La meccanica dei materiali ferromagnetoelastici saturi si fonda su teorie macroscopiche che descrivono l’interazione magnetoelastica nei solidi, in particolare nei materiali in cui la magnetizzazione è saturata e costante in modulo. In questi materiali, al di sotto della temperatura di Curie, i momenti magnetici microscopici si allineano spontaneamente in regioni con magnetizzazione spontanea, effetto dovuto all’interazione di scambio di natura quantistica tra momenti vicini. Tale allineamento non varia in intensità ma solo in direzione, caratteristica che limita il modello a una magnetizzazione con modulo fisso.

Le perturbazioni dell’allineamento magnetico si propagano sotto forma di onde di spin, le cosiddette spin waves, che nelle ferromagnetiche elastiche possono interagire con le onde acustiche, generando fenomeni di accoppiamento fonone-magnone. Questa complessità richiede una descrizione continua delle interazioni magnetoelastiche che incorpora forze e momenti magnetici distribuiti non solo nel volume ma anche lungo le superfici, introducendo una teoria del gradiente di magnetizzazione che si discosta dai modelli più semplici.

Dal punto di vista matematico, la condizione di saturazione della magnetizzazione rappresenta un vincolo stringente che influenza profondamente le relazioni costitutive del materiale. Questo vincolo non è soltanto una limitazione fisica, ma un elemento fondamentale della formulazione teorica, in quanto modifica la natura delle equazioni che governano il comportamento magnetoelastico e richiede l’introduzione di momenti angolari associati ai momenti magnetici per modellare correttamente le onde di spin.

La teoria macromagnetoelastica si basa su un modello a due continui, seguendo il lavoro pionieristico di H.F. Tiersten, che permette di distinguere e descrivere simultaneamente i comportamenti elastici e magnetici del solido. Le formulazioni teoriche affrontano sia materiali rigidi, con equazioni che si riducono alla celebre equazione di Landau–Lifshitz–Gilbert nel caso più semplice, sia strutture elastiche deformabili, con un’attenzione particolare agli effetti non lineari.

Il libro da cui si attinge analizza progressivamente fenomeni via via più complessi: dalle interazioni magnetoelastiche più elementari come gli effetti piezomagnetici e magnetostrictivi, fino ai modelli di saturazione magnetica che coinvolgono gradienti di magnetizzazione e accoppiamenti fonone-magnone. I problemi trattati spaziano da modelli bidimensionali in cristalli cubici fino all’analisi di lastre sottili e travi, comuni nelle applicazioni ingegneristiche.

Inoltre, l’approccio non trascura gli effetti elettromagnetici completi regolati dalle equazioni di Maxwell, superando l’approssimazione quasi statica spesso adottata negli studi meno approfonditi. Questa completezza permette di modellare materiali ferromagnetoelastici conduttori con un grado di realismo elevato.

I simboli utilizzati nel modello variano nelle diverse sezioni per adattarsi alle molteplici scale e fenomeni fisici coinvolti; per questo si utilizzano tabelle di riferimento per le unità di misura e liste di identità vettoriali, facilitando così l’interpretazione delle formulazioni matematiche.

Risulta fondamentale, per una comprensione approfondita, riconoscere come le proprietà quantistiche microscopiche diano origine a fenomeni macroscopici complessi, che non possono essere spiegati con la sola meccanica classica o con semplici modelli magnetici. La fusione di fenomeni elastici, magnetici e quantistici crea un campo di studio multidisciplinare dove la modellazione continua e la teoria dei materiali funzionali si intrecciano.

In aggiunta, è importante considerare che la reale applicazione delle teorie richiede un’attenta calibrazione dei parametri materiali, nonché una valutazione critica delle condizioni al contorno e delle possibili approssimazioni matematiche, specialmente quando si passa da modelli tridimensionali complessi a versioni ridotte bidimensionali o monodimensionali per lastre e travi.

L’interazione tra spin waves e onde acustiche introduce inoltre nuove modalità di dissipazione e scambio di energia che possono influenzare significativamente la risposta dinamica delle strutture ferromagnetoelastiche, un aspetto cruciale nelle progettazioni di dispositivi sensibili e attuatori magnetoelastici.

Come si comportano le onde di spin nei materiali ferromagnetici rigidi e quali sono le loro caratteristiche di dispersione?

Sappiamo che il vettore m è perpendicolare a M₀. Di conseguenza, la punta di m descrive una circonferenza in un piano perpendicolare a M₀ o a μ₀H₀, come mostrato nella figura corrispondente. In tale situazione, M si muove lungo un cono attorno a M₀, un moto noto come precessione. Questo fenomeno è fondamentale per comprendere il comportamento dinamico del momento magnetico nei materiali ferromagnetici rigidi.

Considerando problemi unidimensionali con dipendenza solo da x₁ e dal tempo t, l’equazione che descrive le variazioni spaziali e temporali delle componenti di m si riduce a un sistema di due equazioni accoppiate, dal quale si può ricavare un’equazione differenziale di quarto ordine per una delle componenti, ad esempio m₁. La soluzione di questa equazione si ricerca sotto forma di onde piane, con una relazione di dispersione ben definita che lega la frequenza ω al numero d’onda ξ.

La relazione di dispersione ottenuta mostra una frequenza di taglio ω_c, sotto la quale l’onda non può propagarsi. Tale frequenza dipende dal campo magnetico esterno e dalle caratteristiche intrinseche del materiale, rappresentando un parametro critico per la propagazione delle onde di spin. Nel caso in cui si trascuri il termine costante nella relazione di dispersione, si ottiene una forma che ricorda quella delle onde elastiche flessionali nei travi, suggerendo un’analogia profonda tra le onde di spin e le onde meccaniche nei solidi.

Estendendo l’analisi a problemi bidimensionali, con dipendenza da due coordinate spaziali, si ottengono relazioni di dispersione simili, ma che includono la somma dei quadrati dei numeri d’onda lungo entrambe le direzioni spaziali. Ciò comporta un arricchimento del comportamento ondulatorio, con la possibilità di più modi di propagazione e caratteristiche più complesse.

Quando si analizzano onde di spin in piastre di materiale ferromagnetico, si impongono condizioni al contorno di vanificazione delle componenti trasversali m₁ e m₂ alle superfici superiore e inferiore della piastra. Questo conduce a soluzioni con dipendenza sinusoidale lungo lo spessore, caratterizzate da numeri d’onda discreti e modi associati. La relazione di dispersione si modifica conseguentemente, includendo termini proporzionali al quadrato del numero d’onda lungo lo spessore e al quadrato di un indice discreto n. Le frequenze di taglio aumentano con n², un comportamento che differisce qualitativamente da quello delle onde elastiche nelle piastre, suggerendo caratteristiche uniche delle onde di spin in tali sistemi.

La presenza di piastre con spessore non uniforme può generare modalità di vibrazione particolari, dette modalità intrappolate, nelle quali le onde sono oscillanti in una regione centrale e decadono esponenzialmente nelle zone periferiche. Questo fenomeno ha analogie con le modalità acustiche intrappolate nelle piastre elastiche non uniformi, ma si presenta qui nel contesto delle onde di spin.

Infine, la trattazione combinata della dinamica dello spin e della rete cristallina, considerati come due continui interagenti, introduce un’induzione magnetica locale efficace B_L, risultante dall’interazione interna tra le due componenti. Questo approccio consente di descrivere in modo più completo l’energia e il comportamento dinamico del sistema ferromagnetico rigido. La definizione di una densità di entalpia per unità di volume χ permette di ricavare le relazioni costitutive che legano le variazioni temporali delle componenti magnetiche alla variazione spaziale dei loro gradienti, fornendo un quadro rigoroso della dinamica spin-rete.

È fondamentale comprendere che le onde di spin, pur presentando analogie con le onde meccaniche elastiche, possiedono peculiarità intrinseche dovute alla natura quantistica del momento magnetico e alla presenza del campo magnetico esterno. La precessione del momento magnetico, le frequenze di taglio, e la dipendenza delle modalità dalle condizioni geometriche e magnetiche definiscono un panorama complesso ma estremamente ricco, che richiede una trattazione matematica sofisticata per essere adeguatamente compreso e applicato in dispositivi spintronici e materiali magnetoelastici avanzati.

Come interagiscono le onde elastiche, magnetiche ed elettromagnetiche nei materiali ferromagnetoelastici?

In un mezzo ferromagnetoelastico, la propagazione delle onde acustiche non avviene isolatamente: le vibrazioni elastiche si intrecciano con le dinamiche dei momenti magnetici e, indirettamente, con le onde elettromagnetiche. Questo legame complesso è mediato dalle onde di spin (magnoni), la cui interazione diretta con le onde elettromagnetiche avviene attraverso le equazioni di Maxwell, un fenomeno noto come accoppiamento magnone-fotone. Di conseguenza, in un materiale deformabile ferromagnetico, onde acustiche ed elettromagnetiche possono interagire indirettamente tramite le onde di spin.

Nel caso particolare di problemi antiplanari, dove gli spostamenti avvengono solo lungo una direzione (u₃), e le derivate rispetto alla coordinata trasversale x₃ sono nulle, le equazioni di Maxwell si semplificano notevolmente. Le componenti del campo elettrico e del campo di induzione magnetica assumono forme ridotte: solo le componenti lungo x₃ sono rilevanti. Inoltre, l’accoppiamento elettromeccanico e magnetoelettrico viene trascurato, focalizzando l’analisi sull’interazione tra elasticità, magnetismo ed elettromagnetismo attraverso le onde di spin.

L’accoppiamento piezomagnetico efficace, introdotto nei modelli elastici, fa sì che anche modeste deformazioni elastiche generino distribuzioni spaziali del campo magnetico m, come evidenziato dalle distribuzioni modali per le prime armoniche (m,n). Per esempio, per (m,n) = (1,1), il gradiente di spostamento è minimo al centro del dominio, il che implica un accoppiamento piezomagnetico trascurabile in quella zona e una m che si annulla al centro. Aumentando l’indice modale, la distribuzione di m diventa più complessa, con variazioni più marcate lungo le coordinate spaziali, un comportamento tipico delle forme modali superiori.

Le frequenze delle onde essenzialmente magnetiche presentano una peculiarità: esse sono quasi indipendenti dagli indici modali bassi, perché la loro espressione contiene un termine costante che domina per piccoli valori di (m,n), determinando così una frequenza di taglio stabile. Questo fatto rende le prime onde magnetiche praticamente non dispersive nel regime di bassi numeri d’onda.

Quando si includono le equazioni del moto meccanico accoppiate alle equazioni di Maxwell, si ottiene un sistema di sei equazioni lineari omogenee per le sei incognite fondamentali: u₃, e₃^M, h₁^M, h₂^M, m₁ e m₂. Supponendo soluzioni armoniche del tipo exp[i(ξx₁ − ωt)], si arriva a una matrice di coefficienti la cui condizione di esistenza di soluzioni non banali (determinante nullo) fornisce l’equazione di dispersione del sistema.

Questa equazione di dispersione racchiude la natura dell’accoppiamento tra onde elastiche, onde di spin e onde elettromagnetiche. In particolare, si osservano tre regimi limite:

  • Quando il coefficiente piezomagnetico b₄₄ tende a zero, il sistema si disaccoppia, restituendo equazioni separate per le onde acustiche e le onde di spin-elettromagnetiche. L’onda acustica soddisfa l’equazione classica ρω² − c₄₄ξ² = 0, mentre le onde di spin ed elettromagnetiche seguono una relazione più complessa che dipende dalla costante dielettrica ε, dall’intensità di campo esterno H₀ e dalla magnetizzazione di saturazione M₀.

  • Quando la velocità della luce c tende all’infinito, scompare l’effetto elettromagnetico, e la dispersione si riduce a quella delle onde di spin non accoppiate.

  • Quando α (coefficiente di accoppiamento magnetico) è nullo e γ (costante giromagnetica) tende all’infinito, si recupera la relazione di dispersione delle onde elettromagnetiche isolate: ω/ξ = c, il classico caso delle onde nel vuoto.

Le curve di dispersione relative a questi casi illustrano in maniera chiara il comportamento dispersivo delle onde di spin e quello non d

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