Come determinare i limiti di funzioni multivariable: il caso dei limiti alle origini

Nel contesto delle funzioni multivariable, il calcolo dei limiti assume una notevole importanza, specialmente quando ci si trova a trattare con il comportamento delle funzioni in prossimità dell'origine. L'analisi del comportamento delle funzioni nelle vicinanze di punti critici come l'origine o altri punti di accumulazione è fondamentale per determinare la continuità e la differentiabilità di una funzione in un dominio dato. Una delle principali difficoltà in questo tipo di analisi è la necessità di considerare il comportamento della funzione lungo diverse curve di approccio e la possibilità che il limite dipenda dalla direzione di approccio.

In un primo esempio, consideriamo una funzione definita in due variabili $x$ e $y$, data dalla forma:

$$f(x, y) = \frac{x^2 \log(1 + x^2 - 2y^2)}{x^4 + y^4}$$

Si può notare che per $(x, y) \to (0, 0)$, la funzione tende a un valore definito se consideriamo l'espansione di Taylor del logaritmo al numeratore. La tecnica di espansione di McLaurin (un caso particolare di Taylor) permette di separare il termine principale e il termine di errore che tende a zero. In altre parole, se si scrive l'espansione del logaritmo per valori piccoli di $x^2 - 2y^2$, si ottiene una forma razionale che consente di trattare separatamente i termini principali e i termini che vanno a zero. Nel caso specifico, si arriva a un limite di 1 come $(x, y) \to (0, 0)$, dimostrando la continuità della funzione in quell'origine, a patto che il punto appartenga al dominio corretto.

Un altro esempio interessante è il caso della funzione:

$$f(x, y) = y^x$$

Questa funzione è definita solo per $y > 0$ e presenta comportamenti radicalmente differenti lungo diversi cammini. Per esempio, se si considerano le curve lungo $y = x$, la funzione tende a 1, mentre lungo una curva più complessa come $y = e^{ -1/x}$, il limite tende a $e^{ -1}$. Questo esempio mostra chiaramente che il limite dipende dalla direzione di approccio all'origine, il che implica che il limite globale della funzione non esiste, poiché il comportamento della funzione cambia a seconda del percorso scelto.

Un altro caso utile da esplorare è quello delle funzioni definite in tre variabili, come:

$$f(x, y, z) = \frac{\sin(x^2 + \arctan(y^2))z}{x^2 + y^2 + z^2}$$

Per questa funzione, la presenza di una trigonometriche e dell'arcotangente complica leggermente la situazione, ma non impedisce di concludere che il limite tende a zero quando $(x, y, z) \to (0, 0, 0)$, grazie alla definizione di limite e all'uso delle coordinate sferiche per parametrizzare lo spazio tridimensionale. In particolare, la funzione è dominata dal termine $x^2 + y^2 + z^2$, il che implica che il limite della funzione in tre dimensioni tende a zero per un approccio uniforme lungo qualsiasi direzione.

Questi esempi mostrano come l'approccio al calcolo dei limiti in dimensioni superiori richieda una comprensione approfondita delle geometrie dei domini e delle simmetrie delle funzioni. Ad esempio, nelle coordinate sferiche, il comportamento della funzione può essere analizzato separando i termini in modo tale da ottenere limiti che possono essere trattati tramite semplici stime, come nel caso della funzione:

$$f(x, y, z) = 1 - \frac{x^2}{y^2 + z^2}$$

In questo caso, la funzione tende a $+\infty$ lungo determinate direzioni, dimostrando che il comportamento del limite può variare a seconda del dominio di definizione della funzione. Un approccio sistematico usando le coordinate sferiche o polari permette di semplificare l'analisi e determinare il comportamento limite in modo preciso.

Un aspetto fondamentale da tenere a mente durante l'analisi dei limiti di funzioni multivariable è la direzione dell'approccio. Sebbene due percorsi diversi possano sembrare simili nella loro vicinanza all'origine, i loro limiti possono differire a causa della diversa geometria o simmetria dei percorsi stessi. In altre parole, una funzione potrebbe avere un comportamento completamente diverso a seconda della direzione in cui si avvicina al punto critico, come evidenziato nei casi precedenti.

Inoltre, l'utilizzo delle espansioni di Taylor o McLaurin è uno strumento potente per semplificare il calcolo dei limiti, soprattutto quando si ha a che fare con funzioni complesse che contengono termini trigonometrici, logaritmici o potenze. Questi metodi permettono di isolare i termini principali e di analizzare il comportamento del numeratore e del denominatore separatamente, semplificando notevolmente il calcolo.

Come determinare la continuità e la derivabilità delle funzioni definite su domini non convenzionali

La funzione in esame può essere scritta come $f(x, y) = \text{sinc}(x) + \frac{1}{\text{sinc}(y)}$, la somma di due funzioni di $x$ e $y$ separatamente, ognuna delle quali è liscia attorno a 0, dove la funzione $\text{sinc}(x)$ è definita come:

$$\text{sinc}(x) =$$

\begin{cases} \frac{\sin x}{x}, & \text{se } x \neq 0, \\ 1, & \text{se } x = 0. \end{cases}

Uno degli esercizi che aiuta a comprendere questo concetto è il seguente: verificare se la somma di due funzioni $\varphi(x) + \psi(y)$, con $\varphi$ e $\psi$ appartenenti alla classe $C^1(I)$, dove $I \subset \mathbb{R}$ è un intervallo aperto, è derivabile su $I \times I$. Un altro aspetto interessante da considerare è l'analisi del prodotto di due funzioni in modo simile.

0 & \text{se } y \leq x^3 \text{ o } y \geq 4x^3. \end{cases}

1. Continuità della funzione in $(0, 0)$: Chiaramente, come illustrato nel grafico, la funzione è nulla lungo l'asse delle ordinate e anche lungo l'asse delle ascisse. Tuttavia, ciò non implica che la funzione sia continua in $(0, 0)$, come si può vedere considerando il comportamento della funzione lungo la curva cubica $y = 2x^3$, dove la funzione assume il valore 1. Quindi, la funzione non è continua in $(0, 0)$.

2. Derivate parziali in $(0, 0)$ e $(1, 1)$: La funzione ammette derivate parziali in $(0, 0)$, poiché lungo gli assi coordinate la funzione è nulla. Tuttavia, in $(1, 1)$, la funzione non ammette derivate parziali, poiché la funzione presenta una discontinuità di salto quando si restringe ai segmenti orizzontale e verticale che passano per quel punto. La discontinuità è evidente dal comportamento della funzione, che cambia improvvisamente tra 0 e 1 nei vari vicini di $(1, 1)$.

3. Derivata direzionale: Considerando un vettore unitario $\mathbf{Q} = (\cos \theta, \sin \theta)$, si può verificare se la funzione ammette una derivata direzionale in $(0, 0)$. In questo caso, la derivata direzionale esiste e si annulla per valori di $\theta \in [\pi, 2\pi)$, mentre per $\theta \in (0, \pi/2)$, la derivata direzionale esiste e si annulla anch'essa.

In un altro esempio, la funzione $f(x, y) = \min(x^2 - y, y^2 - x)$ è continua, in quanto è il minimo di due funzioni continue (i polinomi $x^2 - y$ e $y^2 - x$). La funzione ammette derivate parziali in $A \cup B$, dove $A$ e $B$ sono due regioni in $\mathbb{R}^2$ definite rispettivamente da $x^2 - y < y^2 - x$ e $x^2 - y > y^2 - x$, mentre lungo il confine tra queste regioni, la funzione non è differenziabile, tranne nel punto $(-1/2, -1/2)$.

Oltre a queste osservazioni, è fondamentale comprendere che il comportamento di una funzione definita su un dominio complesso, che può includere salti di continuità o discontinuità angolari, non è sempre immediatamente evidente senza una riflessione geometrica. Le discontinuità o la non derivabilità di una funzione in un punto possono essere comprese osservando come il dominio e le sue trasformazioni influenzano il comportamento della funzione stessa.

La comprensione geometrica dei domini e dei confini tra le diverse regioni è quindi essenziale per determinare la continuità e la derivabilità delle funzioni in tali domini complessi. La continuità di una funzione, infatti, non si limita a un'analisi algebrica dei limiti, ma richiede un'attenta considerazione della struttura del dominio in cui la funzione è definita.

Cos'è uno spazio vettoriale con prodotto scalare e come si applica nella geometria e nell'analisi?

In particolare, la linearità rispetto al primo argomento implica che per ogni $u, v, w \in V$ e ogni scalaire $\alpha \in \mathbb{R}$, vale:

$$\langle \alpha u, v \rangle = \alpha \langle u, v \rangle$$

La simmetria richiede che:

La positività definita è la proprietà che stabilisce che:

$$\langle u, u \rangle \geq 0 \quad \text{e} \quad \langle u, u \rangle = 0 \text{ se e solo se } u = 0.$$ $$\langle P, Q \rangle = x_1 y_1 + \dots + x_n y_n$$

Un altro esempio di spazio vettoriale con prodotto scalare è lo spazio $C_0([a, b])$, che consiste in tutte le funzioni continue su $[a, b]$, dove il prodotto scalare tra due funzioni $f$ e $g$ è definito come:

Su ogni spazio vettoriale con prodotto scalare è possibile definire una norma associata, che è una funzione $\|u\|$ che associa a ogni vettore $u$ il valore $\|u\| = \sqrt{\langle u, u \rangle}$. La norma soddisfa tre proprietà fondamentali:

1. $\|u\| \geq 0$ con $\|u\| = 0$ se e solo se $u = 0$.

2. $\|\alpha u\| = |\alpha| \|u\|$ per ogni scalaire $\alpha$.

3. La disuguaglianza triangolare: $\|u + v\| \leq \|u\| + \|v\|$.

Un esempio particolarmente rilevante di norma è la norma euclidea in $\mathbb{R}^n$, che per un punto $P = (x_1, \dots, x_n)$ è definita come: