Flussi di calore accoppiati e vortici: Inomogeneità e polarizzazione

In questo capitolo esaminiamo l’interazione tra il flusso di calore e i vortici quantizzati, concentrandoci in particolare sul caso in cui i vortici siano polarizzati. La dinamica delle linee di vortice non si limita, quindi, alla produzione e distruzione, come discusso nel Capitolo 5, ma include anche il movimento diffusivo, una conseguenza delle inomogeneità, e il moto di deriva, legato all’interazione tra il flusso di calore e i vortici. Quest’ultimo può manifestarsi come una forza di resistenza nei vortici non polarizzati o come una forza laterale aggiuntiva nei vortici polarizzati. Il tema è oggetto di esperimenti e simulazioni numeriche, e presenta la complessità aggiuntiva della presenza di piccole particelle sospese utilizzate per la visualizzazione del flusso.

Spesso si assume che l’intreccio di vortici sia praticamente omogeneo e isotropo, al punto che la densità di linee di vortice $L$ sia sufficiente a descriverlo. Tuttavia, quando il flusso di calore non è omogeneo, come accade, per esempio, in situazioni con simmetria assiale o sferica, o in canali con sezione trasversale non omogenea, l’intreccio di vortici non sarà omogeneo e un contributo diffusivo si manifesterà nell’equazione evolutiva di $L$ , descrivendo il flusso di vortici dalle regioni con $L$ più alta a quelle con $L$ più bassa. Oltre a questa estensione relativamente semplice, possono sorgere situazioni più complesse, come nel caso del flusso contrario rotante o dei flussi di Couette e Poiseuille, o dietro una griglia trainata attraverso un superfluido in quiete, dove il compromesso tra l’effetto di orientamento di una rotazione locale e l’effetto randomizzante del flusso di calore rende l’intreccio di vortici parzialmente polarizzato e anisotropo. Infatti, anche nelle situazioni pure di flusso contrario in canali cilindrici, l’intreccio di vortici non è completamente isotropo, come mostrato da alcuni esperimenti e simulazioni, poiché le linee di vortice tendono ad orientarsi perpendicolarmente al flusso di calore. Pertanto, è necessaria una descrizione geometrica più dettagliata dell’intreccio, oltre la densità scalare delle linee di vortice.

Nelle situazioni con vortici polarizzati, come nei sistemi rotanti o nei flussi piani con vortici e antivortici, la polarizzazione locale $p$ interagisce con il flusso di calore locale $q$ , descrivendo un accoppiamento delle rispettive equazioni evolutive, che porta a una forza laterale sui vortici e a una deviazione del flusso di calore.

Quando il flusso di calore è inhomogeneo, anche l’intreccio di vortici risulterà inhomogeneo, poiché in uno stato stazionario esiste una proporzionalità approssimativa tra $L$ e $q^2$ . Se $L$ cambia da punto a punto, bisogna incorporare nel dinamico di $L$ il termine di diffusione dei vortici. Inoltre, i gradienti di $L$ possono contribuire al trasporto di calore e $q$ può esercitare forze di resistenza o laterali sui vortici, conducendo a una dinamica molto più ricca rispetto a quella considerata nel Capitolo 5. Le equazioni per il flusso di calore e per la densità di linee di vortice si riscrivono nel seguente modo:

\dot{q} + \nabla \cdot J_q = \sigma_q

\dot{L} + \nabla \cdot J_L = \sigma_L

dove i tensori $J_q$ e $J_L$ rappresentano i flussi di calore e di linee di vortice, e $\sigma_q$ e $\sigma_L$ sono i rispettivi termini di produzione netta. La presenza delle inomogeneità viene descritta da $J_q$ e $J_L$ , che, al primo ordine in $q$ , si esprimono nella forma:

J_q = \beta_0(T, L) U, \quad J_L = \nu_0(T, L) q

I coefficienti $\beta_0$ e $\nu_0$ rappresentano l’accoppiamento tra il flusso di calore e la densità di linee di vortice, e il loro significato fisico viene chiarito più avanti. Sostituendo queste espressioni nelle equazioni precedenti, otteniamo il sistema:

\dot{q} + \zeta \nabla T + \chi \nabla L = - K_f L q

\dot{L} + \nabla \cdot (\nu_0 q) = A_q L^{3/2} - B L^2

dove i coefficienti $\zeta$ e $\chi$ descrivono l’accoppiamento non locale tra il flusso di calore e la densità di linee di vortice.

Un aspetto rilevante che emerge è il fenomeno della diffusione dei vortici. Quando $q$ varia lentamente al punto da poter trascurare $\dot{q}$ , si ottiene:

\dot{L} = A_q L^{3/2} - B L^2 + \nu_0 \chi \nabla^2 L

questo è l’equazione di Vinen con un termine di diffusione, dove il coefficiente $D = \nu_0 \chi$ è identificato come il coefficiente di diffusione dei vortici. Se il gradiente di temperatura è nullo, come in alcune situazioni di flusso stazionario, l’accoppiamento tra la densità di vortici e il flusso di calore si manifesta attraverso onde di densità di vortici che si propagano con velocità $v_{\infty}^2 = \nu_0 \chi$ .

Infine, è importante comprendere che la diffusione dei vortici e le onde di densità di vortici hanno implicazioni cruciali per la dinamica turbolenta dei superfluidi. La comprensione accurata di questi fenomeni può migliorare le tecnologie basate su fluidi superflui, come quelle utilizzate per la visualizzazione e il controllo di vortici in sistemi fisici estremamente stabili e controllabili.

Come si sviluppa la dinamica dei vortici quantizzati nelle stelle e la rotazione del loro nucleo e crosta

Nel contesto delle stelle che ospitano un nucleo superfluido e una crosta rigida, è possibile analizzare la dinamica della rotazione del sistema in base ai momenti di inerzia relativi a ciascuna delle componenti: la crosta e il superfluido. I momenti di inerzia $I_C$ e $I_S$ rappresentano rispettivamente quelli della crosta e del superfluido, mentre le coppie $k_r$ e $k_{Sr}$ descrivono le forze torcenti che agiscono su ciascuna componente. Il totale del momento torcenti è dato dalla somma di questi due, cioè $k_r = k_{Cr} + k_{Sr}$ .

L'energia del sistema stellare si perde principalmente a causa di due effetti distinti: la radiazione elettromagnetica e la perdita di energia a piccola scala nelle linee di vortice. All'inizio del regime turbolento, i vortici rettilinei sono ancora ancorati alla crosta e il parametro $\dot{\Omega}_{SC}$ raggiunge il suo massimo. Successivamente, la velocità angolare della crosta aumenta, mentre quella del superfluido diminuisce rispetto alla velocità media dell'intera stella, a causa del trasferimento di energia e momento angolare dalla parte interna della stella alla crosta. Questo comportamento implica che il segno del momento torcenti $k_r$ cambi nei due regimi. Alla fine del regime turbolento, la crosta e il superfluido co-rotano nuovamente, e quindi $\dot{\Omega}_{SC} = 0$ .

Nel regime del vortice rettilineo, la densità delle linee di vortice $L$ si stabilizza a un valore di stato stazionario dato da $L = 2\dot{\Omega}_S/\kappa$ , dove $\kappa$ è la costante di vortice. Le soluzioni dell'equazione per $\dot{\Omega}_C$ e $\dot{\Omega}_S$ nel regime rettilineo si esprimono come segue:

\dot{\Omega}_C(t) = \dot{\Omega}_{av}(t) - A(K_C - K_S - t/\tau_S)(1 - e^{ -t/\tau_S})

\dot{\Omega}_S(t) = \dot{\Omega}_{av}(t) + B(K_C - K_S)(1 - e^{ -t/\tau_S})

dove $\dot{\Omega}_{av}(t)$ rappresenta la velocità angolare media ponderata dai momenti di inerzia delle due componenti, crosta e superfluido:

\dot{\Omega}_{av}(t) = A\dot{\Omega}_S + B\dot{\Omega}_C

Al tempo $t = 0$ , le velocità angolari della crosta e del superfluido sono uguali a $\dot{\Omega}_S = \dot{\Omega}_C = 0$ , ma successivamente queste velocità evolvono secondo la relazione sopra riportata.

Un altro aspetto cruciale nel comportamento dei vortici è la differenza tra le velocità angolari del superfluido e della crosta, che fornisce la velocità angolare relativa della parte interna della stella rispetto alla crosta. Questo differenziale di velocità, che segue una dinamica esponenziale, è descritto dalla formula:

\dot{\Omega}_{SC}(t) = \tau_r^{ -1} \left(1 - e^{ -t/\tau_S}\right)

Se $K_S = K_C$ , allora $\dot{\Omega}_{SC} = 0$ per tutti i tempi, indicando che la crosta e il superfluido ruotano con le stesse velocità. Tuttavia, si assume che $K_C > K_S$ per garantire una velocità angolare relativa positiva, dove la velocità della crosta è inferiore rispetto a quella della parte interna della stella.

Il fenomeno delle glitch è il risultato di un evento improvviso in cui i vortici si staccano dalla crosta, causando un'accelerazione improvvisa della rotazione della crosta stessa. Quando il tempo $\tau$ raggiunge un valore critico, si verifica questo stacco, che aumenta la velocità angolare della crosta a causa della tensione dei vortici quantizzati.

Nel regime turbolento, la densità delle linee di vortice si evolve secondo la relazione:

L = \frac{ -\alpha_1 \dot{\Omega}_S}{\kappa} \quad \text{per il regime turbolento}

La dinamica della rotazione della crosta e del superfluido può essere descritta da soluzioni che includono termini esponenziali e lineari, come mostrato nelle equazioni seguenti:

y_C(t) = D_C \exp(-D_1 q) + 1

y_S(t) = B D_C \exp(-D_1 q) + 1

dove i parametri $D_1$ , $A$ , $B$ , e $C$ sono costanti che dipendono dalle caratteristiche specifiche del sistema. Questi parametri emergono dalla soluzione delle equazioni differenziali e dalle condizioni iniziali, che sono legate alla configurazione energeticamente favorevole dei vortici rettilinei.

L'evoluzione di $\dot{\Omega}_{av} = \dot{\Omega}/\dot{\Omega}_0$ è descritta dall'equazione finale:

\dot{\Omega}_{av} = A y_S + B y_C = (A c_2 + B c_1) - (B K_C + A K_S)q

Questa relazione evidenzia l'importanza di una configurazione stabile di vortici rettilinei, che costituisce il comportamento finale verso cui tende il fluido quantistico all'interno della stella, dopo il regime turbolento.

È fondamentale comprendere che la complessità della rotazione della stella dipende dalle interazioni tra il vortice quantizzato e la crosta, e da come questi elementi influenzano l'evoluzione della velocità angolare della crosta e del superfluido. L'apparizione di turbolenze quantistiche e il successivo ritorno alla configurazione del vortice rettilineo segnano transizioni critiche nel comportamento della stella e devono essere prese in considerazione nella modellizzazione dei sistemi stellari.

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