La corrispondenza uno-a-uno e il comportamento delle frazioni continue

Nel contesto delle frazioni continue, esiste una corrispondenza uno-a-uno che riguarda le convergenze di un numero irrazionale. La dimostrazione di questa corrispondenza si basa sulla proprietà di convergenza delle frazioni continue e sul comportamento dei convergenti $A_j / B_j$ , che tendono a rappresentare in modo sempre più preciso un numero irrazionale.

Considerando una frazione continua di un numero irrazionale $\eta$ , si può osservare che, dato un termine $A_j / B_j$ che è il j-esimo convergente, tale frazione si avvicina a $\eta$ con la progressiva crescita di $j$ . Per dimostrare questa affermazione, partiamo dalla relazione già nota in (22.11) e dobbiamo mostrare che, considerando l'espressione (22.13), il rapporto $A_j / B_j$ converge a un numero irrazionale. L'equazione (22.15) fornisce una base per analizzare la differenza tra $A_j$ e $A_{j-1}$ , mentre l'equazione (22.16) suggerisce una formula esplicita per il valore di $A_j / B_j$ .

Quando il denominatore $B_j$ tende all'infinito, la convergenza della frazione continua è immediata, il che implica che il limite di questa sequenza di frazioni sarà un numero irrazionale. Questo numero, indicato come $\omega$ , può essere espresso come una frazione continua la cui parte intera è $a_0$ , cioè $\omega = a_0 + 1 / R(\omega)$ , dove $R(\omega)$ è una funzione ben definita in relazione a $\omega$ , il quale non è un intero, come dimostrato dall'ineguaglianza che coinvolge i convergenti.

Una proprietà importante delle frazioni continue è che, a meno che il numero irrazionale non si "riduca" a una frazione razionale, non ci sarà mai uguaglianza tra il limite $\omega$ e un numero razionale $a / b$ . Se ciò accadesse, si verificherebbe una contraddizione, come evidenziato dall'inequazione che lega il numeratore e il denominatore dei convergenti. Quindi, possiamo concludere che il limite di una frazione continua di un numero irrazionale non è mai un numero razionale.

Un punto interessante da osservare riguarda il comportamento delle frazioni continue quando si applica un algoritmo come quello di Euclide per trovare il massimo comune divisore (MCD) tra due numeri. L'approssimazione ottenuta tramite frazioni continue è strettamente legata a questo algoritmo e riflette la distribuzione dei valori della forma lineare $x \eta - y$ , dove $x, y$ sono numeri interi. Ogni convergente $A_j / B_j$ offre una buona approssimazione di $\eta$ , e i valori di $B_j$ e $A_j$ determinano la qualità di questa approssimazione.

In particolare, la teoria delle frazioni continue offre una connessione fondamentale con le approssimazioni razionali, come mostrato dal teorema di Lagrange (1798). La funzione $L(V)$ , che rappresenta la migliore approssimazione di un numero irrazionale $\eta$ entro un limite $V$ , è definita in relazione ai convergenti di $\eta$ , e dimostra come il processo di approssimazione continua a migliorare con l'aumentare del valore di $B_j$ . Se si considera un numero razionale $a / b$ , la migliore approssimazione all'interno di un dato limite $V$ è determinata dal convergente corrispondente, come evidenziato dall'equazione (23.4).

Per concludere, la teoria delle frazioni continue non solo offre una comprensione profonda del comportamento degli numeri irrazionali attraverso le loro approssimazioni razionali, ma fornisce anche uno strumento fondamentale per il calcolo del massimo comune divisore e per l'analisi delle approssimazioni più precise. L'approccio continuo alle frazioni e alle loro proprietà è un aspetto centrale nella teoria dei numeri, che trova applicazione in molte aree della matematica, dall'algebra alla teoria dei numeri reali.

Come dimostrare che un numero primo può essere rappresentato come la somma di due quadrati

Nel contesto della teoria dei numeri, il problema della rappresentazione di un numero come somma di due quadrati ha avuto una lunga e affascinante evoluzione. Un esempio celebre è il caso della rappresentazione di numeri primi, in particolare quando il numero primo in questione è congruente a 1 modulo 4. La storia di questo problema risale a secoli fa e ha coinvolto alcuni dei più grandi matematici della storia, tra cui Fermat, Euler e Gauss. La dimostrazione che ogni numero primo congruente a 1 modulo 4 può essere rappresentato come somma di due quadrati è stata formalizzata nel 1772 da Euler, ma le radici di questa scoperta si possono far risalire a lavori di Diophantus e successivi sviluppi di altri studiosi.

L’idea di fondo che sta alla base di questa teoria è che i numeri primi che soddisfano la condizione $p \equiv 1 \,(\text{mod} \, 4)$ possono essere espressi come la somma di due quadrati interi. La questione riguarda la determinazione esplicita di tali rappresentazioni, un problema che ha coinvolto l’utilizzo di forme quadratiche e matrici, e che è stato trattato attraverso diverse metodologie nel corso del tempo.

Nel caso specifico, si prenda in considerazione la forma quadratica

Q(x, y) = 430897x^2 + 153430xy + 13658y^2,

che appartiene all'insieme delle forme quadratiche definite su $Q^+(-4)$ . In tal caso, esiste un elemento $U \in \Gamma$ tale che

Q = tUU,

dove $Q = M_p, \xi$ con $\xi = 153430$ . La riduzione preliminare di questa forma quadratica si sviluppa come segue:

[| W 430897, 153430, 13658|] = \Rightarrow [|13658, -153430, 430897|] \Rightarrow [|13658, 10466, 2005|] \Rightarrow [|2005, -10466, 13658|] \Rightarrow [|2005, 1564, 305|] \Rightarrow [|305, 266, 58|] \Rightarrow [|58, -266, 305|] \Rightarrow [|58, -34, 5|] \Rightarrow [|5, 34, 58|] \Rightarrow [|1, -4, 5|] \Rightarrow [|1, 0, 1|].

Questa successione di trasformazioni mostra un processo iterativo che porta alla rappresentazione di un numero primo come somma di due quadrati.

Un altro metodo interessante, che ha ricevuto molta attenzione nella letteratura matematica, è il frazionamento continuo di numeri primi. L'espansione in frazioni continue di un numero primo come 430897 fornisce informazioni utili per la sua rappresentazione come somma di due quadrati. Infatti, nel caso di $p = 430897$ , l’espansione continua del numero è data da

430897 = [1; 1, 5, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 76715, \ldots].

In questo caso, i convergenti successivi ci forniscono le informazioni necessarie per determinare la rappresentazione del numero primo come somma di due quadrati. L'importanza di questa tecnica risiede nel fatto che, attraverso i convergenti della frazione continua, si ottengono le componenti che permettono di scrivere il numero primo come una somma di quadrati interi.

Nel contesto delle forme quadratiche, una delle idee fondamentali è che la rappresentazione di un numero primo come somma di due quadrati non è solo una curiosità matematica, ma una proprietà che si applica a una classe specifica di numeri primi. Per esempio, come osservato da Euler, non tutti i numeri primi possono essere espressi come somma di due quadrati, ma solo quelli che soddisfano la condizione $p \equiv 1 \, (\text{mod} \, 4)$ . Questa condizione può essere verificata facilmente con l’uso di congruenze, ma la vera bellezza sta nel vedere come le proprietà algebriche e geometriche si intersecano per produrre una soluzione.

La rappresentazione di numeri primi come somma di due quadrati è anche strettamente legata alle nozioni di residue quadratiche. Le residue quadratiche giocano un ruolo cruciale nella determinazione se un numero primo può essere rappresentato in tale forma. Sebbene esistano diversi approcci teorici per trattare questo argomento, la via dell’uso delle frazioni continue, dei convergenti e delle trasformazioni matriciali si è rivelata particolarmente potente.

A questo punto, è utile comprendere che questo risultato non è solo un risultato isolato della teoria dei numeri, ma che esso costituisce una parte fondamentale della più ampia teoria delle forme quadratiche. Il lavoro di Gauss, Legendre, e altri matematici ha contribuito a costruire una base solida su cui si sono sviluppate ulteriori ricerche, sia teoriche che applicative.

Anche se la rappresentazione di numeri come somme di quadrati è stata ben esplorata, ciò che è fondamentale è capire come queste tecniche si interconnettono con altre branche della matematica, come la teoria dei gruppi, la geometria algebrica, e la teoria dei numeri modulari. Ogni tecnica e ogni risultato nella teoria delle forme quadratiche contribuisce a una comprensione più profonda della struttura dei numeri primi e della loro distribuzione.

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