Come descrivere l'effetto impulsivo nelle equazioni differenziali frazionarie: il caso delle equazioni differenziali frazionarie di Caputo con momenti di impulso variabili

Nel contesto delle equazioni differenziali frazionarie (FDE), l'effetto impulsivo è un fenomeno che può essere modellato e studiato attraverso specifici approcci matematici, tra cui le equazioni differenziali frazionarie di Caputo con momenti di impulso variabili. In questo tipo di equazioni, la dinamica del sistema è influenzata da effetti impulsivi che si manifestano in momenti specifici, determinati da superfici definite dalla funzione $\tau_k(x)$. Questi momenti di impulso sono variabili, il che significa che i momenti in cui si verificano gli impulsi dipendono direttamente dallo stato del sistema stesso, aggiungendo un livello di complessità nella descrizione del comportamento del sistema.

Nel caso delle equazioni differenziali frazionarie di Caputo con impulsi, la soluzione di $cD^q x = f(t, x)$, dove $f$ è una funzione che descrive l'evoluzione del sistema, viene interrotta da discontinuità che dipendono dai valori assunti da $x(t)$ in determinati momenti. In particolare, se il valore di $x(t)$ attraversa una superficie $\tau_k(x)$, il sistema subisce una modifica impulsiva che determina una transizione da un stato a un altro.

Nel caso in cui una soluzione incontri ripetutamente una superficie $\tau_k(x)$, il fenomeno di impulso si ripeterà, con la soluzione che si adatta a ogni impulso. Un esempio tipico di questa situazione si ha con l’equazione $cD^q x = 0$ con condizioni di impulso definite da $x(t^+) = x^2 \text{sgn}(x)$, dove $\tau_k(x) = x^2 + 20(k-1)$ per $|x| < 6$. In questo esempio, se la soluzione inizia con $|x_0| \geq 6$, essa non subisce effetti impulsivi, poiché non incontra mai le superfici di impulso. Al contrario, se $|x_0|$ è compreso tra 1 e 6, la soluzione subisce un numero finito di impulsi, mentre per valori più piccoli di $|x_0|$, gli impulsi si ripetono all'infinito, portando alla condizione di "pulsazione continua" fino a quando il sistema non converge a uno stato stabile.

Infine, è importante osservare che le equazioni frazionarie con impulsi variabili non solo ampliano la comprensione teorica delle equazioni differenziali, ma trovano applicazioni in numerosi campi, come la fisica, l'ingegneria e la biologia, dove fenomeni come il battito cardiaco, le vibrazioni meccaniche o le reazioni chimiche impulsive possono essere modellati attraverso questi strumenti matematici. La loro capacità di descrivere sistemi dinamici complessi con discontinuità nei momenti di impulso è una delle ragioni per cui queste equazioni sono di crescente interesse in molteplici ambiti scientifici.

Quali sono i criteri di stabilità per le equazioni differenziali frazionarie impulsive di tipo Riemann-Liouville?

Le equazioni differenziali frazionarie impulsive di tipo Riemann-Liouville (R-L FDE) rappresentano una classe di sistemi dinamici in cui la derivata frazionaria secondo Riemann-Liouville interagisce con effetti impulsivi in tempi discreti. A differenza delle derivate di Caputo, le derivate di Riemann-Liouville sono intrinsecamente singolari all’origine, rendendo l’analisi della stabilità significativamente più complessa. La presenza degli impulsi accentua ulteriormente questa complessità, richiedendo un trattamento rigoroso delle condizioni iniziali e delle discontinuità.

Si definisce una soluzione dell’equazione differenziale impulsiva R-L come funzione continua a tratti con regolarità misurata in uno spazio $PC^{1−q}$, cioè con derivata frazionaria definita in senso ampio. L'attenzione si concentra sulla stabilità della soluzione banale $x(t) = 0$, in particolare su una nozione detta stabilità generalizzata di Lipschitz nel tempo, la quale tiene conto delle discontinuità impulsive e della natura non locale delle derivate.

Per stabilire criteri sufficienti di stabilità, si introduce una funzione di Lyapunov generalizzata $V(t,x)$ appartenente alla classe $\Lambda(J, \Delta)$, con regolarità locale in $x$ e continuità nei punti di impulso. Tale funzione deve soddisfare una serie di condizioni: deve dominare la norma dell’argomento tramite una funzione di classe $\mathcal{M}$, decrescere lungo le traiettorie del sistema impulsivo e comportarsi coerentemente nei punti di impulso in modo da controllare la variazione del sistema dopo l’applicazione della mappa impulsiva $\psi_i$.

Le ipotesi richieste comprendono condizioni di regolarità sulle funzioni $f$ e $\psi_i$, monotonicità in variabili specifiche, e soprattutto l’esistenza di una funzione di Lyapunov che consenta il controllo della dinamica su ciascun intervallo impulsivo. Le disuguaglianze che coinvolgono $V$, come $D^q V(t,x(t)) \leq g(t,V(t,x(t)))$, dove $g$ è decrescente rispetto alla seconda variabile, garantiscono che l’energia del sis_