figura 5.7. L'analisi suggerisce che la densità delle linee di vortice $L$ per vari valori di $V_{ns}$ e $\Omega$ è compatibile con i dati sperimentali, ma non descrive completamente il piccolo salto vicino a $V_{H, R}^{c1}$ , fenomeno che è stato studiato in dettaglio nel lavoro [42].

Nel caso della rotazione combinata con il controflusso, l'equazione che governa il trasporto del calore lungo cilindri rotanti in elio liquido è:

- \nabla T = 8 \eta q + K_f L(\Omega, q) q \quad (5.4.43)

In questo contesto, la possibilità di controllare $\Omega$ indipendentemente da $q$ offre un interessante potenziale di manipolazione del flusso termico. Cambiando opportunamente la velocità angolare, si può regolare il gradiente di temperatura mantenendo costante la velocità del controflusso.

Un aspetto altrettanto interessante riguarda l'effetto dell'anisotropia, che si manifesta quando la rotazione è combinata con un controflusso radiale, perpendicolare all'asse di rotazione. La polarizzazione e l'anisotropia di queste due configurazioni sono diverse, e un confronto tra i due casi fornirà informazioni cruciali sul ruolo dell'anisotropia nel comportamento del groviglio di vortici e nella resistenza termica effettiva.

Un tema molto rilevante riguarda il trasporto di calore nei superflui rotanti, in particolare nelle stelle di neutroni, dove il fenomeno del trasporto termico è di grande interesse astrofisico. Nei nuclei centrali delle stelle di neutroni, si potrebbe formare un superfluido di neutroni, dopo che questi si accoppiano per diventare un sistema bosonico, capace di formare un condensato di Bose-Einstein. Questo superfluido sperimenterebbe una combinazione di rotazione assiale e controflusso radiale. Sebbene la situazione sia notevolmente più complessa rispetto al modello cilindrico trattato in precedenza, questa configurazione è di fondamentale importanza per comprendere i meccanismi fisici che avvengono all'interno di queste stelle.

L'analisi del trasporto di calore, che dipende dalla densità delle linee di vortice, è particolarmente complessa, ma risulta essenziale per comprendere come il trasporto termico nelle stelle di neutroni possa essere influenzato dalla presenza di vortici quantizzati e dalle transizioni nel groviglio interno. Le transizioni nel groviglio di vortici portano a modifiche nella viscosità effettiva del superfluido, con implicazioni dirette per il momento d'inerzia della stella.

Le stelle di neutroni, che ruotano ad alte velocità angolari, mostrano una decrescita della velocità nel tempo a causa della perdita di energia radiativa. Tuttavia, in maniera irregolare, si osservano brevi periodi in cui la velocità angolare aumenta improvvisamente, fenomeno noto come glitch. È ritenuto che all'interno della stella si trovi un superfluido di neutroni, e l'elevato numero di vortici quantizzati, indotti dalla rotazione e probabilmente anche dal controflusso radiale, siano disposti lungo l'asse di rotazione. Quando la differenza di velocità angolari tra il nucleo e la crosta supera una certa soglia, i vortici si sganciano improvvisamente dalla crosta, trasferendo il momento angolare alla crosta esterna, causando così l'accelerazione improvvisa (glitch) e la formazione di un groviglio di vortici.

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