Esiste una spiegazione matematica per i fenomeni fisici?

La difficoltà di tracciare una linea chiara e inequivocabile tra il matematico e il fisico rappresenta un problema significativo per un argomento destinato a stabilire l'esistenza di entità matematiche tramite il principio di inferenza best explanation (IBE). Non solo la forza degli esempi viene minata, come osserva Baker, ma nel peggiore dei casi l'argomento diventa circolare e, di conseguenza, privo di utilità. Un'altra preoccupazione legata all'uso di esempi fisici riguarda lo status della geometria. Prendiamo, ad esempio, la spiegazione della curvatura della traiettoria della luce vicino a un oggetto di grande massa. L'esempio si trova in relatività generale, che afferma che la luce, quando si muove liberamente, segue una geodetica in uno spazio-tempo curvato. La traiettoria della luce è quindi il risultato della curvatura dello spazio-tempo. Ma stiamo parlando di geometria fisica o geometria assiomatica? In altre parole, la spiegazione geometrica è matematica o concreta? Se si scopre che la spiegazione può fare a meno della matematica pura, ovvero della geometria assiomatica, allora si può sostenere che la spiegazione non è veramente matematica (Colyvan 2001; Baker 2005; Marcus 2014a). In modo analogo, la spiegazione della contrazione di Lorentz di corpi in movimento rispetto a un sistema di riferimento inerziale dipende dalla geometria per la sua spiegazione (Colyvan 2001).

Un altro problema, toccato brevemente in precedenza, che limita la classe degli esempi ipotetici è l'uso delle idealizzazioni nelle spiegazioni dei fenomeni fisici. Un esempio è la spiegazione dell'esistenza di due punti antipodali sulla superficie terrestre che hanno la stessa temperatura e pressione in un dato momento. La topologia algebrica, grazie a un corollario del teorema di Borsuk-Ulam, spiega perché ciò accade: per ogni funzione continua $f: S^n \to \mathbb{R}^n$, esiste una mappatura di una coppia di punti antipodali su un punto sulla superficie di una sfera. La Terra è modellata come una sfera topologica della forma $S^2$, e temperatura e pressione sono trattate come funzioni continue, con particelle puntuali mappate sui numeri reali (Leng 2005, p. 181). Il modello della Terra è chiaramente un'idealizzazione, destinata a selezionare alcune caratteristiche rilevanti del nostro pianeta. Ciò di per sé non è problematico, ma nel contesto dell'argomento dell'indispensabilità, l'esplanandum è considerato anche vero, e l'idealizzazione non trova il suo corrispettivo nel mondo fisico. Cartwright (1980, p. 75) sostiene addirittura che le leggi della fisica sono prevalentemente false. Il suo punto è che l'obiettivo della spiegazione è diverso da quello della descrizione accurata, e questi obiettivi non sono sempre riconciliabili. Un esempio che fornisce è la legge di gravità di Newton, che afferma che la forza tra due corpi varia inversamente al quadrato della distanza tra di essi ed è proporzionale alle loro masse. Ma questa legge può essere applicata solo a casi molto semplici o idealizzati. Nei casi in cui un corpo sia caricato, ad esempio, la legge di Coulomb, che afferma che la forza tra due corpi caricati varia inversamente al quadrato della distanza e è proporzionale alla loro carica, è necessaria per determinare la forza totale (Cartwright 1983, pp. 57–58). Non si vuole dire che una legge non possa descrivere i fatti, ma se le leggi sono considerate fattuali nei casi in cui sono in gioco più forze, il problema è che in quei casi le leggi devono effettivamente assumere la forma di una dichiarazione condizionale. Cartwright fa l'esempio ulteriore che, se i corpi non sono caricati, ecc., allora $G = \frac{Gm_1m_2}{r^2}$. Ma la rilevanza della legge è fortemente limitata, e non spiega la situazione reale. Il compromesso, conclude, è che nei casi in cui le leggi sono vere, spiegano relativamente poco, e nei casi in cui spiegano, spesso non enunciano i fatti (Cartwright 1983, p. 72). Descrizione accurata da una parte e spiegazione dall'altra spesso sembrano allontanarsi.

Nel suo articolo del 2005, Baker presenta un caso in cui sostiene di aver trovato un esempio di una spiegazione matematica di un fenomeno fisico, tratto dalla biologia evolutiva. L'esempio dovrebbe spingere avanti il dibattito, poiché si ritiene che non soffra delle difficoltà menzionate nella sezione precedente. L'esempio riguarda la cicala periodica del Nord America, un genere della famiglia delle cicale, le cui specie hanno cicli di vita di 13 o 17 anni. Durante questo ciclo di vita, trascorrono quasi tutta la loro esistenza sotterranee in forma larvale. Durante le ultime due settimane della loro vita, emergono collettivamente dalla terra, nella loro forma adulta, con l'unico scopo di riprodursi. I biologi sono interessati a questi cicli di vita periodici e cercano spiegazioni per il loro verificarsi. Potrebbe essere il caso che i cicli di vita numericamente primi offrano un vantaggio evolutivo. I biologi tendono a pensare che il riferimento alla primalità dei cicli di vita svolga un ruolo fondamentale. Le cicale periodiche pongono numerosi enigmi per i biologi: i cicli di vita di 13 o 17 anni suggeriscono che ci sia qualcosa di importante nei numeri primi (Lehman-Ziebarth et al. 2005, p. 3200). Più specificamente, i biologi utilizzano il concetto di numeri primi nelle spiegazioni dell'occorrenza della lunghezza dei cicli di vita osservati: la persistenza di cicli numericamente primi è stata mostrata come una probabile conseguenza di circostanze in cui le cicale già periodiche affrontano pressioni predatorie sproporzionate quando emergono a bassa densità. Inoltre, i casi ripetuti di cambiamento dei cicli di vita da 13 a 17 anni o viceversa nel tempo evolutivo suggeriscono che questi cicli di vita siano strategie stabili, mentre altre alternative non lo sono (Ito et al. 2015, p. 2).

Come valutare le verità vacue dei contropossibili: Implicazioni e paradossi

Nel contesto attuale, è importante comprendere come la semantica dei contropossibili sollevi interrogativi significativi riguardo al ruolo esplicativo delle affermazioni che sono vacuamente vere. Se i contropossibili sono veramente vacuamente veri, si potrebbe mettere in dubbio la possibilità di un ruolo esplicativo extra-matematico per tali enunciati. La nozione che un'affermazione vacuamente vera non possa essere esplicativa si fonda sull'idea che, quando la verità di una proposizione subordinata (subjunctive) viene trivializzata, questa non apporta nulla di significativo all'esposizione stessa. In altre parole, se una proposizione che è parte di una spiegazione è triviale, non contribuisce effettivamente a chiarire o illuminare il fenomeno in discussione. A tal proposito, qualsiasi elemento che dovrebbe contribuire a una spiegazione è atteso a fare una differenza sostanziale, che però manca nel caso delle verità vacue.

La valutazione di un contropossibile è particolarmente importante per il nostro discorso, in quanto si considera generalmente che un contributo a una spiegazione debba fare una differenza nell'esposizione stessa. Tuttavia, secondo la semantica standard dei controfattuali, sviluppata inizialmente da Stalnaker (1968) e Lewis (1973b), i contropossibili sono considerati veri in modo triviale. Ciò deriva direttamente dall'antecedente necessariamente falso, e la valutazione di un enunciato controfattuale dipende dai valori di verità dei suoi componenti (antecedente e conseguente) in una situazione alternativa rispetto al mondo reale.

Un esempio classico della semantica dei controfattuali è il seguente enunciato di Lewis (1973b): "Se i canguri non avessero la coda, cadrebbero". Se esaminiamo la semantica standard per la valutazione di questa frase, dobbiamo considerare quei mondi possibili (o situazioni) in cui i canguri non hanno la coda e verificare se, in questi mondi, i canguri cadono. Se in tutti i mondi in cui i canguri non hanno la coda, essi cadono, allora l'enunciato risulta vero. Se, in qualche altro mondo in cui i canguri non hanno la coda, non cadono, l'enunciato risulta falso. La valutazione di un controfattuale, quindi, implica che solo i mondi possibili che sono "sufficientemente simili" al mondo reale (o al mondo in cui il controfattuale è formulato) vengano considerati.

1. Se esistesse un numero primo massimo, allora p! + 1 sarebbe primo.

2. Se esistesse un numero primo massimo, allora p! + 1 sarebbe composto.

A causa della sequenza infinita di numeri, nessun mondo possibile può contenere un numero primo massimo, e di conseguenza entrambe le frasi risultano vere secondo la semantica standard: sono vacuamente vere. Non esiste infatti alcun mondo in cui A (l'antecedente) si verifica, quindi non ci sono mondi più prossimi in cui A potrebbe essere vero. Di conseguenza, l'affermazione universale del tipo "per tutti i mondi più prossimi A..." risulta triviale, ovvero vera per definizione.

Questa visione dei contropossibili è difesa da alcuni filosofi come Williamson (2018), che accetta che la verità vacua dei contropossibili sia compatibile con il ragionamento matematico valido. Nel caso specifico, ad esempio, l'enunciato riepiloga una prova per riduzione all'assurdo che dimostra che non esiste un numero primo massimo. La prova stessa si basa sul teorema fondamentale dell'aritmetica, secondo cui ogni numero intero positivo ha una fattorizzazione unica in numeri primi o è esso stesso un numero primo. Se supponiamo che p sia il più grande numero primo, allora p! (il fattoriale di p) sarebbe divisibile da tutti i numeri primi. Questo implica che p! + 1 non sarebbe divisibile da alcun numero primo, e quindi sarebbe primo. Ma, allo stesso tempo, p! + 1, essendo maggiore del numero primo massimo, deve essere composto. L'affermazione combinata delle due proposizioni (1) e (2) porta alla contraddizione che p! + 1 sarebbe sia primo che composto. Da questa contraddizione, possiamo concludere che non esiste un numero primo massimo.

5. Se Hobbes avesse segretamente quadrato il cerchio, i bambini malati nelle montagne del Sud America all'epoca se ne sarebbero preoccupati.

Secondo alcuni, questa frase non è vacuamente vera, ma anzi, è falsa. L'idea che i bambini malati non si sarebbero preoccupati afferma una verità contingente piuttosto che una verità vacua, suggerendo che la realtà di un cambio impossibile non è necessaria per la valutazione della verità del contropossibile.

Le teorie esplicative: la questione delle spiegazioni deduttive e induttive

Nella teoria della spiegazione deduttiva-nomologica (DN), la conclusione dell'argomento esplicativo deve corrispondere a una descrizione del fenomeno in modo che le affermazioni osservazionali che descrivono la discesa e l'ascesa del mercurio nel termometro corrispondano all'esplanandum derivato in modo deduttivo. Come verrà discusso più avanti, la legge o le leggi coinvolte nella deduzione devono essere essenziali per derivare la conclusione. Hempel e Oppenheim (1948, p. 137) riassumono quattro condizioni per l'adeguatezza delle spiegazioni DN, tre di natura logica (R1–R3) e una di natura empirica (R4):

R1: L’esplanandum deve essere una conseguenza logica dell’esplanans.
R2: L’esplanans deve contenere leggi generali, e queste devono essere essenziali per la derivazione dell’esplanandum.
R3: L’esplanans deve avere contenuto empirico, ossia deve essere, almeno in linea di principio, verificabile tramite esperienza e osservazione.
R4: Le frasi nell’esplanans devono essere vere.

È interessante osservare come questo modo di trattare le spiegazioni sia simile a quello delle previsioni, in quanto la struttura di entrambe è sostanzialmente la stessa. Nel caso di una spiegazione, infatti, si tratta di ciò che ci si aspettava, in quanto la spiegazione si fornisce dopo il fatto. Al contrario, quando si cambia il tempo verbale, nel caso di una previsione, si tratta di ciò che ci si aspetta, in quanto la previsione è fatta prima del fatto (Strevens, 2006, p. 4).

La teoria DN delle spiegazioni è stata oggetto di numerose ricerche, ed è tuttora un campo di dibattito. Non è nostro scopo prendere una posizione in questa discussione. Tuttavia, la teoria DN è di particolare interesse per il nostro caso, poiché l'esempio di una spiegazione matematica di un fenomeno empirico, trattato nella prima parte, sembra adattarsi abbastanza bene ad essa. Prima di proseguire, è utile fare un breve cenno ad alcune problematiche legate alla teoria.

Uno dei principali limiti della teoria DN è che non tutte le spiegazioni sembrano adattarsi perfettamente ad essa. Le spiegazioni formulate in modo ellittico, ossia quelle in cui alcuni fatti o leggi sono omessi, non si qualificano, in senso stretto, come spiegazioni in questo quadro. Tuttavia, come osserva Hempel (1965, p. 415), questa incompletezza non è affatto problematica. I fatti e le leggi mancanti sono considerati impliciti nell'esplains e possono essere facilmente integrati quando necessario. L'argomento risultante, e completo, si adatterà nuovamente alla teoria DN. Le spiegazioni parziali, al contrario, sono più problematiche. In effetti, non sono coperte dalla teoria DN. La ragione di ciò è che una spiegazione parziale non costituisce un argomento deduttivo: la conclusione non può seguire dalle premesse, anche dopo aver integrato tutti i dettagli che potrebbero essere stati omessi in modo ellittico. Come suggerisce il nome, inevitabilmente alcuni vuoti rimangono in una spiegazione parziale. Di conseguenza, secondo la teoria DN, le spiegazioni parziali non qualificano come spiegazioni.

Un'altra importante classe di spiegazioni, questa volta basata sul ragionamento induttivo, è esclusa dalla teoria DN. Gli esempi più noti di spiegazioni induttive probabilistiche sono forse le teorie probabilistiche dell'esplicazione. Lo stesso Hempel cercò di colmare questa lacuna della teoria DN sviluppando la teoria induttivo-statistica (IS). La sua struttura è simile a quella della teoria DN in quanto mostra tratti della tesi della legge coprente. La differenza è che la legge fisica universale richiesta dalla teoria DN è sostituita da una legge probabilistica. Ciò significa che l’esplanandum non è più implicato dalle premesse dell’esplanans, ma ad esse viene assegnata una probabilità elevata (Hempel, 1965, pp. 378-379). L’esplanans in una spiegazione IS è quindi ciò che è statisticamente rilevante per qualcosa da spiegare.

Il problema della simmetria si verifica, di nuovo, quando un argomento segue il modello della teoria DN, ma l'inverso dell'argomento potrebbe anch'esso essere valido. Ad esempio: un'asta di altezza H proietta un'ombra di lunghezza S. Data la legge secondo cui la luce viaggia in linea retta, e dato l'angolo di elevazione del sole, θ, possiamo dedurre la lunghezza dell'ombra dalla altezza dell'asta, utilizzando l'equazione H = S tan θ. Ma data la stessa equazione, avremmo potuto dedurre anche l’altezza dell'asta dalla lunghezza della sua ombra (Curd & Cover, 1998, pp. 778–779). Si accetta generalmente che entrambe le direzioni dell'inferenza costituiscano previsioni, ma non si accetta che la direzione inversa sia una spiegazione.

L'argomento dell'indispensabilità potenziata: una riflessione sulla matematica nelle spiegazioni scientifiche

L'argomento dell'indispensabilità potenziata (EIA), sviluppato in risposta alle critiche alla visione olistica della conferma proposta dall'argomento originale di Quine e Putnam, offre una versione spiegativa di tale argomento. L'idea centrale dell'EIA è che le entità matematiche non siano solo necessarie, ma indispensabili per la costruzione di spiegazioni scientifiche. A differenza dell'argomento tradizionale, che si fonda sulla convinzione che l'esistenza delle entità matematiche si deduca dalla loro indispensabilità in teorie scientifiche, l'EIA si concentra sul fatto che queste entità siano necessarie in modo esplicito per spiegare fenomeni empirici.

Iniziamo con un breve riassunto dell'argomento di Quine e Putnam. L'idea centrale è che la scienza moderna, nelle sue teorie naturali, impiega linguaggi matematicizzati, ossia linguaggi che contengono simboli matematici come costanti, funzioni e simboli di relazione. Questo tipo di linguaggio viene usato in formule miste, dove i termini fisici e matematici si combinano. Per esempio, nella legge di Newton, F = ma, i termini della formula si riferiscono a grandezze fisiche (forza, massa, accelerazione) che vengono quantificate attraverso numeri reali, e quindi diventa evidente che la fisica dipende dall'uso della matematica per la sua espressione e comprensione.

Tuttavia, l'argomento originale ha subito critiche, in particolare per la sua dipendenza dalla "conferma olistica", un concetto che suggerisce che non sia possibile isolare l'indispensabilità di una singola entità matematica in un contesto scientifico, dato che la verità di una teoria scientifica dipende dall'intero insieme delle sue entità e assunzioni. L'EIA affronta questa critica sostenendo che non tutte le entità matematiche sono ugualmente indispensabili. Solo quelle che giocano un ruolo fondamentale nelle spiegazioni scientifiche possono essere considerate ontologicamente giustificate.

Nel contesto dell'EIA, l'indispensabilità matematica non è vista come un valore in sé, ma come una caratteristica che si giustifica esclusivamente quando un'entità matematica è necessaria per spiegare un fenomeno empirico. Per esempio, nella teoria della relatività di Einstein, le equazioni matematiche sono essenziali non solo per la formulazione teorica, ma anche per la capacità di fare previsioni e spiegare esperimenti empirici. Se una teoria scientifica può spiegare fenomeni empirici senza fare uso di certe entità matematiche, allora queste entità non sono indispensabili, e quindi non dovrebbero essere ontologicamente imbarcate.

Uno degli aspetti cruciali della discussione riguarda la possibilità di definire una "spiegazione matematica" di un fenomeno empirico. Una spiegazione di questo tipo deve andare oltre la semplice rappresentazione di dati numerici, e deve offrire un collegamento tra i numeri e le caratteristiche empiriche del mondo fisico. In questo senso, l'indispensabilità matematica non è solo un aspetto formale o descrittivo, ma anche un elemento che consente di comprendere i meccanismi sottostanti ai fenomeni fisici.

Un'altra area interessante di discussione emerge nel contesto della teoria controfattuale della spiegazione, che potrebbe fornire un'altra chiave di lettura per l'indispensabilità matematica. La teoria controfattuale delle spiegazioni è quella in cui si esplorano possibili scenari alternativi, ossia scenari in cui le condizioni iniziali di un fenomeno sono diverse, e si esamina se la spiegazione del fenomeno rimane invariata o cambia. Questo approccio potrebbe permettere di vedere le entità matematiche come fondamentali non solo nel mondo reale, ma anche in mondi controfattuali, dove si considera come cambierebbero le cose se alcune leggi fisiche o proprietà matematiche fossero diverse. Ciò porta a interrogarsi su cosa succederebbe se i numeri stessi cambiassero, come avverrebbe nel caso di una modifica delle proprietà necessarie degli oggetti matematici che descrivono.

L'EIA, dunque, ci invita a riflettere non solo sull'indispensabilità della matematica nelle scienze, ma anche sul modo in cui le spiegazioni scientifiche sono costruite, e se è possibile che esistano spiegazioni alternative che non dipendano dalla matematica. Si tratta di un tema centrale per comprendere non solo la relazione tra scienza e matematica, ma anche la natura stessa delle spiegazioni scientifiche.