Come l'analisi di sensibilità e l'inferenza bayesiana possono migliorare l'aggiornamento del modello: un'analisi dei metodi più efficaci

Il parametro θ′ gioca un ruolo cruciale nel controllo della regolarità del metodo di Kriging, che è una tecnica di interpolazione stocastica largamente utilizzata. Tra le funzioni di correlazione più comuni, quella gaussiana, o esponenziale quadrata, è particolarmente diffusa per modellare il comportamento di sistemi complessi. In questo contesto, si assume che gli ingressi siano indipendenti l'uno dall'altro, il che consente di scrivere la correlazione tra i campioni di ingresso in una forma esponenziale, come indicato nella formula dell'Eq. (29). L’ottimizzazione dei parametri di regressione β•,i e del parametro di correlazione ζj,i è un passo fondamentale per definire il comportamento medio del processo di Kriging, che viene descritto dall'equazione (30), dove si trovano le matrici R e r, che rappresentano rispettivamente la correlazione tra i campioni di addestramento e la correlazione tra il punto in esame e i campioni di addestramento.

Una parte fondamentale dell'analisi dei modelli stocastici è la sensibilità globale, che riguarda l'effetto complessivo che le variazioni degli ingressi hanno sulla probabilità di uscita del modello. Mentre nelle analisi locali si considerano variazioni infinitesimali, nelle analisi globali si esamina l'effetto totale delle fluttuazioni degli ingressi sulle uscite, considerando anche le interazioni tra diverse variabili. Sudret e Blatman (2010) hanno mostrato come la PCE possa essere utilizzata per calcolare in modo efficiente la sensibilità globale del modello. I principali indici di sensibilità globale, come l'indice di Sobol, permettono di quantificare l'importanza di ciascun ingresso (e delle sue combinazioni) nella varianza totale dell'output. Ad esempio, l'indice di Sobol di primo ordine misura la variazione dell'output dovuta a un singolo ingresso, mentre gli indici di secondo e terzo ordine considerano le interazioni tra più ingressi.

L'analisi di sensibilità globale e l'uso del Kriging per l'aggiornamento del modello sono quindi strumenti indispensabili per migliorare la comprensione delle incertezze nei sistemi complessi. Quando si lavora con modelli stocastici, è essenziale non solo identificare i parametri più influenti ma anche comprendere come le loro interazioni possano influire sull'output finale. La combinazione di tecniche avanzate come la PCE, l'analisi di sensibilità globale e l'inferenza bayesiana consente di ottenere modelli più robusti e accurati, che possano essere utilizzati per fare previsioni affidabili in presenza di incertezze.

In questo contesto, è importante che il lettore comprenda come la scelta della tecnica di aggiornamento del modello dipenda strettamente dalla natura del problema in esame. L'analisi di sensibilità, sia essa locale o globale, non è solo uno strumento matematico, ma anche un mezzo per ottenere intuizioni pratiche sui parametri che dominano il comportamento del sistema. Allo stesso modo, l'approccio bayesiano consente di incorporare l'incertezza nei dati e nelle previsioni, migliorando la capacità del modello di adattarsi e aggiornarsi con l'acquisizione di nuovi dati.

Come si ricostruiscono simultaneamente i coefficienti ottici e acustici nei modelli fotoacustici con nanoparticelle

In presenza di nanoparticelle risonanti, l'interazione tra i campi elettrici e acustici può essere sfruttata per ricavare simultaneamente la permettività dielettrica, la velocità del suono e la densità di massa del mezzo, a partire da misure esterne della pressione. Questo approccio si fonda su un'articolata combinazione di espansioni asintotiche, stime a priori e proprietà spettrali degli operatori di magnetizzazione e di Newton, all’interno di modelli accoppiati ottico-acustici.

La funzione di pressione media può essere approssimata in tre regimi temporali distinti, in funzione dei tempi di entrata e uscita, definiti in termini della funzione del tempo di volo Riemanniano. Prima del tempo di entrata, la pressione è trascurabile rispetto all'ordine di grandezza γ. Dopo il tempo di uscita, la pressione si esprime come una funzione bilineare del campo elettrico incidente e dei modi propri associati all’operatore di magnetizzazione ∇MB, più termini di errore dell’ordine γ⁴⁻ᵖ/a²h. Tra i due regimi, la pressione è dominata da una parte integrale localizzata sul volume Riemanniano associato alla funzione τ(x, y), che misura il tempo minimo di propagazione dal punto x al punto y nel mezzo.

Il modello fotoacustico inverso viene decomposto in due sottoproblemi: uno acustico e uno ottico. Dal punto di vista acustico, si recupera il termine sorgente associato all'energia elettrica interna, ossia |u|²(x) ε(x), a partire dalle misure della pressione sulla frontiera. La fase ottica consiste nella ricostruzione della funzione ε₀(x) sfruttando la risposta spettrale alle frequenze incidenti. Tuttavia, lavori più recenti evitano questa separazione, introducendo formule dirette per collegare la pressione misurata in un singolo punto sulla superficie accessibile ai valori interni del modulo del campo elettrico.

In particolare, quando si utilizzano dimers — coppie di nanoparticelle a distanza subcritica — diventa possibile accedere non solo al campo elettrico, ma anche alla parte reale della funzione di Green valutata nei centri delle particelle. Questa informazione permette di recuperare direttamente la permettività dielettrica interna, sfruttando le proprietà spettrali dell’operatore newtoniano, la cui struttura è sensibile alle risonanze indotte.

Nel regime asintotico per s > τ₂(x, z), si mostra che la mappa ω ↦ p(x, z, s, ω), a z fisso, raggiunge un massimo in corrispondenza di ωn₀, che dipende da ε₀(z) secondo la relazione esplicita:
ε₀(z) = (λₙ₀³ / (λₙ₀³ - 1)) εp(ωn₀).
Da qui segue che misurando la risposta in frequenza e localizzando i massimi, si può risalire al valore della permettività nel punto z.

Per realizzare la ricostruzione simultanea dei coefficienti, è sufficiente disporre delle misure di p(x, z, t, ω), per una singola posizione x sulla frontiera accessibile, per tempi t ∈ (0, M·Diam(Ω)) e frequenze ω nell’intervallo [ω₀², ω₀ + ωp], variando il punto interno z. Dalle variazioni temporali della pressione a z fissato si ricava la funzione τ(x, z), da cui, per mezzo dell’equazione eiconale |∇τ(x, z)|⁻¹ = c(z), si ottiene la velocità del suono. Le variazioni in frequenza, invece, permettono di stimare ε₀(z). Infine, conoscendo τ(x, z) e c(z), si ricava la densità di massa ρ(z), grazie alla relazione implicita tra energia acustica, velocità e densità.

Questo approccio offre una via di ricostruzione completa e coerente dei parametri interni del mezzo, basata su misure minime e su proprietà intrinseche del sistema risonante. L’elemento cruciale è l’effetto di risonanza indotto dalle nanoparticelle, che agisce da meccanismo di amplificazione selettiva, permettendo di discriminare finemente le caratteristiche ottiche del mezzo anche in presenza di rumore o incertezze geometriche.

È essenziale comprendere che l’accuratezza della ricostruzione dipende criticamente dalla scala spaziale a delle nanoparticelle, dalla scelta delle frequenze incidenti, dalla risoluzione temporale delle misure di pressione, e dalla conoscenza a priori di alcune proprietà geometriche del dominio. Inoltre, la struttura spettrale dell’operatore ∇MB, e la sua dipendenza dalla geometria della nanoparticella, giocano un ruolo fondamentale nella localizzazione dei picchi risonanti e, di conseguenza, nella qualità della ricostruzione del parametro ε₀.