Qual è il metodo di media stocastica per sistemi Hamiltoniani quasi-integrabili sotto eccitazione da rumore gaussiano frazionario?

Il metodo di media stocastica, come proposto da Lü et al. (2020a), è una tecnica fondamentale per l'analisi di sistemi Hamiltoniani quasi-integrabili sotto eccitazione da rumore gaussiano frazionario (fGn). In questi sistemi, la presenza di rumore frazionario, che ha una correlazione temporale a lungo raggio, richiede una trattazione particolare rispetto ai metodi classici di media stocastica, applicabili a rumori bianchi o con autocorrelazione esponenziale.

Un approccio cruciale in questo contesto è la considerazione dei sistemi che, sebbene possano sembrare complessi a causa delle loro interazioni non lineari, possono essere trattati efficacemente mediante la riduzione della dimensione del sistema attraverso l'uso di variabili angolari e medie stocastiche. In particolare, i sistemi quasi-integrabili presentano comportamenti che, sebbene non siano completamente integrabili, possono essere approssimati mediante metodi stocastici, riducendo la complessità e consentendo calcoli efficienti delle statistiche di risposta.

Un esempio di tale applicazione è la simulazione di un sistema di oscillatori di Rayleigh accoppiati, che sono soggetti a eccitazioni da fGn. Il sistema, trasformato in un sistema Hamiltoniano quasi-integrabile, può essere analizzato mediante il metodo di media stocastica per ottenere le distribuzioni di probabilità stazionarie e altre statistiche rilevanti. Il risultato finale di questo approccio consiste nell'identificare un comportamento a lungo termine del sistema, rappresentato da una funzione di densità di probabilità (PDF) stazionaria che descrive la distribuzione delle variabili di stato del sistema.

Nel caso di sistemi con risonanza interna, come quelli accoppiati che presentano frequenze naturali simili, l'approccio del metodo di media stocastica si adatta per trattare le non-linearità introdotte dalla risonanza. L'analisi delle soluzioni mediate stocasticamente in presenza di risonanze interne consente di ridurre le dimensioni del sistema e di ottenere risultati quantitativi significativi, anche per sistemi complessi e non lineari.

Il metodo di media stocastica per i sistemi Hamiltoniani quasi-integrabili sotto eccitazione da rumore gaussiano frazionario può essere formulato in termini di equazioni differenziali stocastiche, che descrivono la dinamica delle variabili di stato. Queste equazioni, che includono sia termini di deriva che di diffusione, sono essenziali per calcolare la statistica di risposta del sistema, inclusi i momenti di secondo ordine, le medie quadrate e le funzioni di correlazione.

La risoluzione di queste equazioni è spesso un processo numerico, ma in determinate condizioni, è possibile ottenere soluzioni analitiche per la funzione di densità di probabilità stazionaria. Questo permette di descrivere accuratamente il comportamento di sistemi stocastici con rumore frazionario e di ottenere una comprensione più profonda delle dinamiche che governano tali sistemi.

Quando si affrontano tali metodi, è importante non solo considerare la soluzione stocastica dei sistemi, ma anche tener conto della sensibilità ai parametri del modello e dei possibili effetti di risonanza che potrebbero influenzare la risposta del sistema. La trattazione di questi aspetti attraverso un'approfondita analisi numerica consente di ottenere risultati che sono sia precisi che utili in una vasta gamma di applicazioni ingegneristiche e fisiche, dove il rumore frazionario è una caratteristica comune.

La comprensione dei parametri che governano la diffusione del rumore e le correlazioni temporali è fondamentale per l'interpretazione dei risultati. Ad esempio, la funzione di densità di probabilità stazionaria che descrive il comportamento a lungo termine di un sistema Hamiltoniano può essere influenzata dalla struttura del rumore, e quindi la scelta di un modello di rumore appropriato è cruciale per ottenere risultati corretti. Inoltre, la tecnica della media stocastica non è limitata solo ai sistemi quasi-integrabili, ma può essere estesa a una vasta classe di sistemi dinamici non lineari.

Quali sono le caratteristiche dei sistemi Hamiltoniani quasi-integrabili con forze viscoelastiche?

Il sistema quasi-Hamiltoniano può essere definito attraverso un insieme di equazioni differenziali che descrivono l'evoluzione temporale delle variabili di stato in un sistema dinamico. Esso si compone di due oscillatori interagenti, i cui movimenti sono governati da un Hamiltoniano che incorpora viscoelasticità, forze dissipative e rumori stocastici. In particolare, l'equazione di evoluzione per le variabili di posizione e momento in un sistema simile è espressa come segue:

\dot{Q}_1 = \frac{\partial H}{\partial P_1}, \quad \dot{Q}_2 = \frac{\partial H}{\partial P_2}

\dot{P}_1 = -\frac{\partial H}{\partial Q_1} - [\gamma_1 + \mu_1 C_{11}(H_1) + \eta_1(Q_2^2 + Q_2)] P_1 - \mu_1 C_{12}(H_2) P_2 - \mu_1 K_{12}(H_2) Q_2 + W_{g1}(t)

\dot{P}_2 = -\frac{\partial H}{\partial Q_2} - [\gamma_2 + \mu_2 C_{22}(H_2) + \eta_2(Q_2^2 + Q_2)] P_2 - \mu_2 C_{21}(H_1) P_1 - \mu_2 K_{21}(H_1) Q_1 + W_{g2}(t)

Il termine Hamiltoniano, che regola l'evoluzione del sistema, è dato dalla somma dell'energia cinetica e potenziale dei due oscillatori:

H = H_1 + H_2, \quad H_i = \frac{P_i^2}{2 \omega_i^2} + \frac{1}{2} Q_i^2, \quad \omega_i^2 = \omega_i^2 + \mu_i K_{ii}(H_i)

Dove $P_i$ e $Q_i$ sono rispettivamente il momento e la posizione dell'oscillatore, e $\omega_i$ è la frequenza naturale, che dipende dalle forze di accoppiamento e dalle condizioni di sistema.

La complessità del sistema emerge quando si considerano le forze dissipative che dipendono dallo stato del sistema stesso. I termini di interazione tra i due oscillatori, come $\mu_2 K_{21}(H_1) Q_1$ e $\mu_1 K_{12}(H_2) Q_2$ , risultano piccoli rispetto ai termini di energia cinetica, ma comunque significativi per determinare il comportamento dinamico del sistema. Questi effetti viscoelastici e di accoppiamento portano alla necessità di trattare due casi distinti: il caso non risonante e il caso risonante.

Nel caso non risonante, i frequenze medie $\omega_1$ e $\omega_2$ degli oscillatori non soddisfano la relazione di risonanza interna debole, e il sistema evolve in un processo stocastico descritto da un sistema di equazioni differenziali Itô. In questo caso, l'averaging stocastico è applicato per ottenere le equazioni differenziali medie:

dH_1 = m_1(H_1, H_2) dt + \sigma_{11}(H_1, H_2) dB_1(t) + \sigma_{12}(H_1, H_2) dB_2(t)

dH_2 = m_2(H_1, H_2) dt + \sigma_{21}(H_1, H_2) dB_1(t) + \sigma_{22}(H_1, H_2) dB_2(t)

I coefficienti di deriva e diffusione, ottenuti tramite l'analisi stocastica, sono dati da:

m_1(H_1, H_2) = -\frac{\mu_1}{\omega_1^2} (\gamma_1 + \mu_1 C_{11}) H_1 - \eta_1 \cos(2\theta) H_1 H_2 + D_1

m_2(H_1, H_2) = -\frac{\mu_2}{\omega_2^2} (\gamma_2 + \mu_2 C_{22}) H_2 - \eta_2 \cos(2\theta) H_1 H_2 + D_2

Queste equazioni mediate descrivono l'evoluzione delle variabili di energia nei casi stocastici non risonanti, considerando rumori bianchi gaussiani. Le soluzioni di questo sistema portano alla funzione di distribuzione di probabilità stazionaria (PDF), che può essere calcolata numericamente. Ad esempio, per il sistema in esame, il risultato delle simulazioni Monte Carlo e dei metodi di averaging stocastico sono stati confrontati, mostrando un buon accordo tra i due approcci.

Nel caso risonante, dove le frequenze medie $\omega_1$ e $\omega_2$ degli oscillatori soddisfano la relazione di risonanza interna, l'analisi stocastica diventa più complessa, coinvolgendo anche la differenza di fase tra gli oscillatori. In questo scenario, le equazioni stocastiche mediate includono un ulteriore grado di libertà, rappresentato dalla differenza di fase $\theta(t) = \theta_1(t) - \theta_2(t)$ , che porta alla forma tridimensionale del processo stocastico:

dH_1 = a_1(H_1, H_2, \theta) dt + \sigma_{11}(H_1, H_2, \theta) dB_1(t) + \sigma_{12}(H_1, H_2, \theta) dB_2(t)

dH_2 = a_2(H_1, H_2, \theta) dt + \sigma_{21}(H_1, H_2, \theta) dB_1(t) + \sigma_{22}(H_1, H_2, \theta) dB_2(t)

d\theta = a_\theta(H_1, H_2, \theta) dt + \sigma_{\theta1}(H_1, H_2, \theta) dB_1(t) + \sigma_{\theta2}(H_1, H_2, \theta) dB_2(t)

Queste equazioni descrivono l'evoluzione dei parametri del sistema nel caso risonante, con l'ulteriore complessità derivante dalla presenza della differenza di fase, che determina l'interazione tra i due oscillatori e la dinamica complessiva del sistema.

Una volta calcolata la PDF stazionaria, è possibile derivare le distribuzioni marginali per ciascuna delle variabili di stato, come le distribuzioni di posizione e momento per gli oscillatori. L'analisi comparativa tra i casi risonante e non risonante rivela differenze importanti nei valori attesi delle energie, con il caso risonante che tende a favorire un maggiore trasferimento di energia tra gli oscillatori.

Per un'analisi completa, è fondamentale non solo calcolare le distribuzioni di probabilità, ma anche comprendere come le diverse componenti di viscoelasticità e dissipoelasticità influenzano il comportamento a lungo termine del sistema. I termini di interazione tra gli oscillatori e l'influenza del rumore stocastico sono cruciali per la comprensione delle fluttuazioni e della stabilità del sistema dinamico.

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