Come Applicare la Teoria delle Matrici di Connessione ai Campi Multivettoriali Combinatori

La separazione tra dinamica e algebra è sempre più evidente nel recente approccio algoritmico alle matrici di connessione proposto da Harker et al. [21, 46]. In effetti, la separazione tra dinamica e algebra consente agli autori in [21, 44, 46] di impostare la definizione di una matrice di connessione di una decomposizione di Morse seguendo una sequenza di passaggi. Sebbene qui vengano omessi alcuni dettagli tecnici, il processo può essere descritto come segue: (i) Considerare una decomposizione di Morse $M := \{M_p\}_{p \in P}$ dello spazio delle fasi, indicizzata da un poset $P$. (ii) Per ogni insieme discendente $I \subset P$, considerare l'attrattore associato $M_I$, costituito da punti su traiettorie i cui insiemi limite si trovano in $\bigcup_{p \in I} M_p$, e costruire un vicinato attrattore $N_I$ in modo che la mappa $I \to N_I$ sia un omomorfismo di reticoli. (iii) Sotto alcune ipotesi di regolarità, la famiglia di vicinati attrattori $\{N_I\}$ del passo (ii) induce un complesso di catene filtrato da $P$. (iv) La matrice di connessione di $M$ è un oggetto algebrico associato a un complesso di catene filtrato da un poset, in particolare con il complesso di catene filtrato da $P$ del passo (iii). Come diventerà chiaro successivamente, i risultati presentati qui permettono di semplificare questo processo eliminando sostanzialmente il passo (ii). Questo aspetto sarà descritto in dettaglio nella sezione successiva, così come nel Capitolo 2.

Formalmente parlando, le matrici di connessione sono oggetti puramente algebrici e sono presentate in questo modo fin dall'inizio. Tuttavia, nei lavori iniziali, esse sono fortemente legate alle considerazioni dinamiche. In particolare, il concetto importante di unicità e non unicità è trattato esclusivamente attraverso la dinamica sottostante. Come già accennato, il distacco tra algebra e dinamica è iniziato con Robbin e Salamon [44] e risulta ancora più marcato in Harker et al. [21]. Tuttavia, per quanto ne sappiamo, finora non è stata fornita una definizione puramente algebrica di unicità. Harker et al. [21] dimostrano che due matrici di connessione dello stesso complesso di catene filtrato sono coniugate tramite un isomorfismo filtrato. Chiaramente, questo non è il concetto di unicità utilizzato nel contesto della dinamica. Nel nostro approccio, proponiamo una più forte equivalenza algebrica delle matrici di connessione, che permette complessi di catene filtrati senza una matrice di connessione unica. In questo modo, la teoria proposta delle matrici di connessione per campi multivettoriali combinatori consente di provare un importante nuovo risultato: l'unicità delle matrici di connessione per i campi vettoriali combinatori Forman gradienti, basata esclusivamente sulla sopra citata nozione più forte di equivalenza.

Qual è la relazione tra flussi combinatori e complessi di Lefschetz?

L'analisi dei flussi combinatori e la loro connessione con i complessi di Lefschetz ha ricevuto molta attenzione in contesti di teoria dei complessi e topologia algebrica. Questo tipo di studio è particolarmente utile quando si cerca di comprendere come i flussi possono essere rappresentati e analizzati attraverso catene fisse e celle critiche.

Il risultato principale che emerge da queste considerazioni è che le catene fisse sotto un flusso combinatorio sono in corrispondenza biunivoca con le catene delle celle critiche in un complesso di Lefschetz. Questa corrispondenza offre uno strumento potente per costruire basi per le catene fisse in modo naturale, utilizzando le celle critiche di un complesso di Lefschetz, e allo stesso tempo equipaggiare queste basi con la struttura di un complesso di Lefschetz.

Questa rappresentazione è fondamentale perché dimostra che le catene critiche di $X$ possono essere utilizzate per costruire una base della complessità, che mantiene la struttura di un complesso di Lefschetz. La rappresentazione di $\partial \bar{x}$ in termini di celle critiche implica che la base $\bar{X}$ è indipendente linearmente, e che ogni elemento della base è rappresentabile come una combinazione lineare delle celle critiche di $X$. Questo porta alla conclusione che $(\bar{X}, \kappa)$, dove la graduazione di $\bar{X}$ è indotta dalla mappa dimensionale, è un complesso di Lefschetz, con $C(\bar{X}) = \text{Fix } V$.

Il passo successivo è verificare che questo ordine parziale in $\bar{X}$ sia valido. In altre parole, dobbiamo assicurarci che se $\bar{y} \prec_{\kappa} \bar{x}$, allora $\bar{y} \leq_V \bar{x}$. Questo può essere fatto dimostrando che, dato che l'ordine $\prec_{\kappa}$ è la chiusura transitiva di $\prec_{\kappa}$, è sufficiente dimostrare che $\bar{y} \prec_{\kappa} \bar{x}$ implica $\bar{y} \leq_V \bar{x}$.

L'approfondimento di questa teoria rivela inoltre la potenza del concetto di ordine parziale naturale, che non solo facilita la comprensione della struttura del flusso combinatorio, ma anche del complesso di Lefschetz. Inoltre, è cruciale notare che il concetto di base e indipendenza lineare è essenziale quando si vogliono applicare questi risultati in contesti più ampi, come nella topologia delle varietà o nella teoria delle catene omotopiche. Senza la connessione tra catene fisse e celle critiche, molte delle applicazioni pratiche di questa teoria non sarebbero possibili, rendendo questo risultato un passo fondamentale nello sviluppo della topologia combinatoria.