Come comprendere i metodi di "Stochastic Averaging" nei sistemi dinamici non lineari

I sistemi dinamici stocastici non lineari sono presenti in numerosi ambiti delle scienze naturali, tecniche e sociali. L'interesse per questi sistemi risale agli anni '60, e da allora sono stati sviluppati numerosi metodi per analizzarli, sia analitici che numerici. Tra questi, i metodi di "stochastic averaging" (media stocastica) sono tra i più potenti e diffusi per lo studio dei sistemi non lineari stocastici. Questi metodi hanno il vantaggio di semplificare la complessità del sistema, riducendo la dimensione del problema mentre si conserva la sua non linearità essenziale.

Nel contesto di sistemi dinamici stocastici non lineari, la principale difficoltà risiede nell'assenza di soluzioni esatte. Infatti, anche se esistono metodi che utilizzano l'equazione di Fokker-Planck-Kolmogorov (FPK) per descrivere la distribuzione probabilistica del sistema sotto eccitazione di rumore bianco gaussiano, queste soluzioni sono difficili da ottenere e applicare in contesti reali. Inoltre, il rumore bianco gaussiano non sempre rappresenta accuratamente il comportamento del rumore in molti sistemi fisici reali, il che rende necessario ricorrere a metodi approssimativi.

Tra i metodi di soluzione approssimativa, i più rilevanti sono la linearizzazione statistica equivalente, i sistemi non lineari equivalenti, l'equazione dei momenti e i metodi di media stocastica. Questi ultimi si basano su un principio matematico solido, che permette di estendere i metodi esatti a sistemi che coinvolgono rumore non bianco e non gaussiano. In sostanza, i metodi di media stocastica trasformano lo studio dei sistemi dinamici non lineari in un'analisi delle loro ampiezze o energie, semplificando così il calcolo delle probabilità e delle statistiche associate al sistema originale.

Nel corso degli anni, i ricercatori, tra cui l'autore di questo testo e i suoi collaboratori, hanno sviluppato metodi di media stocastica per sistemi quasi- Hamiltoniani sotto eccitazione di rumore bianco gaussiano e successivamente estesi questi metodi per trattare eccitazioni non gaussiane e non bianche. In particolare, l'introduzione di equazioni medie per sistemi non lineari stocastici ha trovato applicazioni in ambiti vari, dall'ecologia ai sistemi meccanici, passando per l'analisi di stabilità, affidabilità e controllo ottimale stocastico.

I metodi di media stocastica si basano sull'idea di ridurre il problema a un modello più semplice senza perdere l'informazione cruciale. Questo approccio è particolarmente utile in contesti dove la non linearità è forte, ma le soluzioni esatte sono inaccessibili o troppo complesse da trattare direttamente. Inoltre, questi metodi offrono una visione d'insieme delle dinamiche di sistema, spesso in grado di fornire risultati utili anche per sistemi complessi che altrimenti richiederebbero risorse computazionali immense per una simulazione diretta.

L'utilizzo dei metodi di media stocastica è estremamente versatile. Oltre a predire le risposte dinamiche di un sistema, questi metodi sono fondamentali per studi di stabilità, valutazione della resilienza dei sistemi sotto incertezze e ottimizzazione stocastica. A partire dagli anni '90, il gruppo di ricerca che ha contribuito in modo significativo alla teoria della media stocastica ha reso questi metodi un pilastro della modellizzazione matematica nei sistemi complessi.

È fondamentale comprendere che, sebbene i metodi di media stocastica siano utili e ampiamente applicati, non sono una panacea. Essi riducono la complessità dei modelli, ma anche le approssimazioni fatte comportano limitazioni. Per esempio, la perdita di dettaglio potrebbe influire sull'affidabilità dei risultati in situazioni estremamente complesse. Pertanto, l'uso di questi metodi richiede una comprensione approfondita del sistema in esame e delle possibili implicazioni delle semplificazioni effettuate.

Quali sono le proprietà delle trasformazioni canoniche nei sistemi Hamiltoniani?

Una trasformazione canonica è una trasformazione che mappa le coordinate canoniche $q_i$, $p_i$ di un sistema dinamico in nuove coordinate $Q_i$, $P_i$ mantenendo la forma generale delle equazioni di Hamilton. Le trasformazioni canoniche sono un elemento fondamentale della meccanica classica, in quanto preservano la struttura delle leggi fisiche anche quando si modificano le variabili di descrizione del sistema. Questo concetto è cruciale quando si affrontano dinamiche non lineari o sistemi stocastici. Vediamo le principali proprietà delle trasformazioni canoniche.

1. Commutatori di Poisson invarianti: Una delle proprietà più importanti è che i commutatori di Poisson non cambiano forma sotto una trasformazione canonica. In altre parole, per ogni coppia di funzioni continue e differenziabili $F$ e $G$, la relazione $[F, G]_{Q, P} = [F, G]_{q, p}$ rimane valida, come indicato nell'equazione (3.45). Questo implica che la struttura di interazione tra le variabili non è alterata dalla trasformazione.

2. Matrice di Jacobi e determinante unitario: La matrice di Jacobi di una trasformazione canonica, indicata con $T = \frac{\partial(Q, P)}{\partial(q, p)}$, soddisfa alcune importanti relazioni, come mostrato nelle equazioni (3.46), (3.47), (3.48). In particolare, la trasformazione conserva il volume nello spazio delle fasi, un concetto fondamentale espresso dal teorema di Liouville, che afferma che $dQ dP = dq dp$ (equazione 3.49). Di conseguenza, il determinante di $T$ è unitario, cioè $\text{det}(T) = 1$ (equazione 3.50).

3. Invariabilità delle equazioni di Hamilton: La forma delle equazioni di Hamilton non cambia dopo una trasformazione canonica. Le equazioni (3.51) mostrano che le velocità delle nuove variabili $Q_i$ e $P_i$ sono espresse in modo analogo a quelle delle variabili originali $q_i$ e $p_i$, mantenendo invariata la struttura fondamentale delle leggi di evoluzione del sistema. Tuttavia, va notato che non tutte le trasformazioni che preservano la forma delle equazioni di Hamilton sono effettivamente trasformazioni canoniche. Ad esempio, la trasformazione $Q = q$, $P = 2p$ non è canonica, sebbene non alteri la forma delle equazioni di movimento.

4. Proprietà dei sistemi Hamiltoniani completamente integrabili: Liouville ha dimostrato che un sistema Hamiltoniano con $n$ gradi di libertà è completamente integrabile se esistono $n$ integrali primi indipendenti e in involuzione. La condizione di indipendenza significa che i differenziali degli integrali primi non sono linearmente dipendenti, mentre l'involuzione implica che i commutatori di Poisson tra due integrali primi si annullano, ossia $[H_i, H_j] = 0$. Questo è descritto dall'equazione (3.52).

5. Trasformazioni canoniche per sistemi integrabili: Nei sistemi Hamiltoniani completamente integrabili, è possibile introdurre coordinate canoniche di azione e angolo, $I_i$ e $\theta_i$, come indicato nell'equazione (3.53). Le equazioni di movimento si semplificano notevolmente, come mostrato nelle equazioni (3.54) e (3.55), permettendo una soluzione esplicita del sistema in termini di funzioni conosciute. Le orbite di questi sistemi sono circoscritte su un toro $T^n$, e la soluzione può essere rappresentata da una serie di Fourier come in (3.56).

6. Sistema completamente integrabile non risonante: Se il sistema è non risonante, allora le frequenze $\omega_i$ associate alle variabili di azione sono indipendenti tra loro, e le orbite sono quasi periodiche. La condizione di non risonanza è descritta dall'equazione (3.57). Il teorema dell'ergodicità implica che, nel caso di un sistema completamente integrabile e non risonante, la media nello spazio e nel tempo sono uguali, come esemplificato dalle equazioni (3.58) e (3.59).

7. Sistemi resonanti: Nei casi in cui le frequenze sono risonanti, ovvero esiste una combinazione lineare delle frequenze che si annulla (come in (3.61)), il sistema può essere classificato come parzialmente o completamente risonante. Un sistema risonante può portare a orbite chiuse, mentre in un sistema non risonante le orbite sono non periodiche. Il comportamento risonante è particolarmente interessante per i sistemi con più gradi di libertà, in quanto può dare origine a fenomeni complessi come l'interscambio di energia tra i vari gradi di libertà.

In sintesi, le trasformazioni canoniche non solo preservano le leggi fisiche in un sistema Hamiltoniano, ma sono anche essenziali per studiare le proprietà di sistemi complessi, inclusi quelli con più gradi di libertà, come quelli non lineari o stocastici. La loro comprensione è cruciale per chi desidera approfondire le dinamiche di sistemi completamente integrabili, come i sistemi con azione angolo o quelli con frequenze non risonanti. La capacità di identificare la risonanza e la non risonanza in un sistema offre uno strumento potente per prevedere il comportamento a lungo termine del sistema.

Quali sono le caratteristiche di un sistema Hamiltoniano completamente integrabile e come si classificano i sistemi non integrabili?

Quando si elimina ϕ̇ dalla Hamiltoniana H, il sistema diventa a grado di libertà singolo, risultando completamente integrabile. Questo fenomeno si osserva chiaramente nel caso in cui A = B, σ = 1 e ρ = 3, in cui un altro integrale primo può essere espresso come:

Questo integrale è indipendente e in involuzione con la Hamiltoniana. Si può introdurre la trasformazione:

Con queste variabili, la Hamiltoniana può essere separata, ossia $H = H1 + H2$, con le seguenti espressioni per H1 e H2:

In questo caso, il sistema diventa completamente integrabile e separabile nelle coordinate Q e P.

Nel contesto di due oscillatori di diffusione non linearmente accoppiati, la Hamiltoniana assumerà la forma:

Nel caso di un oscillatore di Hénon-Heiles con coefficienti variabili, la Hamiltoniana è data da:

Quando il sistema non è integrabile, cioè non esistono altri integrali primi indipendenti e in involuzione con la Hamiltoniana, diventa molto difficile analizzarlo direttamente. I sistemi Hamiltoniani non integrabili sono spesso studiati come sistemi quasi integrabili, ossia si esplorano gli effetti delle piccole perturbazioni su un sistema che altrimenti sarebbe integrabile. La teoria della perturbazione canonica, che si è sviluppata storicamente per trattare questi casi, approssima la soluzione di un sistema quasi integrabile come la somma della soluzione esatta della sua parte integrabile e una piccola correzione dovuta alla parte non integrabile.

Questa teoria è stata formalizzata nel famoso teorema KAM (Kolmogorov-Arnold-Moser), che afferma che, in un sistema Hamiltoniano non perturbato, il toro non risonante (un'orbita chiusa nel suo spazio delle fasi) rimarrà quasi invariato anche quando si introduce una piccola perturbazione non integrabile, mentre il toro risonante verrà distrutto. Questa distruzione dei tori risonanti è alla base dell'insorgere del caos in un sistema Hamiltoniano non integrabile. Con l'aumento della perturbazione, il sistema evolve da un movimento regolare (periodico o quasi periodico) a un movimento caotico.

Nei sistemi Hamiltoniani, è possibile distinguere tra quelli completamente integrabili e quelli parzialmente integrabili. Un sistema Hamiltoniano a n gradi di libertà (con $n \geq 3$) si considera parzialmente integrabile se possiede $r$ integrali primi indipendenti in involuzione (con $1 < r < n$). In questi casi, il sistema può essere separato in un sottosistema completamente integrabile e un sottosistema non integrabile tramite una trasformazione canonica.

Infine, la teoria dell'ergodicità gioca un ruolo cruciale nell'analisi dei sistemi Hamiltoniani. Se uno stato è rappresentato da un vettore di stato $z$, la media temporale della quantità dinamica $f(z)$ può essere calcolata come l'integrale della funzione sul flusso di fase del sistema. L'ergodicità implica che, nel lungo periodo, il sistema esplori uniformemente la sua superficie di energia, e le probabilità di visitare determinati stati sono distribuite uniformemente.