Come risolvere problemi con la trasmissione di calore e vibrazioni in geometrie sferiche e cilindriche: l'approccio delle trasformate di Fourier

$$\langle w_i, w_j \rangle = \int_0^1 \xi^2 w_i(\xi) w_j(\xi) d\xi = \delta_{ij}$$

Le soluzioni per questa equazione sono ottenute utilizzando l'espansione in serie delle funzioni proprie, come visto precedentemente. La soluzione generale della funzione $u(\xi, \tau)$ è:

Dove $\lambda_k = k^2\pi^2$ e $w_k(\xi) = \sqrt{2} \sin(k\pi \xi)$. Questa soluzione rappresenta l'evoluzione temporale del profilo di temperatura in una sfera, dove la somma è una serie infinita che converge a una soluzione precisa man mano che si aggiungono più termini alla somma.

$$u(\xi, \tau) = \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k-1} e^{ -k^2 \pi^2 \tau} \sin(k \pi \xi)$$ $$\langle u \rangle (\tau) = 6 \sum_{k=1}^{\infty} e^{ -k^2 \pi^2 \tau}$$

Le soluzioni ottenute tramite la tecnica delle trasformate di Fourier mostrano una convergenza rapida quando si includono un numero maggiore di termini nella somma, e sono utili per descrivere l'evoluzione termica in geometrie sferiche.

Oltre alle soluzioni statiche e transitorie trattate in geometria sferica, è possibile estendere l'approccio alle geometrie cilindriche, come nel caso di una membrana circolare vibrante. La soluzione del problema delle vibrazioni di una membrana circolare, descritta da un'equazione differenziale parziale, può essere scritta come una combinazione di funzioni proprie cicliche e radiali. In questo caso, la funzione $u(r, \theta)$ è descritta da una somma di termini che dipendono dalla variabile angolare $\theta$, risolvendo il problema di Laplace con condizioni al contorno periodiche.

In geometrie cilindriche, come nel caso del problema delle vibrazioni di una membrana circolare, le funzioni proprie sono ancora espresse in termini di funzioni trigonometriche, che, come nel caso sferico, formano un sistema ortogonale. Questo permette una soluzione analitica attraverso l'espansione in serie. La soluzione generale per la vibrazione della membrana è quindi una somma che tiene conto delle condizioni al contorno e delle condizioni iniziali specifiche del problema.

Infine, un'importante considerazione riguarda l'efficacia dell'approccio delle trasformate di Fourier. Sebbene l'approccio sia teoricamente potente e analiticamente elegante, nella pratica occorre spesso considerare il numero di termini necessari per ottenere una buona approssimazione numerica. Con l'inclusione di un numero maggiore di termini, si raggiunge una buona precisione nella soluzione, il che è cruciale per applicazioni pratiche come quelle nel campo del design di reattori catalitici e nella modellizzazione delle vibrazioni in strutture circolari.

Come vengono applicati i vettori e le espansioni vettoriali in ingegneria chimica?

Nel contesto della stechiometria, una reazione chimica che avviene in un sistema omogeneo tra S specie chimiche, denotate come A1, A2,..., AS, può essere scritta come:

$$\sum_{j=1}^{S} \nu_j A_j = 0$$ $$CO + 2 H_2 = CH_3OH$$

che può essere scritta come:

dove $A_1 = CH_3OH$, $A_2 = CO$ e $A_3 = H_2$. Il coefficiente stechiometrico di questa reazione è:

Questo concetto di reazione chimica può essere esteso a un sistema di R reazioni che avvengono tra S specie chimiche. L'insieme delle matrici dei coefficienti stechiometrici viene definito come matrice dei coefficienti stechiometrici:

$$\nu_{ij} = \text{coefficiente stechiometrico della specie } A_j \text{ nella reazione } i$$

L'importanza di conoscere il numero di reazioni indipendenti risiede nel fatto che queste determinano i vincoli fondamentali di un sistema chimico. Se il rango della matrice dei coefficienti stechiometrici è pari a 2, significa che ci sono due reazioni che vincolano le specie chimiche in modo indipendente, mentre le altre possono essere derivate da queste due.

Un altro strumento utile in questo contesto è la matrice atomica, che descrive la composizione atomica di ciascuna specie chimica in un sistema. La matrice atomica viene costruita come una tabella, dove le specie sono rappresentate lungo la parte superiore e gli atomi sono elencati nella colonna di sinistra. Ogni elemento nella tabella rappresenta il numero di atomi di una specie in una determinata specie chimica. Analizzando il rango di questa matrice, è possibile determinare il numero di vettori indipendenti, che corrispondono alle reazioni indipendenti tra le specie chimiche.

Nel caso della reazione che coinvolge metanolo, monossido di carbonio, idrogeno, anidride carbonica e acqua, l'analisi della matrice atomica rivela che il rango è 3, il che implica che ci sono due reazioni indipendenti.

Il teorema di Pi assume che le $n$ variabili fisiche possano essere espresse in termini di $m$ dimensioni fondamentali (come massa, lunghezza, tempo, temperatura, ecc.). Le potenze di queste dimensioni fondamentali possono essere usate per rappresentare ogni variabile come un vettore nello spazio $m$-dimensionale. Il rango di questa matrice indica il numero di vettori indipendenti, e i restanti $n - r$ vettori possono essere espressi come combinazioni lineari dei vettori indipendenti. I gruppi adimensionali sono il risultato di queste combinazioni.

Il numero di Reynolds, ad esempio, è dato dalla relazione:

$$Re = \frac{\rho V_0 D}{\mu}$$

Concludendo, l'applicazione di vettori e delle relative espansioni in ingegneria chimica è essenziale per comprendere le reazioni chimiche e i fenomeni fisici complessi, specialmente quando è difficile o impossibile risolvere direttamente le equazioni governanti. La comprensione di concetti come la matrice dei coefficienti stechiometrici e l'analisi dimensionale fornisce agli ingegneri gli strumenti necessari per affrontare e modellare in modo preciso questi sistemi.

Qual è il problema degli autovalori di una matrice?

Sia $A$ una matrice quadrata $n \times n$ con coefficienti reali o complessi. Si considera il sistema di equazioni omogenee:

dove $\lambda$ è uno scalare. Un numero reale o complesso $\lambda$ è chiamato autovalore di $A$ se il sistema di equazioni omogenee ha una soluzione non banale. La soluzione non banale è chiamata autovettore destro di $A$ corrispondente all'autovalore $\lambda$.

Gli autovalori sono di fondamentale importanza in numerosi sistemi fisici, poiché rappresentano le scale temporali o spaziali (frequenze temporali o spaziali) associate al sistema. Gli autovettori corrispondenti agli autovalori descrivono i diversi modi o stati indipendenti del sistema. Sebbene qui presentiamo una loro interpretazione geometrica, la loro interpretazione fisica verrà trattata successivamente, quando prenderemo in considerazione esempi fisici specifici.

$$x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}, \quad A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$$ $$y = A x = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 \end{pmatrix}$$

Il sistema omogeneo può essere scritto come una serie di equazioni lineari per ogni componente di $x$:

$$(a_{11} - \lambda) x_1 + a_{12} x_2 + \dots + a_{1n} x_n = 0$$ $$\vdots$$

Abbiamo visto che questo sistema omogeneo ha una soluzione non banale se e solo se $\text{det}(A - \lambda I) = 0$. L'equazione risultante è chiamata equazione caratteristica della matrice quadrata $A$. L'espressione a sinistra di questa equazione è un polinomio di grado $n$ in $\lambda$, che può essere scritto come:

Il teorema fondamentale dell'algebra ci dice che ogni polinomio di grado $n$ ha esattamente $n$ radici (realmente o complessamente, contando le ripetizioni o la molteplicità). Ne segue che una matrice quadrata di ordine $n$ ha $n$ autovalori.

Per le matrici di ordine $2 \times 2$ e $3 \times 3$, l'equazione caratteristica si scrive come segue:

$$P_2(\lambda) = \lambda^2 - \text{tr}(A) \lambda + \text{det}(A)$$

Per una matrice $3 \times 3$, l'equazione caratteristica si scrive come:

Il polinomio caratteristico per una matrice $n \times n$ generale è dato da:

Con le seguenti relazioni:

$$\prod_{j=1}^n \lambda_j = \text{det}(A), \quad \sum_{j=1}^n \lambda_j = \text{tr}(A)$$

Come Determinare le Soluzioni di Equazioni Differenziali Utilizzando Operatori Adjoint e Fattori di Integrazione

La teoria delle equazioni differenziali è uno degli strumenti fondamentali per comprendere e modellare fenomeni dinamici in molteplici campi scientifici e ingegneristici. In particolare, l'uso degli operatori adjoint e dei fattori di integrazione svolge un ruolo cruciale nella risoluzione di tali equazioni. Questo capitolo si concentrerà sull'analisi delle soluzioni per equazioni differenziali di primo e secondo ordine, e sulla loro connessione tramite il concetto di operatore adjoint, un'idea che diventa particolarmente utile quando si trattano problemi con condizioni iniziali specifiche.

Per comprendere l'importanza di questi strumenti, consideriamo prima l'esempio di un'equazione differenziale di primo ordine omogenea del tipo:

$$L u \equiv p_0(t) \frac{du}{dt} + p_1(t)u = 0$$ $$v L u \equiv v(t)p_0(t) \frac{du}{dt} + v(t)p_1(t)u = 0 \quad \Rightarrow \quad v L u \equiv \frac{d}{dt} [p_0(t) u v] - u \frac{d}{dt} (p_0(t)v) + v p_1(t)u = 0$$

Se $v(t)$ soddisfa l'equazione adjoint:

allora il termine di derivata in $v L u$ diventa una derivata esatta, e $v(t)$ è definito come il fattore di integrazione per l'equazione originale. L'integratore di questo tipo di equazione è cruciale in molte applicazioni ingegneristiche, poiché consente di risolvere l'equazione differenziale originale tramite la moltiplicazione con una funzione ausiliaria $v(t)$, che rende l'equazione più facilmente risolvibile.

Un'altra applicazione di grande rilevanza si ha nel caso di un'equazione differenziale di secondo ordine, per la quale possiamo scrivere:

Moltiplicando questa equazione per una funzione $v(t)$ e integrando per parti, otteniamo una relazione che coinvolge il termine $v L u$ e la sua derivata:

Nel caso in cui $v(t)$ soddisfi l'equazione adjoint per il secondo ordine, possiamo scrivere un'espressione simile a quella di primo ordine, dove la funzione $v(t)$ si comporta ancora come un fattore di integrazione, ma questa volta in un contesto più complesso. In tal modo, le soluzioni di equazioni differenziali di ordine superiore possono essere determinate in modo analitico attraverso l'uso di questi strumenti.

$$v L u = \frac{d}{dt} \left( \pi(u, v) \right) = 0 \quad \Rightarrow \quad \pi(u, v) = \text{costante}$$

Le proprietà degli operatori adjoint sono particolarmente utili nei problemi con condizioni al contorno, dove le soluzioni dell'equazione originale possono essere determinate tramite le condizioni iniziali dell'equazione adjoint. Se consideriamo un problema di valore iniziale per un sistema vettoriale del tipo:

Definiamo un operatore lineare $L$ come:

La relazione tra le soluzioni di questo sistema e quelle del problema adjoint $L^* v = -\frac{dv}{dt} - A(t)^T v = 0$ diventa evidente quando confrontiamo le soluzioni tramite il prodotto scalare tra $u(t)$ e $v(t)$. L'integrazione di $L u$ e $L^* v$ mostra come le condizioni finali del problema originario possano essere connesse alle condizioni iniziali dell'equazione adjoint, il che ha numerose applicazioni nei settori del controllo e dell'ottimizzazione.

Come Modellare le Reazioni Chimiche in un Reattore a Lotta: Equazioni di Evoluzione e Matrici

Nel contesto della chimica ingegneristica, un reattore a lotto rappresenta uno degli impianti più semplici per studiare il comportamento di reazioni chimiche in un sistema chiuso. In questo modello, consideriamo un reattore a volume costante in cui avvengono più reazioni chimiche simultanee. Gli sviluppi matematici e le formulazioni matriciali diventano essenziali per descrivere il comportamento di sistemi complessi e per prevedere il comportamento di specie chimiche in funzione del tempo.

Equazioni di Evoluzione per un Reattore a Lotto

Consideriamo un reattore a lotto in cui avvengono R reazioni tra S specie chimiche, rappresentate dalle seguenti equazioni di reazione:

$$S \sum_{j=1}^{S} \nu_{ij} A_j = 0 \quad \text{per i} \quad i = 1, 2, \dots, R$$

La velocità di reazione per la reazione $i$ è denotata da $r_i(C_1, \dots, C_S)$, dove la funzione dipende dalle concentrazioni delle specie. Per la specie $A_j$, la bilancia delle moli porta alla seguente equazione differenziale:

Poiché $V_R$ è costante, la bilancia può essere semplificata come segue, esprimendo il cambiamento della concentrazione nel tempo in forma vettoriale:

Dove $c$ è il vettore delle concentrazioni, e $r(c)$ è il vettore delle velocità di reazione, funzione delle concentrazioni. La matrice $\nu$ è la matrice dei coefficienti stechiometrici, mentre la funzione $r(c)$ descrive il tasso di reazione per ogni specie in funzione delle loro concentrazioni.

Caso di Cinetiche Lineari

$$r(c) = \hat{K} c$$ $$K = \nu^T \hat{K}$$

Di conseguenza, l'equazione di evoluzione per il reattore a lotto diventa:

Questa formulazione è utilizzata per determinare l'evoluzione temporale delle concentrazioni delle specie nel reattore. Un esempio comune riguarda il sistema di reazioni monomolecolari, in cui le reazioni avvengono tra tre specie (S = 3) e sei reazioni (R = 6), come descritto nell'esempio numerico.

Reattore a Flusso Continuo Stirato (CSTR): Modelli Transitori e Steady-State

$$\frac{d}{dt} \left( V_R C_j \right) = q_{\text{in}} C_{j,\text{in}}(t) - q_{\text{out}} C_j + \sum_{i=1}^{R} \nu_{ij} r_i V_R$$ $$\frac{dC_j}{dt} = \frac{1}{\tau} \left( C_{j,\text{in}}(t) - C_j \right) + \sum_{i=1}^{R} \nu_{ij} r_i$$

Dove $\tau$ è il tempo di residenza, definito come il volume del reattore diviso il flusso volumetrico. In forma vettoriale, l'equazione diventa:

Nel caso in cui le concentrazioni in ingresso siano indipendenti dal tempo, il sistema raggiungerà uno stato stazionario, descritto dall'equazione:

$$\frac{1}{\tau} (c_{\text{in}} - c_s) + \nu^T r(c_s) = 0$$

In presenza di cinetiche lineari e concentrazioni in ingresso costanti, il sistema può essere risolto tramite il sistema lineare:

Dove $c_s$ rappresenta le concentrazioni stazionarie e $K^* = -\nu^T \hat{K}$.

Sistemi di Reattori Interagenti: Modello Transitorio con Flussi

Per un sistema di due serbatoi interagenti, il modello di bilancio di massa per ogni serbatoio include il flusso in ingresso, l'uscita e l'interazione tra i serbatoi. Assumendo che ogni serbatoio sia un miscelatore ideale, le equazioni di bilancio sono:

$$V_2 \frac{dC_2}{dt} = (q + q_e) C_1 - (q + q_e) C_2$$

Queste equazioni, espresse in forma vettoriale, diventano:

Dove $A$ è la matrice di interazione e $b(t)$ rappresenta il vettore delle forze di ingresso. L'interazione tra i serbatoi può essere scomposta in una matrice di diffusione e una matrice di convezione, descrivendo i flussi tra i due serbatoi.

Nel caso speciale in cui i serbatoi abbiano lo stesso volume, è possibile introdurre il numero di Peclet e una variabile dimensionale del tempo per ottenere un modello che può essere risolto facilmente numericamente o analiticamente.