Come i sistemi lineari rispondono a rumori frazionari di Gauss

La risposta di un sistema lineare sotto eccitazioni di rumori frazionari di Gauss è un processo gaussiano. Mediante l'applicazione di metodi analitici, è possibile ottenere funzioni di correlazione e funzioni di densità spettrale di potenza. Consideriamo un sistema lineare n-gradi di libertà (DOF), descritto dall'equazione:

dove $X = [X_1, X_2, \dots, X_n]^T$ è il vettore degli spostamenti, $M$, $C$ e $K$ sono le matrici di massa, smorzamento e rigidità (di dimensioni $n \times n$ rispettivamente), e $W_H(t) = [W_{H1}(t), W_{H2}(t), \dots, W_{Hm}(t)]$ è un vettore di $m$ rumori frazionari di Gauss indipendenti con indici di Hurst $H_1, H_2, \dots, H_m \in (1/2, 1)$. La matrice $R$ specifica le intensità di eccitazione.

Le matrici di risposta della media quadratica degli spostamenti e delle velocità possono essere calcolate tramite le seguenti integrazioni:

La risposta di un sistema lineare soggetto a rumori frazionari di Gauss può essere descritta attraverso equazioni differenziali stocastiche frazionarie, come nel caso del sistema n-dimensionale di equazione differenziale stocastica frazionaria:

dove $B_H(t) = [B_{H1}(t), \dots, B_{Hm}(t)]$ è un vettore di processi di Brownian motion frazionari indipendenti, con indici di Hurst $H_1, H_2, \dots, H_m \in (1/2, 1)$, e $A$ e $Q$ sono matrici costanti.

che, sostituendo l'equazione differenziale originale, porta alla soluzione:

La soluzione stazionaria del sistema si ottiene prendendo il limite per $t \to \infty$, risultando in una soluzione che dipende esclusivamente dall'integrazione con il rumore frazionario:

Nel caso di un sistema lineare a due gradi di libertà eccitato da rumori frazionari di Gauss, l'analisi della densità spettrale di potenza della risposta in spostamento risulta come una funzione complessa che descrive la correlazione fra i diversi modi del sistema, come nel caso di sistemi con matrici di rigidità e smorzamento specifiche. Il risultato di questa analisi è una matrice di densità spettrale che tiene conto delle interazioni fra i diversi modi.

Un esempio pratico di questo tipo di sistema è il caso di un sistema a un grado di libertà (SDOF) eccitato da un rumore frazionario di Gauss, descritto dalla seguente equazione:

Inoltre, è fondamentale notare che, per valori grandi di $\tau$, la funzione di correlazione degli spostamenti ha un comportamento asintotico che segue una legge del tipo:

In definitiva, un sistema eccitato da un rumore frazionario di Gauss non segue un processo di Markov, e il processo di spostamento presenta una dipendenza a lungo raggio che può essere descritta e misurata grazie agli indici stocastici.

Come applicare i metodi di media stocastica ai sistemi quasi-non-integrabili Hamiltoniani

I sistemi Hamiltoniani quasi-non-integrabili rappresentano una classe di sistemi dinamici complessi, nei quali la presenza di non-linearità e di interazioni tra le diverse variabili porta a un comportamento che non può essere facilmente integrato o risolto in forma esplicita. Questi sistemi, pur possedendo un insieme di leggi di conservazione, non ammettono soluzioni analitiche generali, ma possono essere studiati utilizzando tecniche avanzate di media stocastica, che semplificano l'analisi delle loro dinamiche nel caso di eccitazioni stocastiche.

La trasformazione delle coordinate e il determinante di Jacobi

Iniziamo con la trasformazione delle coordinate in un sistema Hamiltoniano generalizzato. Un modo comune per affrontare la complessità di un sistema Hamiltoniano è introdurre una trasformazione delle coordinate, che riduca il problema a una forma più gestibile. Questo tipo di trasformazione è descritta da una serie di equazioni (come l'Equazione 5.32 nel testo) che consentono di esprimere le nuove variabili in termini di quelle originarie. Ad esempio, la trasformazione delle coordinate che si basa sulle variabili angolari, come $\theta_i$, è fondamentale per semplificare il determinante di Jacobi e ottenere una forma più semplice del sistema dinamico.

L'approccio della media stocastica per i sistemi Hamiltoniani

Una volta che il sistema è stato trasformato in un formato più gestibile, si può applicare il metodo della media stocastica. Questo approccio permette di ridurre l'impatto delle fluttuazioni stocastiche e ottenere soluzioni mediate che descrivano l'evoluzione a lungo termine del sistema. La tecnica consiste nel "mediare" le equazioni del moto rispetto a una distribuzione stocastica, eseguendo un'integrazione nelle nuove variabili angolari e nel dominio delle energie. Questo tipo di mediazione fornisce una visione a lungo termine del comportamento del sistema, riducendo l'effetto di oscillazioni rapide o transitorie.

In pratica, il metodo della media stocastica si applica alle equazioni di moto trasformate. Le equazioni del tipo:

vengono quindi risolte usando i metodi di integrazione numerica, tenendo conto delle funzioni di dispersione e della matrice di covarianza che caratterizzano il comportamento stocastico del sistema. In particolare, quando il sistema è governato da forze esterne di tipo gaussiano, come nel caso dei rumori bianchi descritti nelle equazioni (5.55) e (5.57), la soluzione media è particolarmente utile per comprendere l'evoluzione del sistema a lungo termine.

Sistemi stocastici e dissipatione

Nel caso di sistemi stocastici, come quello esemplificato nelle Equazioni (5.55)-(5.57), l'introduzione di un termine di dissipazione diventa essenziale. I sistemi come quello descritto, che sono costituiti da più oscillatori non lineari interconnessi, possono essere descritti come una rete complessa di oscillatori accoppiati da molle non lineari. In questi sistemi, le forze di dissipazione e gli effetti stocastici modificano significativamente il comportamento dinamico, portando a fenomeni complessi come la sincronizzazione o la transizione tra stati di ordine e disordine.

Il trattamento stocastico di tali sistemi consente di ottenere una descrizione probabilistica delle dinamiche, che include sia il termine di drift, dovuto alle forze conservative, sia il termine di diffusione, che rappresenta l'effetto delle fluttuazioni stocastiche. La media stocastica fornisce quindi una descrizione semplificata ma accurata della risposta a lungo termine, che può essere utilizzata per predire il comportamento del sistema in presenza di rumori esterni.

Integrazione numerica e applicazioni pratiche

Nell'ambito della simulazione numerica, l'integrazione delle equazioni di moto trasformate permette di studiare l'evoluzione temporale di sistemi complessi. Le equazioni di moto stocastiche come quelle espresse nelle Equazioni (5.58)-(5.63) sono risolte numericamente utilizzando metodi come il metodo di Runge-Kutta, applicato a ogni variabile del sistema. La separazione delle variabili in sottodomini consente una gestione più semplice degli integrali multi-dimensionali, mentre l'approccio numerico offre una soluzione approssimata che può essere affinata in base alla precisione richiesta dal problema.

Conclusioni

Come il Metodo di Averaging Stocastico Si Applica ai Sistemi Quasi-Hamiltoniani

Nel contesto dei sistemi Hamiltoniani, il metodo di averaging stocastico è una tecnica potente per semplificare l'analisi di dinamiche complesse, particolarmente quando il sistema è esposto a rumori bianchi gaussiani e presenta un comportamento oscillatorio su scala temporale diversa. L'approccio, che si applica frequentemente ai sistemi quasi-integrabili, si concentra sull'averaging delle equazioni differenziali stocastiche, riducendo la complessità della modellizzazione senza sacrificare la precisione nei risultati.

Un esempio pratico di applicazione riguarda i sistemi di Van der Pol e Duffing, accoppiati tramite smorzamento non lineare e sollecitati da rumori bianchi gaussiani. In questo scenario, le equazioni del moto per le variabili $Q_1$ e $Q_2$, insieme alle rispettive velocità connesse $P_1$ e $P_2$, definiscono il comportamento del sistema. Quando il sistema è modellato come un sistema Hamiltoniano, la funzione Hamiltoniana complessiva è la somma delle Hamiltoniane dei sottosistemi separati. Il metodo di averaging stocastico consente di ridurre queste equazioni stocastiche a una forma più semplice, ottenendo così equazioni differenziali Itô stocastiche che descrivono l'evoluzione temporale del sistema in termini delle variabili energetiche lente $H_1$ e $H_2$.

Il vantaggio principale di questo approccio risiede nella capacità di trattare sistemi che, pur essendo stocastici, possono essere ridotti a una descrizione semplificata mediante l'uso dell'energia come variabile di stato. In particolare, l'equazione di Fokker-Planck mediata risultante, che descrive l'evoluzione della probabilità di transizione nel tempo, contiene solamente flussi potenziali, escludendo flussi circolari che sarebbero complicati da analizzare in un contesto stocastico completo.

Un ulteriore sviluppo importante riguarda le condizioni al contorno dell'equazione di Fokker-Planck mediata. Queste dipendono dalle caratteristiche intrinseche del sistema Hamiltoniano e dalle restrizioni imposte su di esso. Se il sistema è confinato a un quadrante specifico dello spazio delle fasi, le condizioni al contorno devono riflettere questa restrizione, mantenendo la probabilità finita e decrescente verso l'infinito. Tali condizioni sono cruciali per il corretto comportamento del sistema nel lungo termine e per l'accuratezza della soluzione stazionaria.

Un aspetto interessante del metodo di averaging stocastico è la sua applicabilità anche ai sistemi integrabili e non-resonanti. Quando il sistema Hamiltoniano è periodico e ciascun sottosistema ha soluzioni periodiche, le distribuzioni di probabilità risultanti possono essere ottenute tramite trasformazioni canoniche che preservano la struttura del sistema. In tal modo, la probabilità di stato nel sistema originario può essere collegata alla funzione di distribuzione di probabilità del sistema mediato, con l'ulteriore vantaggio di un trattamento matematico meno oneroso.

Quando si applica il metodo di averaging stocastico a un sistema con più gradi di libertà, come nel caso di sistemi con due oscillatori accoppiati, l'analisi delle equazioni differenziali stocastiche diventa fondamentale per comprendere come l'interazione tra le variabili dinamiche influisce sul comportamento del sistema. La presenza di rumori bianchi gaussiani aggiunge un livello di complessità che, sebbene non modifiche la natura periodica dei sottosistemi, rende necessario un trattamento accurato della variabilità stocastica nei parametri del sistema.

Una delle principali caratteristiche di questo approccio è che, nonostante l'apparente complessità del sistema, l'averaging stocastico fornisce una soluzione elegante e ben definita in termini di variabili di stato mediate, che facilita la comprensione e la previsione del comportamento a lungo termine del sistema. Questo approccio non solo semplifica il calcolo delle probabilità di transizione, ma consente anche di eseguire simulazioni numeriche efficaci, come evidenziato nei risultati ottenuti da simulazioni Monte Carlo.

Inoltre, il metodo di averaging stocastico permette di affrontare casi particolari come quello delle risonanze interne deboli tra vari gradi di libertà. Questi casi, che possono complicare la struttura delle soluzioni, sono trattabili grazie alla riduzione della complessità delle equazioni originali e alla sua capacità di catturare la dinamica stocastica senza perdere informazioni cruciali sul comportamento oscillatorio del sistema.

Come comprendere la risposta stazionaria di un sistema vibrazione-impatto a 2 gradi di libertà usando il metodo di media stocastica

La dinamica di un sistema vibrazione-impatto a due gradi di libertà (2-DOF) può essere descritta attraverso un sistema di equazioni quasi-Hamiltoniane, le quali tengono conto sia delle forze elastiche che degli effetti di impatto. L’approccio che viene spesso utilizzato per analizzare tali sistemi è il metodo di media stocastica, che fornisce una descrizione semplificata ma accurata della risposta di sistemi non integrabili e quasi non integrabili.

Iniziamo con una trasformazione che semplifica le equazioni del sistema, come indicato nell’equazione (5.221). Applicando tale trasformazione, il sistema di equazioni del moto, che descrive la dinamica dei due gradi di libertà, può essere riscritto come un sistema quasi-Hamiltoniano. Queste equazioni, purtroppo, sono non lineari e contengono termini di accoppiamento che riflettono la complessità del comportamento dinamico del sistema, inclusi i termini di impatto e smorzamento.

Il passo successivo è la trasformazione di questo sistema in un insieme di equazioni stocastiche, utilizzando il metodo di media stocastica. In questo caso, le equazioni di moto vengono riscritte in un formato che può essere trattato con tecniche di media stocastica, come indicato dall’equazione (5.228). Le equazioni stocastiche, ottenute tramite il metodo di media, permettono di analizzare la risposta del sistema in condizioni di eccitazione casuale e rumore.

L’analisi di queste equazioni porta alla determinazione della densità di probabilità stazionaria del sistema. In particolare, la soluzione stazionaria della distribuzione di probabilità di spostamenti e velocità del sistema vibrazione-impatto può essere ottenuta come una funzione esponenziale della forma $p(h_1, h_2) = C \exp[-\lambda(h_1, h_2)]$, come mostrato nell’equazione (5.232). Questa soluzione fornisce informazioni fondamentali sulla probabilità di trovare il sistema in una determinata configurazione (spostamento e velocità) dopo un lungo periodo di evoluzione.

Tuttavia, l’applicazione di questo approccio stocastico dipende fortemente dalle caratteristiche del sistema. In presenza di un impatto debole, il metodo di media stocastica dei sistemi quasi-integrabili tende a fornire risultati più precisi rispetto al metodo per sistemi quasi-non-integrabili. Al contrario, per sistemi con un impatto forte, come quelli con alte intensità di eccitazione o grandi rigidità delle pareti elastiche, il metodo per sistemi quasi-non-integrabili si dimostra più preciso.

Oltre alla determinazione della risposta stazionaria, è fondamentale capire che la stima delle probabilità di dislocamento e velocità non è solo una questione di calcolo formale, ma implica anche la comprensione dei parametri di sistema, come le rigidità elastiche, l’intensità dell’eccitazione e le distanze tra le masse e le pareti elastiche. Questi parametri influenzano direttamente la capacità di un sistema di rispondere a stimoli dinamici e di mantenere un comportamento stabile nel tempo.

La risposta del sistema in condizioni di impatto debole e forte varia considerevolmente, e l’approccio stocastico fornisce una potente metodologia per caratterizzare il comportamento probabilistico del sistema, che può essere applicato a una vasta gamma di applicazioni ingegneristiche. La possibilità di analizzare vari scenari tramite simulazioni e metodi di media stocastica rende questa tecnica particolarmente utile per progettare e ottimizzare sistemi vibro-impacto in ambienti complessi e non lineari.

Come risolvere equazioni di FPK per sistemi quasi-integrabili tramite metodi stocastici

I sistemi hamiltoniani, quando sottoposti a perturbazioni stocastiche, mostrano comportamenti complessi che spesso necessitano di approcci avanzati per la loro analisi. Le equazioni di Fokker-Planck-Kolmogorov (FPK), in particolare, sono fondamentali per comprendere la distribuzione di probabilità di variabili casuali in un sistema stocastico. Per i sistemi hamiltoniani quasi-integrabili, dove le dinamiche di un sistema sono fortemente influenzate da forze esterne ma non completamente casuali, l'applicazione delle tecniche di media stocastica risulta particolarmente utile.

In presenza di piccole perturbazioni (parametrizzate da una piccola quantità ε), l'equazione FPK derivata dalla media stocastica diventa una versione troncata dell'originale, che conserva solo i termini significativi in termini di ordine ε. La soluzione di queste equazioni permette di ottenere informazioni sulla probabilità di transizione tra i diversi stati del sistema, che può essere un utile strumento per analizzare l'evoluzione temporale della distribuzione di probabilità.

Per esempio, l'equazione FPK troncata associata alle SIDEs (Sistemi di Equazioni Differenziali Stocastiche) può essere scritta come segue:

Nel caso di sistemi quasi-integrabili, il comportamento del sistema può essere descritto come una combinazione di dinamiche quasi-periodiche e stocastiche. L'analisi delle SIDEs per questi sistemi permette di derivare le equazioni per le variabili di momento generalizzato e le posizioni generalizzate. La trasformazione delle variabili in termini di coordinate generalizzate e momenti rende più chiara la struttura dinamica complessiva.

Ad esempio, per un sistema a 4 gradi di libertà, le equazioni del moto sotto l'influenza di rumori bianchi Gaussiani e Poisson possono essere scritte come segue:

La descrizione di questi sistemi tramite equazioni stocastiche permette di ottenere un quadro più chiaro delle probabilità di transizione tra vari stati, che è cruciale per la comprensione dei fenomeni di diffusione, instabilità e caos indotti dalle perturbazioni. Questi metodi sono particolarmente efficaci quando si ha a che fare con sistemi che non sono completamente integrabili, ma che mostrano una struttura dinamica che può essere approssimata da un insieme di equazioni stocastiche.

Inoltre, è importante notare che la normalizzazione della distribuzione di probabilità, che si ottiene integrando l'equazione FPK, è un passaggio fondamentale per garantire che la somma delle probabilità di tutti gli stati possibili sia uguale a uno. Questo implica che le soluzioni ottenute devono rispettare le condizioni al contorno imposte dalla fisica del sistema, come la conservazione dell'energia o le simmetrie specifiche del sistema.

Oltre alla soluzione delle equazioni FPK, è essenziale considerare le condizioni al contorno e l'impatto delle singole variabili stocastiche. La soluzione stazionaria dell'equazione FPK è fondamentale per determinare l'equilibrio del sistema sotto l'influenza di perturbazioni stocastiche, e offre una visione complessiva della probabilità di occupazione degli stati stazionari.

Per un'applicazione pratica, la modellizzazione numerica di questi sistemi tramite simulazioni Monte Carlo o metodi numerici specifici è spesso necessaria per ottenere soluzioni accurate, soprattutto quando il sistema presenta un gran numero di gradi di libertà o non è trattabile analiticamente. In tali casi, è importante anche considerare l'effetto dei diversi livelli di rumore e la loro influenza sui risultati a lungo termine.