Come le onde del secondo suono e la dinamica dei vortici influenzano il flusso di calore nel fluido superfluido

Nel contesto dei flussi termici e della dinamica dei vortici in elio II, uno degli aspetti più rilevanti riguarda l'interazione tra il secondo suono e il groviglio di vortici. Se in un'analisi iniziale è stato implicitamente assunto che il groviglio dei vortici rimanesse una struttura statica, un'analisi più dettagliata suggerisce che, in realtà, il groviglio non è statico, e la sua reazione dinamica sul secondo suono, sotto forma di onde di densità dei vortici, deve essere presa in considerazione. Questo fenomeno, infatti, influisce significativamente sulla velocità e sull'attenuazione delle onde del secondo suono. È stato osservato che la velocità del secondo suono è poco influenzata dalla presenza delle onde vorticosi, mentre la velocità delle onde vorticosi aumenta considerevolmente in presenza di suono di secondo ordine ad alta frequenza. Tuttavia, l'attenuazione delle onde del secondo suono ad alta frequenza è notevolmente inferiore rispetto a quella delle onde a bassa frequenza, suggerendo che, dal punto di vista pratico, il secondo suono ad alta frequenza fornisce poca informazione sul groviglio di vortici. Al contrario, a bassa frequenza, la reazione del groviglio di vortici alle onde termiche implica cambiamenti notevoli nella velocità e nell'attenuazione del secondo suono, a seconda della direzione relativa tra il flusso termico e la direzione di propagazione.

Un altro esempio interessante riguarda il flusso radiale di calore da un filo caldo e la turbolenza superfluida corrispondente. In questa situazione, sia il flusso termico che la densità di linee di vortici dipendono dalla distanza radiale rispetto all'asse centrale. A causa della geometria del flusso, il flusso termico è massimo vicino al centro e diminuisce come $q \sim 1/r$ , mentre la sorgente di vortici, definita dalla prima parte dell'equazione (5.1.7), diventa meno intensa con l'aumento di $r$ . Il ruolo della diffusione dei vortici gioca un ruolo cruciale nella determinazione del profilo della densità di vortici, con effetti che influenzano significativamente il profilo di temperatura. La diffusione dei vortici contribuisce a una maggiore densità locale di vortici, in particolare in condizioni di flusso termico relativamente basso. Questo effetto di diffusione è contrastato dalla produzione di vortici "nativi" vicino al filo caldo, i quali tendono a migrare verso il cilindro esterno dove collidono e si annichilano. In presenza di un flusso di calore ridotto o di alta diffusione, la popolazione di vortici migranti supera quella di vortici nativi, portando a una densità di vortici che dipende principalmente dalla diffusione stessa.

In condizioni stazionarie, il flusso termico radiale è governato dall'equazione $q = \dot{Q}/r$ , dove $\dot{Q}$ è il calore fornito per unità di tempo e lunghezza dal cilindro caldo. Risolvendo questa equazione, si ottiene una forma per la densità di vortici $L(r)$ , che mostra come la diffusione dei vortici influenzi la loro distribuzione radiale. La soluzione dell'equazione di diffusione porta a una densità di vortici che varia come $L(r) \sim 1/r^2$ , ma in presenza di diffusione, la densità di vortici è sensibilmente aumentata vicino al cilindro interno dove il flusso di calore è maggiore. In questo regime, la densità di vortici diventa indipendente dal flusso di calore ma continua a seguire una dipendenza radiale $1/r^2$ .

Un aspetto interessante di questo fenomeno è la possibilità di isteresi, un comportamento che emerge quando il flusso di calore aumenta rapidamente da zero a un valore massimo, superando una certa soglia, e successivamente viene ridotto lentamente a zero. In questo caso, durante l'aumento rapido del flusso di calore, la diffusione non ha il tempo di agire, e la densità di vortici segue la legge senza diffusione. Al contrario, quando il flusso di calore diminuisce lentamente, la diffusione dei vortici ha il tempo di agire, e la densità di vortici si stabilizza secondo un'altra legge. Questo comportamento ciclico porta alla formazione di un ciclo di isteresi, che si evidenzia nell'andamento della densità di vortici in funzione del flusso termico.

Un altro fenomeno interessante che emerge dalle interazioni tra flusso termico e vortici è la rettifica del calore, che si verifica quando si osserva un flusso di calore diverso a seconda che il calore fluisca verso l'interno o verso l'esterno in un sistema che coinvolge due pareti a temperature differenti. Questo fenomeno di rettifica del calore è di particolare interesse in sistemi superfluidi e cryogenici, dove la distribuzione dei vortici e le inhomogeneità del flusso di calore giocano un ruolo cruciale nel determinare la direzione e l'efficienza del trasferimento di calore.

Questi fenomeni complessi sottolineano l'importanza di considerare non solo la produzione di vortici ma anche gli effetti della diffusione e della polarizzazione dei vortici nel flusso di calore. Quando la temperatura e il flusso termico variano in modo non uniforme, la distribuzione dei vortici si adatta e risponde a questi cambiamenti, creando innumerevoli sfide nella comprensione e nel controllo dei flussi in sistemi superfluidi.

Dal fluido classico al fluido quantistico: le scoperte fondamentali e le implicazioni della superfluidità e della turbolenza quantistica

Il 1908 segnò una pietra miliare nella fisica dei fluidi quando Heike Kamerlingh Onnes riuscì a liquefare l’elio-4, l’ultimo gas puro a diventare liquido. Questo successo, sebbene straordinario, aprì la porta a scoperte ben più sorprendenti e fondamentali per la nostra comprensione dei fenomeni fisici a basse temperature. A una temperatura di 4,15 K, l’elio-4 si comporta come un fluido normale, viscoso e capace di condurre il calore in modo simile a qualsiasi altro fluido. Tuttavia, a temperature inferiori a 2,17 K, noto come punto λ, la situazione cambia radicalmente. L’elio-4 non si comporta più come un fluido semplice, ma mostra fenomeni del tutto nuovi, che sfidano la comprensione tradizionale.

Quando si raggiungono temperature prossime al punto λ, l’elio-4 diventa un fluido superfluido, che scorre senza viscosità. Questo fu scoperto nel 1937 da Piotr Kapitza, che osservò che l’elio-4 fluiva attraverso canali stretti con una viscosità praticamente nulla. A questo punto, un altro fenomeno divenne noto: l’effetto fontana, osservato da Allen e Jones nel 1938, in cui si notava che quando due contenitori di elio II (superfluido) venivano collegati tramite un capillare molto stretto, l’incremento di temperatura in uno dei contenitori non solo causava una differenza di temperatura tra i due, ma provocava anche un flusso di liquido dall’uno all’altro, contrario al flusso di calore. Questo effetto, che contrasta con la fisica dei fluidi classici, si manifestava solo a temperature molto basse e metteva in evidenza l’interazione complessa tra le molecole di elio.

Un altro fenomeno fondamentale fu la scoperta delle onde termiche, denominate seconda suono, che si propagavano nell’elio-4 senza attenuazione, a differenza delle tradizionali onde acustiche. Queste onde, scoperte nel 1946 durante esperimenti di controflusso, rivelavano come l’elio II potesse trasportare il calore in modo non convenzionale, attraverso meccanismi non descrivibili dalle leggi classiche di Fourier. L’elio superfluido possiede una capacità di trasporto termico molto più efficiente rispetto ai fluidi convenzionali, ma anche un insieme di fenomeni nuovi come l’effetto meccanocalorico e l’effetto termomeccanico, in cui il movimento superfluido produce un gradiente termico e viceversa.

La nascita della fisica dei fluidi quantistici segnò un cambiamento radicale nella nostra comprensione delle proprietà della materia a basse temperature. I fenomeni osservati nell’elio II sono il risultato di effetti collettivi coerenti dovuti a correlazioni quantistiche di lungo raggio tra le particelle, che diventano rilevanti quando la lunghezza d’onda quantistica associata al moto termico delle particelle supera la distanza tra di esse. Tali effetti sono tipici delle particelle bosoniche, come l’elio-4, ma in particolari condizioni possono essere osservati anche con coppie di particelle fermioniche, come nel caso dei condensati di Bose-Einstein formati da atomi di alcali.

Le scoperte fondamentali nel campo dei fluidi quantistici sono state premiate con numerosi Premi Nobel. Ad esempio, nel 1913, Onnes ricevette il premio per la liquefazione dell’elio, mentre nel 1962 Lev Landau fu premiato per la sua teoria dei liquidi condensati, in particolare per la superfluidità dell’elio-4. Successivamente, nel 1978, Piotr Kapitza ricevette il premio per la scoperta che l’elio a basse temperature scorre senza resistenza, un fenomeno noto come superfluidità. Nel 1996, David Lee, Douglas Osheroff e Robert Richardson furono premiati per la scoperta della superfluidità nell’elio-3, un isotopo dell’elio che mostra comportamenti ancora più complessi a temperature estremamente basse. Altri premi Nobel sono stati attribuiti per il raggiungimento della condensazione di Bose-Einstein e per le scoperte sui superconduttori e i superfluidi.

Due modelli principali sono stati sviluppati per descrivere il comportamento dei fluidi superfluidi come l’elio II: il modello a due fluidi, proposto da Tisza e Landau nel 1940, e il modello a un fluido, che considera la velocità totale e il flusso di calore come variabili fondamentali. Entrambi i modelli sono complementari e offrono prospettive diverse per comprendere il comportamento dei fluidi quantistici. Nel modello a due fluidi, l’elio II è considerato come una miscela di due componenti: uno normale e uno superfluido, ognuno con la propria velocità. Nel modello a un fluido, invece, si considera la velocità totale e il flusso termico come variabili fondamentali, rendendo questi fenomeni più facilmente osservabili e misurabili.

A livello macroscospico, è necessario un approccio esteso alla termodinamica per comprendere completamente il comportamento dell’elio II. La costante capacità di rilassamento del flusso termico, che è paragonabile al tempo di evoluzione dei processi, richiede una formulazione che vada oltre la termodinamica locale. Un tale approccio implica l’utilizzo di equazioni evolutive per le variabili indipendenti, come il flusso di calore, e la comprensione delle loro implicazioni nell’energia interna e nell’entropia del sistema. In questo contesto, la termodinamica estesa diventa un terreno fertile per lo studio dei fluidi quantistici e delle loro proprietà non convenzionali.

In sintesi, la fisica dei fluidi quantistici ha rivoluzionato il nostro modo di pensare ai fenomeni a basse temperature, introducendo una nuova dimensione nella comprensione delle interazioni quantistiche tra particelle. Le scoperte in questo campo non solo hanno ampliato i confini della fisica della materia condensata, ma hanno anche aperto nuove frontiere nella comprensione dei fenomeni che si verificano a temperature estremamente basse. La ricerca continua a essere una delle più promettenti nel campo della fisica teorica e sperimentale.

Come si propaga l'onda di Kelvin lungo la linea di vortice?

Per studiare analiticamente la propagazione delle perturbazioni lungo la linea di vortice (le onde di Kelvin), è necessario adottare un'approssimazione dell'Equazione (9.1.1). In questo contesto, vengono presi in considerazione due approcci classici, ossia l'Approssimazione di Induzione Locale (LIA) [8, 18] e l'approssimazione di Fukumoto [19], che rappresentano rispettivamente le approssimazioni di primo e terzo ordine di (9.1.1) in termini del rapporto .a0/R (dove .a0 è il raggio del nucleo e .R è il raggio di curvatura tipico).

Al primo ordine in .a0/R, l'Equazione (9.1.1) viene approssimata dall'Approssimazione di Induzione Locale (LIA) [8, 18]:

\tilde{v}(i) = \beta \, s' \times s'' \, \frac{\kappa}{2R} \quad \text{con} \quad \beta = \frac{\ln 0}{4 \pi a_0}

L'intensità di $\tilde{v}(i)$ è $\left|\tilde{v}(i)\right| = \beta / R$ . La velocità autoinflitta è zero quando le linee di vortice sono rette. Il coefficiente $\beta$ è collegato all'energia interna per unità di lunghezza della linea di vortice $\varepsilon_V$ (la tensione della linea di vortice) da $\varepsilon_V = \rho s \kappa \beta$ . L'equazione (9.1.7) deriva dalla (9.1.1) quando si divide l'integrale in due parti: una locale intorno al punto $s_0$ e il resto, trascurando la parte non locale [8]. La scelta (9.1.7) per la parte locale fornisce la velocità esatta per un anello di vortice piano di raggio $R$ . In questa approssimazione, la linea di vortice si muove localmente nella direzione del binormale, e la sua velocità è inversamente proporzionale al raggio di curvatura locale. L'approssimazione (9.1.7) per la dinamica del vortice in un groviglio di vortici, come dimostrato da Tsubota e collaboratori [20], non è molto efficace per vortici paralleli e antiparalleli, ma è abbastanza precisa per la propagazione delle onde (onde di Kelvin) lungo la linea di vortice.

Un'approssimazione più raffinata è quella di Fukumoto [19], che al terzo ordine in .a0/R porta alla formula:

\tilde{v}_L = \tilde{v}(i) + \beta_k b + \mu_k k_3 b + \nu (2k_{\xi} \tau + k_{\tau} \xi) n + (k_{\tau}^2 - k_{\xi} \xi) b + k^2 \tau t

dove $\mu$ e $\nu$ sono costanti, $\{t, n, b\}$ è il sistema di riferimento di Frenet con $t = \frac{s'}{|s'|}$ , $n = \frac{s''}{|s''|}$ , e $b = \frac{s' \times s''}{|s' \times s''|}$ ; e $k$ e $\tau$ sono la curvatura e la torsione della linea (vedi [19] per maggiori dettagli). Quando $\mu = \nu = 0$ , l'Equazione (9.1.8) si semplifica in (9.1.7).

Evoluzione del Groviglio di Vortici: Riconnessioni e Fissaggio dei Vortici

Caratteristiche importanti della dinamica dei vortici sono le riconnessioni dei vortici, inizialmente ipotizzate da Feynman [21] e successivamente confermate sperimentalmente [22-24] e tramite modelli microscopici [4, 5, 15, 25-31]. Le riconnessioni avvengono quando le linee di vortice si avvicinano abbastanza l'una all'altra. Negli esperimenti numerici, le riconnessioni sono state ottenute attraverso una procedura numerica “ad hoc” nel cosiddetto Modello di Filamento del Vortice (VFM) per simulare il comportamento reale del moto e delle interazioni dei vortici. Per questo scopo sono state esplorate e confrontate numerose tecniche, senza riscontrare differenze fisiche significative [32]. Le riconnessioni dei vortici, tuttavia, sorgono naturalmente nel condensato di Bose-Einstein, dove viene utilizzato il modello di Gross-Pitaevskii. Recentemente, in [24], sono state trovate numericamente e confermate sperimentalmente riconnessioni tra vortici. Lo stesso comportamento si verifica vicino alle pareti, dove le linee di vortice possono ancorarsi alle pareti (vedi Fig. 9.2). Le riconnessioni dei vortici e il fissaggio dei vortici cambiano la topologia delle linee di vortice: quando due filamenti di vortice si avvicinano molto l'uno all'altro (meno di una distanza caratteristica $L^{ -1/2}$ ) si riconnettono, mentre quando i vortici si avvicinano alle pareti (meno di una distanza caratteristica $L^{ -1/2}$ ) si fissano alla parete. Un vortice fissato si sblocca quando il flusso applicato lo piega molto fortemente; quindi subisce una riconnessione e fugge nello spazio libero, formando un anello di vortice. Le simulazioni numeriche di Schwarz [33-37] hanno analizzato questi effetti in dettaglio. Questo comportamento può essere facilmente compreso se si immagina che la parete agisca come uno specchio per i vortici, per cui quando la linea di vortice si avvicina alla parete, essa si comporta come se ci fosse un'altra linea di vortice a cui riconnettersi.

Le riconnessioni e il fissaggio dei vortici sono alla base microscopica della dinamica dell'insieme di vortici che costituiscono i grovigli di vortici. Questo è un argomento complesso che, da una prospettiva fenomenologica, deve essere descritto tramite equazioni di evoluzione semplificate ma efficienti per la densità di lunghezza dei vortici $L$ , la polarità del groviglio e i parametri di anisotropia del groviglio. Nel caso più semplice, le caratteristiche macroscopiche dei fenomeni sono descritte dall'equazione di Vinen (5.1.7), che può essere derivata statisticamente dalla dinamica microscopica dei vortici [37].

Le Onde di Kelvin

Se un vortice è lievemente deformato in una elica, la deformazione può propagarsi lungo la linea di vortice come un'onda chiamata onda di Kelvin, come discusso per la prima volta da Lord Kelvin nel 1880 [7]. Le riconnessioni tra i vortici causano l'apparizione di queste onde di Kelvin, che si propagano lungo la linea di vortice come modalità di perturbazione a lunga scala di un sottile filamento di vortice [38]. La non linearità, come quella corrispondente ai termini $\mu$ e $\nu$ in (9.1.8), ad esempio, causa il trasferimento di energia tra le diverse armoniche che compongono un'onda. Va notato che all'interno di un groviglio di vortici si verificano molte altre dinamiche, come i processi di riconnessione, le deformazioni su larga scala causate dalla presenza di altri vortici e delle pareti, la fuga di anelli dal nucleo, e così via. In [6, 39, 40], Nemirovskii e Kondaurova hanno studiato numericamente e teoricamente come vari fattori contribuiscano al decadimento della lunghezza totale del vortice e, indirettamente, dell'energia dei vortici quantici interagenti all'interno di un nucleo.

Caso Senza Attrito: L'Approssimazione di Induzione Locale

Seguendo (9.1.7), una riformulazione di (9.1.1) in uno spazio di coordinate estrinseche consente di trovare una soluzione esatta per l'onda di Kelvin non lineare. Supponiamo che l'asse $z$ rappresenti la configurazione rettilinea della linea di vortice non perturbata (vedi Fig. 9.3) [41, 42]. La posizione $s(z, t)$ di un punto nella linea di vortice può essere espressa come $s(z, t) = (\phi(z, t), z)$ . In [43] è stato dimostrato che, in questo sistema di riferimento, (9.1.7) porta all'equazione non lineare

Come la Simmetria Termodinamica tra Fotoni e Anelli Cosmogonici Influenza l'Expansione Cosmica

L'equazione che lega la pressione ( $p$ ) e la densità di energia ( $\rho$ ) durante l'espansione cosmica è fondamentale per comprendere come l'energia si riduce durante tale processo. In particolare, quando $p = -\rho$ , il lavoro compiuto dall'espansione annulla la riduzione della densità di energia, portando a una densità energetica costante durante l'espansione. Tale relazione fornisce una chiara connessione tra la pressione e la densità di energia, influenzando il tasso di diminuzione della densità energetica lungo l'espansione cosmica.

Uno degli aspetti più affascinanti di queste dinamiche è il lavoro sulle soluzioni in cui la relazione $p = -w\rho$ , con $w$ che si trova nell'intervallo $1/3 < w < 1$ , viene studiata in modo attivo nella cosmologia e nella termodinamica. L'approccio teorico con $w = 2/3$ è stato a lungo considerato valido in base ai dati osservativi sull'espansione cosmica, ma i risultati più recenti tendono a favorire valori di $w$ più prossimi a 1. Questo suggerisce un cambiamento significativo nella comprensione dell'evoluzione dell'universo, in particolare nella fase dominata da stringhe cosmiche.

Dal punto di vista cosmologico, le caratteristiche più rilevanti derivanti dalla dualità termodinamica tra fotoni e anelli cosmici, sottolineata nella sezione 11.5, sono tre. La prima è che gli anelli cosmici non hanno effetti gravitazionali significativi, poiché la relazione $\frac{U}{V} + 3p = 0$ implica un'espansione cosmica con tasso costante, mentre i fotoni rallentano l'espansione cosmica, come evidenziato da $\frac{U}{V} + 3p = 2 \frac{U}{V} > 0$ . La seconda riguarda la legge di Wien generalizzata che emerge in un'espansione adiabatica e reversibile, con $S(V, T) = \text{costante}$ , mostrando che $T^3 V \sim (T R)^3 \sim \text{costante}$ per i fotoni e $T^3 / V \sim (T / R)^3 \sim \text{costante}$ per gli anelli cosmici. Questo porterebbe a una simmetria termodinamica che stabilisce un parallelo tra l'universo nelle sue prime fasi, dominato dalla radiazione, e quello del futuro, dominato dalle stringhe cosmiche.

Un altro aspetto interessante emerge dalla relazione tra energia e volume. Per i fotoni, la densità di energia per unità di volume varia come $R^{ -4}$ , mentre per gli anelli cosmici come $R^{ -2}$ . Questa differenza rivela il comportamento distintivo tra i fotoni e le stringhe cosmiche in relazione all'espansione dell'universo, suggerendo una simmetria tra il passato radiante e il futuro dominato dalle stringhe.

In un contesto più profondo, viene proposta una relazione duale-invariante tra la lunghezza di Planck $l_P$ e il comportamento fisico delle particelle. L'idea che la relazione possa essere scritta come $u(l) = \frac{c}{l + l_P}$ suggerisce una generalizzazione della relazione di de Broglie a scale trans-Planckiane, potenzialmente modificando le leggi della fisica a lunghezze inferiori a quelle di Planck. Questo tipo di approccio, sebbene teorico, potrebbe essere rilevante per la comprensione delle compatibilità tra la meccanica quantistica e la relatività generale. Un'ulteriore implicazione riguarda la possibilità che l'energia dei fotoni non diverga all'approssimarsi della lunghezza di Planck, ma tenda piuttosto a zero, evitando la singolarità che sorgerebbe secondo le leggi della fisica tradizionale.

Il modello proposto suggerisce anche che a scale più piccole della lunghezza di Planck, l'incertezza associata alla posizione e al momento potrebbe non crescere indefinitamente, come previsto dal principio di indeterminazione di Heisenberg, ma raggiungere un massimo, per poi diminuire ulteriormente. Questo potrebbe offrire una possibile soluzione ai problemi di incompatibilità tra la meccanica quantistica e la relatività generale, che diventano particolarmente rilevanti a scale estremamente piccole, dove le fluttuazioni quantistiche dello spaziotempo sono predominanti.

Inoltre, la proposta di ridurre l'incertezza per lunghezze molto corte è in linea con alcune teorie alternative, come quella del "cristallo del mondo", che considera il tempo e lo spazio come entità quantizzate, con la lunghezza di Planck che stabilisce i limiti delle oscillazioni spazio-temporali. Le implicazioni di questa teoria potrebbero influenzare non solo la cosmologia ma anche la nostra comprensione della natura fondamentale dello spaziotempo.

La simmetria termodinamica tra fotoni e anelli cosmici, insieme alle ipotesi avanzate per una fisica trans-Planckiana, suggerisce che ci potrebbero essere leggi fisiche ancora sconosciute che reggono il comportamento dell'universo a scale estremamente piccole. In particolare, la possibilità che l'energia dei fotoni possa raggiungere un massimo finito piuttosto che divergere all'infinito solleva interrogativi importanti sulla validità delle leggi fisiche conosciute oltre una certa scala, indicando una potenziale riformulazione delle teorie quantistiche e relativistiche.

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