Quando l'aggiunta di un simbolo di funzione non cambia le conseguenze L: estensioni conservative e definizione di verità

Il seguente teorema afferma che l'aggiunta di un simbolo di funzione (definito ambiguamente) non aggiunge nuove conseguenze L.

Teorema III.117. Sia la funzione n-aria $f$ definibile o definibile ambiguamente tramite $B(x_1, \ldots, x_{n+1})$ in $T$. Sia $L' = L \cup \{f\}$ e $T'$ la teoria con gli assiomi $T + \text{Def} f$. Allora $T'$ è un'estensione conservativa di $T$.

Prova. La prova è simile a quella del Teorema III.115(a). Supponiamo che $T \vdash A$ dove $A$ è una sentenza in $L$. Sia $A$ un modello di $T \cup \{\neg A\}$. La sentenza (III.38) è vera in $A$. Pertanto, per ogni $a_1, \ldots, a_n \in \lvert A \rvert$, esiste almeno un $b \in \lvert A \rvert$ tale che $A \vDash B(a_1, \ldots, a_n, b)$; scegliamo uno e denotiamolo come $b_{a_1, \ldots, a_n}$. (Questo utilizza l'Assioma della Scelta se $f$ è definito ambiguamente.) Poi espandiamo $A$ in una struttura $L'$, denotata come $B$, facendo sì che l'interpretazione di $f$ soddisfi $f_B(a_1, \ldots, a_n) = b_{a_1, \ldots, a_n}$. Poiché $B$ è un'espansione di $A$, le strutture $A$ e $B$ soddisfano le stesse sentenze in $L$. Così, $B \vDash T \cup \{\neg A\}$. Infine, per la scelta di $f_B$, abbiamo $B \vDash \text{Def} f$. Pertanto, $T, \text{Def} f \vdash A$.

Il teorema successivo riguarda i simboli di funzione definiti, non quelli ambiguamente definiti. Esso afferma che le formule che utilizzano il simbolo di funzione definito possono essere riscritte come formule provabilmente equivalenti che non usano il simbolo di funzione definito.

Teorema III.118. Sia la funzione n-aria $f$ definibile da $B(x_1, \ldots, x_n, x_{n+1})$ in $T$. Sia $L' = L \cup \{f\}$ e $T'$ la teoria con gli assiomi $T + \text{Def} f$. Allora, per ogni formula $L'$-formula $A$, esiste una formula $L$-formula $A^*$ tale che $T' \vDash A \leftrightarrow A^*$.

Questo è molto simile al Teorema III.115(b), ma la sua prova è più complicata. Il problema risiede nel fatto che dobbiamo sostituire indirettamente gli usi di $f$, e che i termini possono includere occorrenze multiple e annidate di $f$.

Esempio III.119. Per comprendere l'idea alla base della prova di questo teorema, consideriamo l'esempio di una funzione binaria $f$ definita in $T$ da una formula $B(x_1, x_2, x_3)$. Supponiamo che $A$ sia la formula $\forall x Q(a + f(x, f(x, a)))$ dove $Q$ è un simbolo predicato, $a$ è un simbolo costante e $+$ è un simbolo di funzione binaria. Per formare $A^*$ tale che $T \vDash A \leftrightarrow A^*$, poniamo $A^*$ come $\forall x \exists y \exists z [B(x, a, y) \land B(x, y, z) \land Q(a + z)]$. Sia $\text{Uniq}f$ la sentenza di (III.37) che esprime l'esistenza unica. Allora, $\{\text{Uniq}f, \text{Def} f\}$ implica logicamente le sentenze:

e

Unendo queste, un po' di lavoro mostra che $\text{Uniq}f, \text{Def} f \vDash A \leftrightarrow A^*$. Quindi, $T \vDash A \leftrightarrow A^*$.

Prova del Teorema III.118. Supponiamo che $A$ abbia $k$ occorrenze del simbolo $f$. Costruiremo una sentenza $A'$ con solo $k-1$ occorrenze di $f$ tale che $\text{Uniq}f, \text{Def} f \vDash A \leftrightarrow A'$. Iterando questo processo $k$ volte, otteniamo la formula desiderata $A^*$. Scegliamo un'occorrenza di un termine $f(t_1, \ldots, t_k)$ in $A$ tale che $f$ non appaia in nessuno dei suoi argomenti $t_i$. Per abbreviazione, scriviamo $\vec{t}$ anziché $t_1, \ldots, t_k$. Denotiamo con $C(f(\vec{t}))$ la subformula atomica di $A$ in cui compare $f(\vec{t})$. In questa notazione, $C = C(y)$ è una formula atomica in cui appare un'unica occorrenza di $y$. Sia $C'$ la formula $\exists z (B(\vec{t}, z) \land C(z))$ dove $z$ è una variabile che non appare in $C(f(\vec{t}))$. Allora, $\text{Uniq}f, \text{Def} f \vDash C \leftrightarrow C'$. Formiamo $A'$ sostituendo la subformula $C(f(\vec{t}))$ di $A$ con $C'$. Allora, $\text{Uniq}f, \text{Def} f \vDash A \leftrightarrow A'$.

In un altro contesto, la teoria dei giochi può essere utilizzata per definire la verità di una formula di primo ordine. Invece di seguire una definizione statica della verità, come nel caso della definizione tarskiana, possiamo considerare il significato delle formule di primo ordine in termini di strategie di gioco, un approccio dinamico che può offrire una visualizzazione più intuitiva della verità. In questo caso, il gioco è giocato da due giocatori, Alice ed Eve, che cercano di provare la verità o la falsità di una formula all'interno di una struttura $L$.

I dettagli di come si svolge il gioco dipendono dalle quantificazioni presenti nella formula, e la partita termina quando viene presentata una formula senza quantificatori. Alice ed Eve si alternano nella scelta degli oggetti e nel rispondere a mosse precedenti, con l'obiettivo di determinare se la formula sia vera o falsa in base alla struttura data. La comprensione di questo processo di gioco aiuta a comprendere meglio l'interazione tra le variabili e le relazioni all'interno di una struttura logica, e può fornire una nuova prospettiva sull'interpretazione delle formule logiche.

Come Comprendere la Logica Proposizionale e le Sue Applicazioni

La logica proposizionale è una parte fondamentale della logica matematica e ha ampie applicazioni in informatica, filosofia e linguistica. Essa fornisce uno schema formale per esprimere affermazioni e ragionamenti attraverso proposizioni che possono essere vere o false. L'elemento centrale di questa logica è il concetto di "proposizione", che rappresenta un'affermazione che può essere valutata come vera o falsa.

Un esempio semplice di proposizione potrebbe essere "sta piovendo" o "il sole sta brillando". A queste proposizioni si possono applicare operatori logici che modificano il loro significato in modo preciso e formale. Questi operatori includono la negazione (¬), la congiunzione (∧), la disgiunzione (∨), l'implicazione (→) e l'equivalenza (↔). Questi operatori permettono di costruire espressioni più complesse a partire da proposizioni più semplici.

Ad esempio, l'operatore di negazione (¬) viene usato per indicare che una proposizione è falsa. Se r rappresenta "sta piovendo", allora ¬r indica "non sta piovendo". La congiunzione (∧) viene utilizzata per esprimere che due proposizioni sono entrambe vere. Ad esempio, r ∧ w significa "sta piovendo e l'erba è bagnata". La disgiunzione (∨) esprime che almeno una delle due proposizioni è vera. Così, r ∨ s ("sta piovendo o il sole sta brillando") è vero se almeno una delle due condizioni è vera.

Inoltre, l'implicazione (→) e l'equivalenza (↔) sono usate per esprimere relazioni più complesse. L'implicazione "se A allora B" (A → B) è vera in tutti i casi tranne quando A è vero e B è falso. Ad esempio, r → w ("se sta piovendo, allora l'erba è bagnata") afferma che ogni volta che r è vero, w deve essere vero. Tuttavia, se r è falso, l'affermazione è comunque considerata vera, indipendentemente dallo stato di w. Questo può sembrare controintuitivo, ma in logica proposizionale, l'implicazione non implica una causa diretta tra A e B, ma solo una relazione di verità. L'equivalenza (↔), d'altra parte, afferma che A e B sono veri o falsi contemporaneamente. Per esempio, w ↔ r ("l'erba è bagnata se e solo se sta piovendo") significa che se una delle due proposizioni è vera, anche l'altra lo è, e viceversa.

La logica proposizionale, tuttavia, non è priva di ambiguità quando si cerca di tradurre frasi di linguaggio naturale in formule logiche. Ad esempio, la frase "Se A allora B" in linguaggio naturale spesso implica una relazione causale o logica tra A e B, che può non essere così in logica proposizionale. In quest'ultima, "se A allora B" significa solo che la verità di A comporta la verità di B, senza alcuna implicazione causale. Pertanto, una frase come "Se i maiali avessero le ali, allora i cavalli potrebbero volare" può essere vera in logica proposizionale, perché la prima parte della proposizione è falsa (i maiali non hanno le ali), rendendo tutta l'affermazione vera indipendentemente dal fatto che i cavalli possiedano o meno ali.

Questa distinzione tra logica formale e linguaggio naturale può portare a fraintendimenti, specialmente quando si tenta di tradurre frasi quotidiane in simboli logici. Un esempio interessante di questa discrepanza si può osservare nelle affermazioni come "Puoi comprare un biglietto se hai più di diciotto anni" e "Puoi comprare un biglietto solo se hai più di diciotto anni". In logica proposizionale, queste due frasi sono diverse. La prima afferma un'implicazione (e → b), mentre la seconda afferma un'implicazione inversa (b → e), e la terza esprime un'equivalenza (b ↔ e), dove "puoi comprare il biglietto se e solo se hai più di diciotto anni". Nella vita quotidiana, tuttavia, queste tre frasi potrebbero essere usate per esprimere lo stesso concetto, ma in logica formale la loro differenza è cruciale.

In definitiva, la logica proposizionale non solo fornisce uno strumento potente per esprimere e manipolare affermazioni, ma solleva anche importanti considerazioni sulle ambiguità del linguaggio naturale. Quando si cerca di tradurre il linguaggio naturale in formule logiche, è essenziale essere consapevoli delle differenze di significato che possono sorgere e di come questi significati siano trattati formalmente. Questo è particolarmente rilevante quando si affrontano applicazioni in matematica, filosofia e informatica, dove una comprensione rigorosa della logica è necessaria per evitare errori interpretativi.

Inoltre, la logica proposizionale è solo il punto di partenza per una comprensione più approfondita della logica matematica. Essa non è solo un insieme di regole per determinare la verità di proposizioni singole, ma una base per costruire argomentazioni complesse, risolvere problemi e sviluppare teorie in vari campi. La sua applicazione è essenziale per la costruzione di sistemi formali in matematica e informatica, nonché per la comprensione di come le affermazioni possano essere manipolate e valutate in contesti più ampi.

Perché i Problemi di Arresto Sono Indecidibili: Un'Analisi attraverso l'Autocitazione e la Riduzione a Molti a Uno

Il problema dell'arresto è uno dei concetti fondamentali nell'informatica teorica, che ha sollevato profonde questioni sulla natura dei calcoli algoritmici e sulla loro computabilità. Quando si parla di indecidibilità in relazione al problema dell'arresto, ci si riferisce alla difficoltà di determinare se un programma dato terminerà o continuerà indefinitamente, partendo da un input specifico. Questo concetto non è solo cruciale per la teoria della computazione, ma riveste un'importanza centrale anche nella filosofia della matematica, in quanto solleva interrogativi sull'oggettività e i limiti della conoscenza algoritmica.

L'indecidibilità del problema dell'arresto per gli algoritmi con input, noto come Halt1, si può dimostrare utilizzando un approccio che si fonda sul problema dell'autoreferenza, ossia la capacità di un programma di operare su sé stesso. Se ipotizzassimo che esista un algoritmo M in grado di decidere il problema Halt1, ossia determinare se un programma dato termina su un input specifico, si potrebbe facilmente costruire un algoritmo N in grado di risolvere anche il problema dell'arresto di un programma su sé stesso (SelfHalt). Tuttavia, poiché è noto che il problema dell'arresto di un programma su sé stesso è indecidibile, ciò implica che anche il problema Halt1 deve essere indecidibile. Questa conclusione è raggiunta senza fare uso di algoritmi universali o di ipotesi troppo forti, ma solo attraverso una semplice riduzione al caso del problema dell'arresto con input.

Un altro esempio di indecidibilità si può osservare nel problema Halt0, che riguarda i programmi che determinano se un algoritmo dato arresta quando riceve come input la propria Gödel number. Per dimostrare che Halt0 è indecidibile, si ricorre ancora una volta all'uso dell'autoreferenza. Si assume l'esistenza di un algoritmo N che risolve il problema Halt0 e si costruisce un nuovo algoritmo N′. Questo algoritmo, in maniera simile al precedente, si basa sull'idea di eseguire N su una combinazione complessa di Gödel numbers che coinvolgono il programma stesso. La contraddizione che emerge da questo processo, combinata con il teorema di indecidibilità di HaltSelf, prova inequivocabilmente che Halt0 non può essere deciso da alcun algoritmo.

Un aspetto fondamentale di questa dimostrazione è l'uso della "riduzione a molti a uno", un concetto che implica che la soluzione di un problema complesso (come HaltSelf) può essere ridotta a quella di un altro problema (come Halt0). In termini pratici, se esistesse una soluzione per Halt0, allora anche il problema HaltSelf sarebbe decidibile, il che è una contraddizione, dato che il primo è stato dimostrato indecidibile.

L'introduzione di algoritmi autoreferenziali, come DM, che operano sui propri Gödel numbers, offre una nuova prospettiva sul problema dell'arresto. Un algoritmo come DM, che esegue il programma M sulla sua stessa Gödel number, dimostra come un programma possa "riferirsi a sé stesso" e come tale autoreferenza generi complessità. Questi algoritmi sono noti come algoritmi diagonali e sono utilizzati per provare che determinati problemi non sono computabili.

Per esempio, se M è un programma che calcola la funzione identità (cioè, M(w) restituisce w), allora un algoritmo DM, che calcola M su ⌜DM⌝, restituirà sempre la stessa Gödel number di DM, indipendentemente dall'input. Questa proprietà è un esempio classico di come un programma possa essere costruito per eseguire se stesso, un'idea che ha radici profonde nel paradosso di Russell e nelle teorie dell'autoreferenza.

A questo punto, potrebbe sorgere la domanda: "Se i programmi possono effettivamente essere autoreferenziali, come possiamo garantire che esistano sempre algoritmi che dimostrano l'indecidibilità?" La risposta risiede nel concetto di "quine" – un programma che può stampare il proprio codice sorgente. I quines non sono solo una curiosità teorica, ma sono esempi concreti di come l'autoreferenza possa essere realizzata nei linguaggi di programmazione. Sebbene questi esempi possano sembrare contraddittori o difficili da comprendere, sono in realtà essenziali per dimostrare l'impossibilità di decidere il comportamento di un programma in tutti i casi.

Infine, è importante comprendere che la nozione di indecidibilità non si limita a questi singoli esempi teorici, ma ha implicazioni dirette per la progettazione di algoritmi reali. La consapevolezza che non esistono algoritmi che possano risolvere determinati problemi in maniera universale è cruciale per comprendere i limiti delle nostre capacità computazionali. In pratica, questo significa che non tutte le questioni che ci poniamo sulla computabilità possono essere risolte con un semplice algoritmo, e ciò ha un impatto significativo su come sviluppiamo e testiamo i programmi.

Come calcolare i numeri di Gödel e comprendere la loro rappresentazione

Nel contesto della logica matematica e della teoria della computabilità, il numero di Gödel gioca un ruolo cruciale. Esso rappresenta una sequenza di numeri o una proposizione all’interno di un sistema formale, attraverso una codifica numerica. La definizione e il calcolo di questi numeri non sono solo un esercizio teorico, ma un elemento fondamentale per comprendere la struttura e i limiti della matematica stessa. Esploriamo il processo di calcolo di un numero di Gödel per una sequenza di numeri e la sua rappresentazione binaria.

Iniziamo con una definizione di base: dato un sistema formale e una sequenza di numeri interi, il numero di Gödel di una sequenza è un singolo intero che "codifica" quella sequenza. Questo numero di Gödel non è unico, poiché può variare a seconda di un parametro p, scelto in modo tale che la massima componente della sequenza sia inferiore a 2^p, ma maggiore di 2^(p-1). In altre parole, il valore p è scelto affinché la sequenza possa essere rappresentata in modo univoco nella forma di un numero di Gödel.

Per esempio, consideriamo la sequenza ⟨7, 0, 11⟩. Le sue rappresentazioni binarie sono rispettivamente 111, 0, e 1011. Da questa informazione, possiamo calcolare il numero di Gödel come segue: scegliamo p tale che 2^p sia maggiore o uguale al massimo tra i numeri 7, 0 e 11, ma inferiore al doppio del massimo. In questo caso, p è uguale a 4, poiché 2^4 = 16 è il valore più prossimo che soddisfa questa condizione. La rappresentazione binaria della sequenza diventa quindi una concatenazione delle sue rappresentazioni binarie, con degli zeri aggiunti per allineare la lunghezza delle stringhe. Così, ⟪7, 0, 11⟫ avrà la forma binaria 1 0001 1011 0000 0111.

Per passare dal formato binario a quello decimale, possiamo applicare la formula matematica che permette di esprimere il numero di Gödel in termini di potenze di 2. In questo caso, il numero risultante sarà 72455. L’esempio mostra come una sequenza di numeri possa essere trasformata in un singolo numero che, per un sistema formale, rappresenta quella sequenza.

Tuttavia, uno degli aspetti centrali di questa rappresentazione è la sua non unicità. Infatti, esistono diverse scelte di p che portano a numeri di Gödel diversi, ma che comunque rappresentano la stessa sequenza di numeri. Questa osservazione è importante per comprendere la flessibilità della rappresentazione e le implicazioni logiche che ne derivano.

Per quanto riguarda l’espressione della funzione β, la funzione Len e altre funzioni simili all’interno di un sistema formale, la principale difficoltà sta nel dimostrare che la funzione esponenziale base 2, cioè i ↦ 2^i, è rappresentabile. Questa è una questione centrale per la teoria dei numeri di Gödel, poiché permette di applicare potenze di 2 per ottenere un controllo più fine sulla rappresentazione e sulla manipolazione di sequenze numeriche all’interno del sistema formale.

Infine, va sottolineato che la rappresentazione di numeri di Gödel non è solo una questione tecnica, ma ha profonde implicazioni filosofiche e logiche. La sua esistenza e l’abilità di manipolare numeri che rappresentano intere sequenze di numeri (o proposizioni) costituiscono la base per sviluppare argomentazioni complesse sulla completezza e la coerenza dei sistemi formali. In particolare, i numeri di Gödel sono alla base del famoso teorema di incompletezza di Gödel, che afferma che in ogni sistema formale consistente, esistono proposizioni che non possono essere né provate né confutate all’interno di quel sistema. La comprensione di come i numeri di Gödel possano rappresentare sequenze e funzioni ci aiuta a comprendere questi limiti fondamentali della logica.