Qual è l'influenza della rotazione sulla turbolenza dei superfluidi?

Nel contesto della turbolenza nei superfluidi, l'interazione tra rotazione e flusso di calore riveste un ruolo fondamentale e porta alla formazione di strutture di vortici complesse, difficili da prevedere utilizzando solo i modelli tradizionali. In particolare, la combinazione di rotazione e flusso di calore non segue una somma semplice dei due contributi individuali, ma piuttosto dà luogo a una dinamica complessa, in cui si verifica un'interazione tra vortici ordinati, indotti dalla rotazione, e vortici disordinati, indotti dal flusso contrario.

Quando un contenitore di superfluido è sottoposto a rotazione e a un flusso di calore lungo l'asse di rotazione, si osserva una distribuzione anisotropa dei vortici. Questo comportamento differisce notevolmente da quello che si verificherebbe se i due fenomeni fossero semplicemente sommati. Il flusso controcorrente tende a produrre un groviglio disordinato di linee di vortice, mentre la rotazione favorisce la formazione di linee ordinate, che si allineano parallelamente all'asse di rotazione. Questo contrasto tra le due tipologie di vortici genera una dinamica interessante che va oltre i modelli standard, che non riescono a cogliere completamente la complessità di questa interazione.

L’esperimento condotto da [45] ha rivelato che quando la rotazione e il flusso controcorrente sono combinati, si osserva la formazione di un groviglio anisotropo globale. A basse velocità del flusso controcorrente, la densità di linee di vortice cresce con l'aumentare della velocità angolare della rotazione, ma quando la velocità del flusso controcorrente supera una certa soglia critica, il comportamento del sistema cambia radicalmente. Si identificano due velocità critiche, $V_{c1}$ e $V_{c2}$ , che segnano transizioni nelle caratteristiche della turbolenza. Quando la velocità del flusso è bassa, la densità delle linee di vortice segue una relazione lineare con la rotazione, ma quando la velocità controcorrente aumenta, la densità di vortici cresce in modo non lineare, raggiungendo un limite superiore.

Per flussi più elevati e rotazioni più lente, la turbolenza sembra diventare "polarizzata", con una tendenza alla formazione di strutture di vortici sempre più ordinate. Tuttavia, questa polarizzazione è influenzata anche dalla competizione tra la formazione e la repulsione dei vortici, fenomeno che emerge dalle equazioni che descrivono l'evoluzione della densità di linee di vortice.

L'equazione di evoluzione della densità delle linee di vortice, che include l'effetto combinato di rotazione e flusso controcorrente, si presenta come una funzione complessa che dipende da vari parametri, tra cui la velocità del flusso controcorrente, la frequenza di rotazione e la temperatura. Una descrizione completa di questa dinamica richiede l'introduzione di termini che considerano l'anisotropia del groviglio e altre variabili dimensionless. L'equazione risultante descrive in modo soddisfacente le osservazioni sperimentali, ma va notato che essa si discosta da una semplice somma dei contributi individuali, rivelando la necessità di una trattazione più complessa per catturare appieno la fisica sottostante.

Un aspetto fondamentale da comprendere è che la rotazione facilita la formazione di vortici a basse velocità del flusso controcorrente, ma tende a ostacolare l'allungamento dei vortici a velocità più alte. In assenza di flusso controcorrente, la densità di vortici raggiunge un limite massimo, che corrisponde a una separazione minima tra le linee di vortice. Questa dinamica di competizione tra formazione e repulsione dei vortici, combinata con la rotazione, è cruciale per comprendere l'evoluzione della turbolenza nei superfluidi.

Un altro punto da considerare è la transizione tra diversi regimi di turbolenza, che dipendono da parametri come la temperatura e la velocità del flusso controcorrente. Queste transizioni sono legate alla generazione di onde elicoidali (onde di Kelvin) e alla formazione di grovigli disordinati, fenomeno che si verifica quando l'ampiezza delle onde di Kelvin diventa comparabile alla separazione media tra i vortici. Questo processo di riconnessione tra le linee di vortice è una manifestazione diretta della turbolenza indotta dal flusso controcorrente e dalla rotazione.

Infine, l'equazione di evoluzione della densità di vortici, derivata dal modello teorico, fornisce una visione accurata dei processi che avvengono in presenza di rotazione e flusso controcorrente. Tuttavia, va sottolineato che i modelli proposti non sono universali e devono essere adattati alle specifiche condizioni sperimentali, come la geometria del sistema e la temperatura. L'approccio basato su queste equazioni offre un quadro utile per analizzare e prevedere il comportamento della turbolenza nei superfluidi, ma la ricerca continua a cercare modi per perfezionare questi modelli e comprendere meglio le dinamiche sottostanti.

Come si descrive la transizione superfluida in presenza di rotazione e flusso di calore?

Per descrivere la transizione superfluida a pressione costante $p_0$ e in presenza di rotazione o flusso di calore, tenendo conto anche delle inhomogeneità di temperatura $T$ , si sceglie per la densità dell'energia libera la seguente espressione:

G = G_1 + G_f + G_L = G_1 + \frac{1}{\tilde{a}} f^2 + \frac{1}{\tilde{b}} f^4 + \left| \alpha_1 \nabla f + \alpha_2 \nabla T + \alpha_3 \nabla L \right|^2 + G_L(T, q^2, \dot{L})

dove $G_1 = G_1(p_0, T)$ è la densità dell'energia libera di Elio I, $G_L = G_L(T, q^2, \dot{L})$ è l'energia libera dei vortici, che si formano in presenza di un flusso di calore o rotazione. I coefficienti $\tilde{a}$ e $\tilde{b}$ , che hanno dimensione di energia, sono funzioni di $T$ , $\dot{L}$ e $q$ :

\tilde{a} = \tilde{a}(p_0, T, \dot{L}, q^2), \quad \tilde{b} = \tilde{b}(p_0, T, \dot{L}, q^2)

Confrontando questa equazione con l’equazione (8.3.5), si deduce che, in assenza di rotazione e flusso di calore, si ha:

\tilde{a}_0(T, 0, 0) = \alpha \rho, \quad \tilde{b}_0(T, 0, 0) = \beta

I coefficienti $\alpha_h$ sono quantità costanti. Seguendo la teoria di Ginzburg–Landau, minimizziamo l’energia libera totale $G$ rispetto al parametro d’ordine $f$ , ottenendo l’equazione di Eulero–Lagrange corrispondente, analoga all’equazione (8.3.3):

\frac{\delta G}{\delta f} = 0

Sostituendo l’espressione di $G$ nella forma dell’equazione di Eulero–Lagrange, otteniamo:

\tilde{a}(p_0, T, \dot{L}, q^2) f + \tilde{b}(p_0, T, \dot{L}, q^2) f^3 - \nabla \cdot \left[ \tilde{\alpha}_1 \nabla f + \tilde{\alpha}_2 \nabla T + \tilde{\alpha}_3 \nabla L \right] = 0

In situazioni non stazionarie, si assume che $f$ soddisfi un’equazione evolutiva del tipo:

\frac{\delta}{\delta f} \left( \partial_t f + f^2 \xi \nabla \cdot q \right) = - \gamma

dove $\xi \nabla \cdot q$ rappresenta il flusso del campo $f$ , con $\xi$ la lunghezza di coerenza definita precedentemente. Il termine di sorgente $-\gamma$ regola l’evoluzione temporale del parametro d'ordine $f$ . La situazione stazionaria corrisponde al minimo dell'energia libera, dove $\partial G / \partial f = 0$ . Nel nostro caso, utilizzando l’equazione precedente, otteniamo:

\partial_t f + f^2 \frac{\delta G}{\delta f} = - \gamma \left( \tilde{a} f + \tilde{b} f^3 - \nabla \cdot \left( \tilde{\alpha}_1 \nabla f + \tilde{\alpha}_2 \nabla T + \tilde{\alpha}_3 \nabla L \right) \right)

Considerando i limiti $f \to 0$ e $f \to 1$ , si osserva che nel caso normale, quando $f = 0$ , l'equazione deve ridursi a un'identità. Pertanto, assumendo costanti i coefficienti $\alpha_h$ , si deve mettere $\tilde{\alpha}_2 = 0$ e $\tilde{\alpha}_3 = 0$ nell’approssimazione considerata.

Confrontando questa equazione con l’equazione (8.3.6), vediamo che il coefficiente $\tilde{\alpha}_1$ è legato al quanta di vorticità $\kappa$ dalla relazione:

\tilde{\alpha}_1 = \frac{\rho}{4\pi^2} \kappa^2

Per determinare alcune restrizioni sui coefficienti $\tilde{a}$ e $\tilde{b}$ , la prima osservazione è che le soluzioni stazionarie dell’equazione precedente, trascurando le inhomogeneità spaziali delle variabili di campo, sono:

f = 0, \quad f^2 = -\frac{\tilde{a}(p_0, T, \dot{L}, q^2)}{\tilde{b}(p_0, T, \dot{L}, q^2)}

La prima soluzione descrive la fase normale, e deve essere stabile sopra la temperatura critica $T_c(p_0)$ , mentre la seconda descrive la fase superfluida, e deve essere stabile sotto $T_c(p_0)$ , dove $T_c(p_0)$ rappresenta la temperatura critica (o temperatura $\lambda$ ) alla pressione $p_0$ . Seguendo la teoria di Ginzburg–Landau, supponiamo che $\tilde{a}$ dipenda dalla temperatura critica $T_c(p_0)$ , mentre $\tilde{b}$ sia indipendente dalla temperatura. Pertanto, assumiamo:

\tilde{a} = A p_0 (q^2, \dot{L}) (T - T_c(p_0)), \quad \tilde{b} = B p_0 (q^2, \dot{L})

Alla pressione di vapore $p_0 = 0$ e in assenza di flusso di calore $q = 0$ o rotazione $\dot{L} = 0$ , si ha $T_c(0) = T_\lambda$ , $A_0 = \frac{\rho}{m} A$ e $B_0 = \frac{\rho}{m}^2 B$ , dove $A$ e $B$ sono i coefficienti introdotti nell’equazione (8.3.6).

Quando si misura la depressione della temperatura di transizione superfluida lungo la linea $\lambda$ a causa di un flusso di calore, si osserva che la temperatura critica $T_c$ dipende dalla pressione imposta $p_0$ , dal flusso di calore $q$ (o dalla rotazione $\dot{L}$ ), e dalla densità delle linee di vortici $L$ , cioè:

T_c(p_0) = T_c(p_0)(q^2, \dot{L})

Nel caso in cui si consideri una soluzione stazionaria senza flusso di calore, il parametro d'ordine $f$ decadrà in modo non lineare verso il valore $f^2 = 1 - (T/T_c)$ , che rappresenta il valore di equilibrio di $f$ alla temperatura $T$ . A temperature prossime allo zero, $\rho_s/\rho$ tende a 1, e quindi il parametro $f$ deve essere uguale a 1 quando $T \to 0$ .

Quali sono le caratteristiche termodinamiche della turbolenza quantistica e della superfluidità?

La generalizzazione dei modelli classici di turbolenza alla turbolenza quantistica è proposta come una nuova frontiera della fisica. In particolare, si passa dal modello .K − ε della turbolenza classica al modello generalizzato .K − ε − L per la turbolenza quantistica, tenendo conto degli accoppiamenti tra le fluttuazioni della velocità .v e quelle del quantum di vorticità .q e del parametro .L. Questo approccio espande la comprensione dei fenomeni turbolenti in un contesto quantistico, con l'obiettivo di descrivere le caratteristiche fisiche essenziali senza addentrarsi nei dettagli microscopici, che sono oggetto di attenzione nella letteratura specializzata.

Un aspetto fondamentale di questa analisi riguarda le cascate di energia, sia nel caso classico che in quello quantistico, e le differenze tra la regione idrodinamica e quella quantistica delle stesse. Queste due modalità di analisi, seppur fenomenologiche, permettono di esplorare in maniera concisa ma significativa le dinamiche energetiche in sistemi turbolenti, senza un esame approfondito delle interazioni microscopiche. È evidente che la turbolenza quantistica introduce una serie di peculiarità che non si manifestano nei modelli classici, tra cui la discrepanza nelle modalità di trasmissione dell'energia attraverso il fluido superfluido.

Un altro tema cruciale affrontato riguarda le caratteristiche termodinamiche del groviglio di vortici. Si esplora come l'entropia e la temperatura siano associabili a questo fenomeno fisico peculiare, ma con alcune differenze significative rispetto ai concetti di entropia e temperatura nel caso dell'elio superfluido sottostante. L'entropia e la temperatura del groviglio di vortici, infatti, non sono direttamente correlate a quelle del fluido superfluido, ma presentano caratteristiche uniche. Ad esempio, si osserva una temperatura efficace per i grovigli che può essere molte ordini di grandezza superiore a quella del fluido superfluido stesso, il che non sorprende considerando che ci troviamo in un sistema lontano dall'equilibrio termodinamico, rispetto a un sistema in equilibrio. Inoltre, viene discusso il concetto di pressione termodinamica negativa, una caratteristica che, pur avendo un interesse pratico limitato nelle applicazioni della superfluidità, apre a possibili analogie con la termodinamica di stringhe cosmiche.

Queste analogie portano a una formulazione duale della termodinamica, che stabilisce un parallelo tra i fotoni e le stringhe cosmiche, e una simile dualità termodinamica tra i buchi neri macroscopici e microscopici. Tali dualità forniscono la base per una versione invariata della relazione de Broglie della meccanica quantistica, che diventa invariabile al cambiamento della lunghezza d'onda .λ e della lunghezza di Planck .l p. Questa versione potrebbe essere utile per risolvere alcune incongruenze tra la fisica quantistica e la relatività generale, aprendo nuove strade per la ricerca teorica.

Nel contesto della superfluidità, il capitolo si concentra anche sull'analisi dei parametri fisici, delle condizioni al contorno e delle condizioni iniziali del modello di elio superfluido a un fluido, al fine di supportare i ricercatori interessati a migliorare il modello o a implementarlo tramite simulazioni numeriche. Sebbene esistano numerosi testi dedicati all'eliò superfluido e alla superfluidità in generale, con pochi che si concentrano sui metodi termodinamici non equilibristi applicati alla superfluidità e al trasporto di calore nei superfluidi, è necessario sviluppare una comprensione più approfondita di questi parametri e delle loro implicazioni pratiche.

Le dinamiche del trasporto del calore, come la seconda suono, il trasporto non locale e il trasporto non lineare, costituiscono un aspetto straordinario e affascinante del comportamento dei superfluidi. La ricerca su questi fenomeni si estende oltre la pura fisica del fluido superfluido, esplorando le connessioni tra il trasporto di calore e la turbolenza quantistica, creando un punto di convergenza tra la fisica dei sistemi macroscopici e quella dei buchi neri, nonché tra la teoria della turbolenza quantistica e la cosmologia.

Una lettura attenta dei modelli proposti e delle analogie con fenomeni cosmologici potrebbe fornire nuovi spunti non solo per gli studiosi della fisica teorica, ma anche per i ricercatori interessati alla termodinamica dei sistemi lontani dall'equilibrio. La complessità e la diversità delle equazioni fisiche discusse ispireranno sicuramente nuovi approcci nella ricerca della matematica applicata e nella fisica dei fluidi quantistici.

La Dualità Termodinamica tra Buchi Neri Macro e Micro

La teoria della relatività e la meccanica quantistica, sebbene siano in grado di descrivere fenomeni naturali separati, sembrano essere in conflitto quando si cerca di combinare le loro descrizioni, in particolare nell’ambito dei buchi neri e della gravità quantistica. L'introduzione di un concetto come la lunghezza di Planck, che unisce la gravità con gli aspetti quantistici, ha rivoluzionato il modo di concepire le interazioni a scale estremamente piccole. Questa lunghezza, definita come $\ell_P = \sqrt{\frac{G \hbar}{c^3}}$ , ha implicazioni cruciali nella descrizione termodinamica dei buchi neri e nel comportamento della gravità quantistica.

Secondo alcune teorie, per lunghezze d'onda relativamente lunghe, la velocità della luce rimane costante, ma man mano che ci si avvicina alla scala di Planck, la velocità della luce in un vuoto sarebbe destinata a ridursi, tendendo a zero. Ciò implica che le relazioni di incertezza di Heisenberg ( $\Delta x \Delta p \geq \hbar$ ) potrebbero variare su scale molto piccole, diventando meno vincolanti e raggiungendo valori prossimi a zero alla lunghezza di Planck. In contrasto, altre versioni della relazione di incertezza modificate sono state proposte nell'ambito della gravità quantistica e delle teorie delle stringhe. Un esempio è la relazione che implica una modificazione dell'incertezza spaziale e della quantità di moto, la quale dipende dalla lunghezza di Planck e ha un comportamento differente rispetto alla versione classica.

Tali teorie, purtroppo, non sono completamente risolutive, ma aprono la porta a una nuova comprensione dei fenomeni fisici a scale microscopiche, dove la gravità quantistica e la teoria delle stringhe potrebbero giocare un ruolo centrale. Le previsioni che scaturiscono da queste teorie portano a una riduzione dell'incertezza spaziale e della quantità di moto, soprattutto alle lunghezze di Planck, dove si prevede una forte connessione tra la struttura dello spazio-tempo e l'incertezza quantistica.

Un'altra importante implicazione riguarda la termodinamica dei buchi neri. La proposta di Bekenstein e Hawking, negli anni '70, di una teoria che combinasse la gravità con la meccanica quantistica, ha introdotto una nuova visione sull'entropia dei buchi neri. In questa teoria, l’entropia $S$ di un buco nero è direttamente proporzionale all'area $A$ del suo orizzonte degli eventi, e non al volume, come ci si potrebbe aspettare classica. La relazione proposta da Bekenstein era della forma $S = \frac{k_B A}{4 \ell_P^2}$ , dove $k_B$ è la costante di Boltzmann e $\ell_P$ è la lunghezza di Planck.

La connessione tra la massa di un buco nero $M$ e la sua energia $U = Mc^2$ porta a una descrizione del buco nero che dipende dalla sua superficie. Poiché la superficie di un buco nero è proporzionale al suo raggio di Schwarzschild $R_s = 2GM/c^2$ , ciò implica che l'energia del buco nero è proporzionale a $R_s$ , ma l'entropia cresce con il quadrato del raggio. Questo approccio è stato ulteriormente generalizzato nelle teorie più moderne che tengono conto delle modificazioni termodinamiche e della dualità invariante.

La proposta di dualità termodinamica tra buchi neri macro e micro, che si basa sulla relazione inversa tra massa e temperatura, presenta alcune implicazioni sorprendenti. Per i buchi neri piccoli, la temperatura tende a salire rapidamente, portando a una rapida evaporazione, come previsto dalla teoria di Hawking. Tuttavia, con l’introduzione di questa dualità, si prevede che l'evaporazione dei buchi neri microscopici sia molto più lenta, con una temperatura che cresce al crescere della massa, fino a raggiungere un equilibrio termico che potrebbe suggerire una nuova visione sull’esistenza di buchi neri microscopici come costituenti della materia oscura.

Questa teoria suggerisce che la termodinamica dei buchi neri si comporti in modo diverso a seconda delle dimensioni. I buchi neri macro, con una massa grande, mostrano una temperatura inversamente proporzionale alla loro massa, mentre i buchi neri micro, con una massa piccola, mostrano una temperatura proporzionale alla loro massa. Queste due tipologie di buchi neri, sebbene simili a livello energetico, manifestano comportamenti termodinamici differenti.

In un contesto più ampio, l'idea di dualità termodinamica tra buchi neri macro e micro ha implicazioni anche sulla comprensione dell'evoluzione termica dell'universo. La simmetria di dualità termodinamica che collega lo stato termico di un buco nero macroscopico a quello di un gas di fotoni è paragonabile alla simmetria che collega l'equilibrio termico di buchi neri microscopici a un gas di loop di stringhe cosmiche. In entrambi i casi, queste teorie suggeriscono una nuova interpretazione della materia oscura e delle fasi iniziali dell'universo, dove i buchi neri microscopici potrebbero costituire una parte significativa della materia non visibile che permea l'universo.

Infine, è importante sottolineare che, anche se la teoria duale prevede una lenta evaporazione per i buchi neri microscopici, esistono ancora molte incertezze sulla natura effettiva dei buchi neri a scale estremamente piccole. Questi potrebbero avere un impatto significativo sulla nostra comprensione della materia oscura e dell'evoluzione dell'universo, sfidando le ipotesi classiche e proponendo una nuova prospettiva sulla gravità quantistica.

Cosa succede quando il passato non si lascia dimenticare?
Come le simulazioni CFD influenzano l'innovazione nelle tecnologie di scambio termico
Il Patriotismo di Rousseau: Una Critica al Cosmopolitismo